Gaußfunktion < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Do 09.10.2014 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Es geht im Allgemeinen um die Erklärung der Unschärferelation am Beispiel der Gaußfunktion.
Gegeben ist die Gaußfunktion (Wellenfunktion) im "Wellenzahlraum" mit beliebiger Konstante $a$:
[mm]
\Phi \left(k_x\right) = \,^4\sqrt{\frac{2}{\pi\,a^2}} \exp\left(\frac{\left(k-k_0\right)^2}{a^2}\right)
[/mm]
Dann soll laut Skript das Betragsquadrat der Funktion sein (Ist ja noch nachvollziehbar, die Funktion wird einfach quadriert):
[mm]
\left|\Phi \left(k_x\right)\right|^2 = \sqrt{\frac{2}{\pi\,a^2}} \exp\left(\frac{2\left(k-k_0\right)^2}{a^2}\right)
[/mm] |
In den gegebenen Funktionen kann ich weder Informationen zur Varianz [mm] ($\sigma^2$) [/mm] noch zur Standardabweichung [mm] ($\sqrt{\sigma^2}$) [/mm] finden.
Nach Skript soll für die Standardabweichung von [mm] $\left|\Phi \left(k_x\right)\right|^2$ [/mm] gleich [mm] $\sigma [/mm] = a/2$ sein. Wie komme ich auf dieses Ergebnis?
Für Hilfe bin ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Do 09.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
bei einer Gaußfunktion, [mm] $f(x)=N\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$ [/mm] ist der Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] und die Standardabweichung [mm] $\sigma$.
[/mm]
Falls du das nicht glaubst, berechne die Momente [mm] $\int_{\IR}x [/mm] f(x) [mm] \mathrm{d}x$, $\int_{\IR}x^2 [/mm] f(x) [mm] \mathrm{d}x$.
[/mm]
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Fr 10.10.2014 | | Autor: | murmel |
Das erste Moment zu berechnen, finde ich, sieht auf den ersten Blick "etwas" schwierig aus, denn, allein mit Substitution durch Integration ist es hier nicht getan. Wohmöglich muss da mit partieller Integration geahndet werden.
Ich komme nur soweit, (Ooops! Das habe ich vergessen: $N = [mm] 1/\sqrt \left(2\,\pi\,\sigma^2\right)$): [/mm]
[mm]
= \integral \underbrace{x}_{\alpha(x)}N\,\, \underbrace{\exp \left(- \frac{\left[x - \mu\right]^2}{2\sigma^2}\right)}_{\beta(u(v(w(x))))} \mathrm{d} x
[/mm]
[mm]
= \integral \underbrace{x^2}_{\alpha(x)}\,N^2\, \underbrace{\exp \left(- 2\frac{\left[x - \mu\right]^2}{2\sigma^2}\right)}_{\beta(u(v(w(x))))} \mathrm{d} x
[/mm]
Selbst das zweite Moment, also [mm] $$ [/mm] zu berechnen, ist für mich nicht wirklich plausibel, da ich hier im Exponenten den Term [mm] $x^2 [/mm] - [mm] 2x\,\mu +\mu^2$ [/mm] enthalten habe! Einen Trick anzuwenden, der speziell für quadratintegrable Funktionen gültig ist, funktioniert hier nicht.
Wie fange ich also hier an? Oder muss ich die Lösung direkt im Bronstein-Semendjajew nachschlagen?
Vielen Dank für Tipps und Hilfe.
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Hallo!
Die Gaußfunktion lässt sich nicht elementar integrieren. Die Stammfunktion ist die so genannte Fehlerfunktion:
[mm] $\operatorname{erf}(x) [/mm] = [mm] \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-\tau^2}\,\mathrm d\tau$
[/mm]
Guckstdu ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion
Man kann mit einem Trick über ganz [mm] \IR [/mm] integrieren, dazu http://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerintegral
Aber weil das nochmal ein Problem für sich ist, geh ich darauf nicht weiter ein. Du solltest eher mit bekannten Formen der Gaußfunktion vergleichen. Ich kenne z.B. diese hier:
[mm] g(x)=\frac{A}{\sqrt{2\pi}\sigma}*\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
[/mm]
Hierbei ist A die Fläche unter der Funktion (über ganz [mm] \IR [/mm] )
Der Vergleich mit $ [mm] \left|\Phi \left(k_x\right)\right|^2 [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{2}{\pi\,a^2}} \exp\left(\frac{2\left(k-k_0\right)^2}{a^2}\right) [/mm] $ zeigt:
[mm] $\frac{1}{2\sigma^2}=\frac{2}{a^2}\quad \Rightarrow \quad \sigma=\frac{a}{2}$
[/mm]
und
[mm] $\frac{A}{\sqrt{2\pi}\sigma}=\sqrt{\frac{2}{\pi\,a^2}}=\sqrt{\frac{2}{\pi\,4\sigma^2}}=\sqrt{\frac{1}{2\pi\sigma^2}}\quad \Rightarrow \quad [/mm] A=1$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Sa 11.10.2014 | | Autor: | murmel |
Wollte ich nun die Fouriertransformation von [mm] $\Phi$ [/mm] durchführen, wie müsste ich vorgehen?
