Galoigruppe bestimmen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Di 23.01.2007 | | Autor: | JuliaWi |
| Aufgabe | Es sei [mm] \IL [/mm] der Zerfällungskörper des Polynoms [mm] x^3-5 [/mm] über [mm] \IQ. [/mm] Bestimmen Sie die Galoisgruppe Gal( [mm] \IL :\IQ [/mm] ) und unter der Verwendung des Hauptsatzes der Galoistheorie alle Zwischenkörper. Bestimmen Sie für jeden Zwischenkörper M die Gal( [mm] \IL [/mm] : M ) und Gal( M : [mm] \IQ [/mm] ). Stellen Sie fest, für welche M die Erweiterung
[mm] \IQ \subset [/mm] M eine Galoiserweiterug ist. |
Hallo zusammen. ich habe da mal wieder eine Aufgabe, die ich teilweise lösen kann, aber ständig entsteht es da bei mir ein Widerspruch. Ich nehme mal an, dass ich nicht alles ganz richtig machen. Würde micht freuen, wenn jemand mit dabei helfen kann.
Mein Lösungsansatz ist:
1). Ich vermute, dass [mm] x^3-5 [/mm] besitzt die Nullstellen
[mm] \wurzel[3]{5}, [/mm] w* [mm] \wurzel[3]{5} [/mm] und [mm] w^2 [/mm] * [mm] \wurzel[3]{5}, [/mm] wobei [mm] w^3=1, [/mm] die 3-te Einheitswurzel ist.
Dann lautet doch mein Polynom
[mm] (x-\wurzel[3]{5})*(x- [/mm] w* [mm] \wurzel[3]{5})*(x- w^2 *\wurzel[3]{5}).
[/mm]
Nun habe versucht das ganze Ding da auszumultipiliezieren und bekam etwas, was ungleich [mm] x^3-5 [/mm] ist.
Es kamm raus:
[mm] (x-\wurzel[3]{5})*(x- [/mm] w* [mm] \wurzel[3]{5})*(x- w^2 *\wurzel[3]{5}) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] * [mm] w^2 [/mm] *( [mm] \wurzel[3]{5})- x^2 [/mm] * w*( [mm] \wurzel[3]{5})^2 [/mm] + x* [mm] w^3 [/mm] *( [mm] \wurzel[3]{5})^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] *( [mm] \wurzel[3]{5}) [/mm] +
x* [mm] w^2 [/mm] *( [mm] \wurzel[3]{5})^2 [/mm] + x*w*( [mm] \wurzel[3]{5})^2 [/mm] - [mm] w^3*(\wurzel[3]{5})^3 [/mm] =
= [mm] x^3 [/mm] - 5+ [mm] \{ wx( \wurzel[3]{5})^2 - x^2 *( \wurzel[3]{5})^2 \} [/mm] * [mm] \{ w^2 + w + 1 \}.
[/mm]
Also, wenn ich alles richtig gemacht habe, dann muss es doch einen Trick geben, wie mann dass, was in [mm] \{... \} [/mm] steht, zu Null bekommt.
Aber wie????
Nun wenn die Nullstellen von dem Polynom [mm] x^3-5 [/mm] richtig sind, dann lautet meine Körper [mm] \IL [/mm] = [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[3]{5}, [/mm] w). Oder?
Und die Bisis ist (1, w, [mm] \wurzel[3]{5}, [/mm] w* [mm] \wurzel[3]{5})
[/mm]
Also ich habe eine Körpererweiterung [mm] \IL [/mm] : [mm] \IQ [/mm] vom Grad 4.
Das bedeutet, dass meine Gal( [mm] \IL :\IQ [/mm] ) 4 Isomorphismen hat.
Da diese Isomorphiemen die Nullstellen auf die Nullstellem von [mm] x^3-5 [/mm] abbilden, habe ich 3!=6 Möglichkeiten diese Nullstellen zu permutieren.
Da ich nun aber nur 4 Abbildungen brauche, weiss ich nicht welche davon nun ´die richtige sind.
Ich vermute es mal so:
1) die id
2) [mm] \wurzel[3]{5} \mapsto [/mm] w* [mm] \wurzel[3]{5}
[/mm]
3) w* [mm] \wurzel[3]{5} \mapsto w^2 [/mm] * [mm] \wurzel[3]{5}
[/mm]
4) [mm] w^2 [/mm] * [mm] \wurzel[3]{5} \mapsto \wurzel[3]{5}
[/mm]
Kann mir jemand sagen, wie ich diese Abbildungen mit Sicherheit bestimmen kann, ohne zu raten?