[mm]
\mathcal{F}\left(\Phi\left(k_x,t\right)\right)\equiv \Psi\left(k_x,t\right)
[/mm]
Als vollständige Transformationsgleichung habe ich
[mm]
\begin{array}{ll}
\Psi \left(x,t\right) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\integral_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\frac{2}{\pi\,a^2}} \exp\left(\frac{-2\left(k_x-k_{x,0}\right)^2}{a^2}\right)\,\exp\left(\mathrm{i}\,k_x\,x\right) \mathrm{d}k_x\\[1.25em]
&\gdw \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\integral_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\frac{2}{\pi\,a^2}} \exp\left(\frac{\mathrm{i}\,k_x\,x\,a^2 - 2\left(k_x-k_{x,0}\right)^2}{a^2}\right) \mathrm{d}k_x\\[1.25em]
&\gdw \underbrace{\frac{\sqrt{\frac{2}{\pi\,a^2}}}{\sqrt{2 \pi}}}_{:=C} \integral_{-\infty}^{\infty} \exp\left(\frac{\mathrm{i}\,k_x\,x\,a^2 - 2\left(k_x-k_{x,0}\right)^2}{a^2}\right) \mathrm{d}k_x\\[1.25em]
&\gdw C \integral_{-\infty}^{\infty} \exp\left(\frac{\mathrm{i}\,k_x\,x\,a^2 - 2\left(k_x-k_{x,0}\right)^2}{a^2}\right) \mathrm{d}k_x\\[1.25em]
&\gdw C \integral_{-\infty}^{\infty} \exp\left(\frac{\mathrm{i}\,k_x\,x\,a^2 - 2k_x^2 + 4k_x\,k_{x,0} + 2k_{x,0}^2}{a^2}\right) \mathrm{d}k_x\\[1.25em]
&\gdw C \integral_{-\infty}^{\infty} \exp\left(\frac{\mathrm{i}\,k_x\,x\,a^2 - 2k_x^2 + 4k_x\,k_{x,0} + 2k_{x,0}^2}{a^2}\right) \mathrm{d}k_x\\[1.25em]
&\gdw C \integral_{-\infty}^{\infty} \exp\left(\frac{- 2k_x^2 + \mathrm{i}\,k_x\,x\,a^2 + 4k_x\,k_{x,0} + 2k_{x,0}^2}{a^2}\right) \mathrm{d}k_x\\[1.25em]
&\gdw C \integral_{-\infty}^{\infty} \exp\left(\frac{k_x^2 - \frac{1}{2}\, k_x \,\left[\mathrm{i}\,x\,a^2 + 4\,k_{x,0}\right] - k_{x,0}^2}{a^2}\right) \mathrm{d}k_x\\[1.25em]
\end{array}
[/mm]
Die Exponentialfunktion ohne Weiteres zu integrieren, ist nicht möglich. Aber wie transformiere ich nach [mm] $\Psi\left(k_x,t\right) [/mm] $?
Hat jemand einen Tipp, eine Idee?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Sa 11.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
zunächst eine formale Bemerkung: Die Aequivalenzzeichen sind hier fehl am Platz, "=" wäre besser.
Ich habe 2 Vorschläge:
Vorschlag 1: Verwende den Integralsatz von Cauchy, dazu nehme einen geeigneten geschlossenen Weg (achsenparalleles Rechteck z.B.) und Integriere die ganze Funktion f mit [mm] $f(z)=\exp(-c z^2)$, [/mm] $c>0$ über diesen Weg.
Vorschlag 2: Betrachte das IVP $y'=-c x y$, $y(0)=1$. Was ist die Lösung des IVP? Zeige, dass die Fouriertransformation ebenfalls Lösung ist. Sind die Lösungen gleich?
Liebe Grüße
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