Gibt es da ein bestimmtes Verfaren?
Danke euch.
Liebe Grüße
Julia
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Nun der Pasus für einen Erstposter:
Ich akzeptiere die Zusicherung bzgl. Cross-Postings.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Mi 24.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Julia!
> Es sei [mm]\IL[/mm] der Zerfällungskörper des Polynoms [mm]x^3-5[/mm] über
> [mm]\IQ.[/mm] Bestimmen Sie die Galoisgruppe Gal( [mm]\IL :\IQ[/mm] ) und
> unter der Verwendung des Hauptsatzes der Galoistheorie alle
> Zwischenkörper. Bestimmen Sie für jeden Zwischenkörper M
> die Gal( [mm]\IL[/mm] : M ) und Gal( M : [mm]\IQ[/mm] ). Stellen Sie fest,
> für welche M die Erweiterung
> [mm]\IQ \subset[/mm] M eine Galoiserweiterug ist.
> Hallo zusammen. ich habe da mal wieder eine Aufgabe, die
> ich teilweise lösen kann, aber ständig entsteht es da bei
> mir ein Widerspruch. Ich nehme mal an, dass ich nicht alles
> ganz richtig machen. Würde micht freuen, wenn jemand mit
> dabei helfen kann.
> Mein Lösungsansatz ist:
> 1). Ich vermute, dass [mm]x^3-5[/mm] besitzt die Nullstellen
> [mm]\wurzel[3]{5},[/mm] w* [mm]\wurzel[3]{5}[/mm] und [mm]w^2[/mm] * [mm]\wurzel[3]{5},[/mm]
> wobei [mm]w^3=1,[/mm] die 3-te Einheitswurzel ist.
> Dann lautet doch mein Polynom
> [mm](x-\wurzel[3]{5})*(x-[/mm] w* [mm]\wurzel[3]{5})*(x- w^2 *\wurzel[3]{5}).[/mm]
>
> Nun habe versucht das ganze Ding da auszumultipiliezieren
> und bekam etwas, was ungleich [mm]x^3-5[/mm] ist.
> Es kamm raus:
> [mm](x-\wurzel[3]{5})*(x-[/mm] w* [mm]\wurzel[3]{5})*(x- w^2 *\wurzel[3]{5})[/mm]
> = [mm]x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm] * [mm]w^2[/mm] *( [mm]\wurzel[3]{5})- x^2[/mm] * w*(
> [mm]\wurzel[3]{5})^2[/mm] + x* [mm]w^3[/mm] *( [mm]\wurzel[3]{5})^2[/mm] - [mm]x^2[/mm] *(
> [mm]\wurzel[3]{5})[/mm] +
> x* [mm]w^2[/mm] *( [mm]\wurzel[3]{5})^2[/mm] + x*w*( [mm]\wurzel[3]{5})^2[/mm] -
> [mm]w^3*(\wurzel[3]{5})^3[/mm] =
> = [mm]x^3[/mm] - 5+ [mm]\{ wx( \wurzel[3]{5})^2 - x^2 *( \wurzel[3]{5})^2 \}[/mm]
> * [mm]\{ w^2 + w + 1 \}.[/mm]
> Also, wenn ich alles richtig gemacht
> habe, dann muss es doch einen Trick geben, wie mann dass,
> was in [mm]\{... \}[/mm] steht, zu Null bekommt.
Nicht wirklich einen Trick! Weil w eine 3. Einheitswurzel ist, ist
[mm] w^{2} [/mm] + w + 1 = 0. Das siehst du sofort, wenn du [mm] X^{3} [/mm] - 1 durch X - 1 teilst.
> Nun wenn die Nullstellen von dem Polynom [mm]x^3-5[/mm] richtig
> sind, dann lautet meine Körper [mm]\IL[/mm] = [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[3]{5},[/mm]
> w). Oder?
> Und die Basis ist (1, w, [mm]\wurzel[3]{5},[/mm] w* [mm]\wurzel[3]{5})[/mm]
> Also ich habe eine Körpererweiterung [mm]\IL[/mm] : [mm]\IQ[/mm] vom Grad
> 4.
Hier irrst du dich ganz erheblich. Du hast eine Körpererweiterung vom Grad 6, nämlich eine vom Grad 2 wg. der 3. Einheitswurzel und dann noch eine vom Grad 3 durch [mm]\wurzel[3]{5}[/mm]
Der ganze Rest ist jetzt ein 'Folgefehler', mach mal einen neuen Anlauf und meld dich ggfs. wieder.
> Das bedeutet, dass meine Gal( [mm]\IL :\IQ[/mm] ) 4 Isomorphismen
> hat.
> Da diese Isomorphiemen die Nullstellen auf die Nullstellem
> von [mm]x^3-5[/mm] abbilden, habe ich 3!=6 Möglichkeiten diese
> Nullstellen zu permutieren.
> Da ich nun aber nur 4 Abbildungen brauche, weiss ich nicht
> welche davon nun ´die richtige sind.
> Ich vermute es mal so:
> 1) die id
> 2) [mm]\wurzel[3]{5} \mapsto[/mm] w* [mm]\wurzel[3]{5}[/mm]
> 3) w* [mm]\wurzel[3]{5} \mapsto w^2[/mm] * [mm]\wurzel[3]{5}[/mm]
> 4) [mm]w^2[/mm] * [mm]\wurzel[3]{5} \mapsto \wurzel[3]{5}[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Do 25.01.2007 | | Autor: | JuliaWi |
Hallo Dieter!!
Danke für deine Antwort!!
Also du sagst, dass Der Grad der Körpererweiterung nicht 4 sondern 6 ist.
Was bedeutet dass für meinen Oberkörper [mm] \IL [/mm] ?
Ist es immer noch richtig, dass [mm] \IL [/mm] = [mm] \IQ [/mm] (w, [mm] \wurzel[3]{5} [/mm] )?
Was ist jetzt mit der [mm] \IQ [/mm] - Basis über [mm] \IL, [/mm] lautet sie jetzt (1, [mm] \wurzel[3]{5}, (\wurzel[3]{5})^2, [/mm] w, [mm] w^2, [/mm] w* [mm] \wurzel[3]{5} [/mm] )?
Nach dem Satz aus der Vorlesung, weiss ich, die Ordnung der Galoisgruppe = der Ordnung der Nullstellenmenge von MinPol [mm] \alpha \in \IK [/mm] ( [mm] \alpha [/mm] ), also für nur einen Element.
Da ich jetzt aber ein Körper habe, der mit mehreren Elementen adjungiert ist, gilt dieser Satz für meine Situation nicht mehr. Wie soll ich dann erfahren, wie groß ist meine Gal( [mm] \IL [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ) ?
Ich habe da eine Vermutung, dass #Gal( [mm] \IL [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ) = 6 ist , wegen des Körpergrades. Dann brauche ich also 6 Isomorphismen zu finden, die meine 3 Nullstellen permutieren. Sie es:
1) (a,b,c)
2) (a,c,b)
3) (b,c,a)
4) (b,a,c)
5) (c,a,b)
6) (c,b,a) für a= [mm] \wurzel[3]{5}, [/mm] b= w* [mm] \wurzel[3]{5} [/mm] , undc= [mm] w^2* \wurzel[3]{5} [/mm]
Tut mir sehr leid, dass ich so spät antworte, mein Internet ist zu langsam, diese Seite lässt sich nur sehr schwer öffnen. Danke für Deine Mühe!!!!!!!!!!
Liebe Grüße
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 So 28.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Julia!
Zu Volkers Antwort unten ist nur noch hinzuzufügen, daß die Galoisschen Zwischenkörper gerade die sind, deren Fixgruppe Normalteiler ist. Die [mm] A_{3} [/mm] ist Normalteiler in [mm] S_{3}, [/mm] die Transpositionen sind es nicht. Also ist nur der Zwischenkörper vom Grad 2 (der von der 3. Einheitswurzel erzeugt wird) galoissch. Außerdem natürlich L und [mm] \IQ [/mm] selbst.
Das beantwortet auch den letzten Teil der Aufgabe.
Einen schönen Sonntag
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Do 25.01.2007 | | Autor: | JuliaWi |
Hallo!!
In der Aufgabe müssen wir noch alle Zwischenkörper [mm] M_{i}bestimmen. [/mm] Wir solle dabei den Hauptsatz der Galoitheorie benutzen, aber ich kann ich nicht anwenden, da ich ihn nicht verstehe. Kann mir jemand bitte erklären, worum es da geht.
Solange versuche ich nun alle Zwischenkörper ohne diesen Satz zu bestimen.
Da 6= [mm] [\IL :\IQ [/mm] ]=[ [mm] \IL :M_{i}]* [M_{i} :\IQ [/mm] ] [mm] \Rightarrow [/mm]
[ [mm] \IL :M_{i}] [/mm] =2 und [mm] [M_{i} :\IQ [/mm] ]=3 ODER
[ [mm] \IL :M_{i}] [/mm] =3 und [mm] [M_{i} :\IQ [/mm] ]=2.
Ab jetzt weiß ich nicht so recht was ich tun muss. Ich adjungiere dann einfach alle Nullstelen von [mm] p(x)=x^3-5 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1) [mm] \IQ(\wurzel[3]{5} [/mm] ; 2) [mm] \IQ(w* \wurzel[3]{5} [/mm] ; 3) [mm] \IQ(w^2* \wurzel[3]{5}
[/mm]
Das ist alles was mir im Moment einfält. Nun weiß ich aber auch nicht, ob das die Richtige sind und ob das schon alle Zwischenkörper sind, es kann ja sein da es da noch mehr gibt.
Gruß
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Sa 27.01.2007 | | Autor: | bookrunner |
Hallo Julia!
Ich habe eine ähnliche Aufgabe im Skript stehen, komplett gelöst [mm] (x^{3}-7).
[/mm]
Daraus geht hervor, dass die Zwischenkörper u.a. aus den Nullstellen konstruiert werden durch Adjunktion:
[mm] \IQ(\wurzel[3]{5}), \IQ(w\wurzel[3]{5}), \IQ(w^{2}\wurzel[3]{5}), \IQ(w)
[/mm]
mit Erweiterungsgraden (Nullstellen [mm] a_{i}):
[/mm]
[mm] [\IQ(a_{i}):\IQ] [/mm] = 3, [mm] [\IL:\IQ(a_{i})] [/mm] = 2
[mm] [\IQ(w):\IQ] [/mm] = 2, [mm] [\IL:\IQ(w)] [/mm] = 3
Galoissch sind bei mir alle bis auf [mm] \IQ(a_{i})|\IQ \forall [/mm] i
Vielleicht kannst Du damit was anfangen. Mehr kann ich momentan nicht schreiben, habe Mi Prüfung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Julia,
den Hauptsatz in Deiner Situation asnzuwenden ist ganz einfach. Wenn DU eine Untergruppe H der Galoisgruppe G von [mm] L|\IQ [/mm] hast, dann kannst Du den Fixkörper Fixkörper hinschreiben:
[mm] L^H=\{x\in L| \sigma x=x \text{ für alle } \sigma\in H\}.
[/mm]
Du solltest nachrechnen, dass das ein Unterkörper ist, wenn es Di nicht ganz klar ist. Der Hauptsatz sagt nun einfach, dass sich alle Unterkörper auf diese W3eise gewinnen lassen, d.h. Du mußt einfach nur alle UNtergruppen von G bestimmen. Die Galoisgruppe G selbst hast Du ja schon ausgerechnet. Sie ist die symmetrische Gruppe auf 3 Elementen oder genauer erzeugt von (auf Erzeugern!)
[mm] \alpha\colon w\mapsto [/mm] w
[mm] \alpha\colon \wurzel[3]{5}\mapsto w\wurzel[3]{5}\mapsto \overline{w} \wurzel[3]{5}
[/mm]
[mm] \beta\colon w\mapsto \overline{w}
[/mm]
[mm] \beta\colon \wurzel[3]{5}\mapsto \wurzel[3]{5}
[/mm]
mit den Relationen [mm] \alpha^3=1, \beta^2=1 [/mm] und [mm] \alpha\beta=\beta\alpha^2. [/mm] MaW ich habe die Galoisgruppe eher als Diedergruppe der Ordnung 6 [mm] D_3 [/mm] hingeschrieben. Es gilt
[mm] G=\{1,\alpha,\alpha^2,\beta,\alpha\beta \alpha^{-1},\alpha^2\beta\alpha^{-2}\}
[/mm]
Du mußt nun zeigen, dass G genau die folgenden Untergruppen hat:
[mm] H_1=\{1\},
[/mm]
[mm] H_2=<\alpha>,
[/mm]
[mm] H_3=<\beta>,
[/mm]
[mm] H_4=\alpha H_2\alpha^{-1},
[/mm]
[mm] H_5=\alpha^2 H_2\alpha^{-2}
[/mm]
und
[mm] H_6=G
[/mm]
selbst. Dabei ist <?> die von ? erzeugte Untergruppe von G. Der Hauptsatz liefert nun sechs Unterkörper:
[mm] M_1=L^{H_1}=L,
[/mm]
[mm] M_2=L^{H_2}=L^\alpha=\IQ(w),
[/mm]
[mm] M_3=L^\beta=\IQ(\wurzel[3]{5}),
[/mm]
[mm] M_4=\alpha M_3=\IQ(w\wurzel[3]{5}),
[/mm]
[mm] M_5=\alpha^2 M_3=\IQ(w^2\wurzel[3]{5})
[/mm]
und
[mm] M_6=\IQ. [/mm] Fertig.
Volker
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