Gleichung lösen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Fr 30.11.2007 | | Autor: | m.styler |
| Aufgabe | Quadratische Funktion soll nach a,b und c Eleminierungsverfahren ermittelt werden.
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Hallo!
Wir haben so eine Aufgabe gelöst bekommen, aber ich verstehe net den Zusammenhang zwischen den Punkten und vorallen net, woher ich weiss wann ich *1 und :2 benutzen soll, woher nehme ich mir heraus, dass es so gerechnet wird?
A(2/8), B(1/2), C(-1/-4)
a*2+2b+c=8
a+b+c=2 /*(-1)/+ (a-b+c=-4)
a-b+c=-4
4a+2b+c=8
a+b+c=2 /*(-4)/+ (4a+2b+c=8) <-Wieso *-4 und dann noch addieren die 1.reihe zur 2.?
-2b=-6 /:(-2)
-2b-3c=0
a+b+c=2
b=3
-6-3c=0
a+b+c=2
b=3
c=-2
a+3-2=c
b=3
f(x)=x²+3x-2
=(x²+3x-2)
=(x²+3x+2,25)-2,25-2
=(x+1,5)²-4,25
S(-1,5/-4,25)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Fr 30.11.2007 | | Autor: | kirstenS |
Hi,
ich glaube, Du hast da zwei oder drei Aufgaben miteinander vermischt:
- erst gibst Du drei Punkte A, B, C an, die Du nicht weiter verwendest
- dann löst Du ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen a, b und c mit dem Eliminationsverfahren
- und zu guter Letzt löst Du eine quadratische Gleichung mit quadratischer Ergänzung.
Kläre doch bitte mal, wie Dein Problem eigentlich lautet, dann kann sicher jemand helfen ...
Gruß
KirstenS
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Quadratische Funktion soll nach a,b und c
> Eleminierungsverfahren ermittelt werden.
>
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> Hallo!
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> Wir haben so eine Aufgabe gelöst bekommen, aber ich
> verstehe net den Zusammenhang zwischen den Punkten und
> vorallen net, woher ich weiss wann ich *1 und :2 benutzen
> soll, woher nehme ich mir heraus, dass es so gerechnet
> wird?
>
>
> A(2/8), B(1/2), C(-1/-4)
Du sollst eine quadratische Funktion finden, deren Graph durch die 3 Punkte geht.
Allgemein läßt sich jede quadratische Gleichung schreiben als
[mm] $f(x)=ax^2+bx+c$
[/mm]
(z.B. ist bei [mm] $x^2-1$ [/mm] a=1, b=0, c=-1; bei [mm] $3x^2-4x+2$ [/mm] kannst Du's ebenso direkt ablesen, und die Scheitelpunktsform kannst Du ausmultiplizieren: [mm] $2(x-2)^2+3=2(x^2-4x+4)+3=2x^2-8x+11$, [/mm] d.h. a=2, b=-8 und c=11)
Jeder Punkt der auf dem Graphen der Funktion g(x) liegt, ist von der Form (m,g(m)), weil der Graph an der Stelle x=m den y-Wert g(m) hat, muß auch der Punkt diesen Wert haben.
Mit Deinen 3 Punkten oben gilt also:
$A(2;8) [mm] \Rightarrow [/mm] m=2 [mm] \Rightarrow [/mm] f(m)=f(2)=8$
und ebenso $f(1)=2;\ f(-1)=-4$
Jetzt soll die Funktion quadratisch sein. Sonst wissen wir nichts über die Funktion, aber jede quadratische Funktion läßt sich eindeutig schreiben als
[mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] (Du brauchst halt die jeweiligen a,b und c). Wir haben also 3 Unbekannte (a,b,c) und 3 Gleichungen (f(2)=8, f(1)=2 und f(-1)=-4) mit dem Gleichungssystem:
[mm] $f(2)=a*2^2+b*2+c=8$
[/mm]
[mm] $f(1)=a*1^2+b*1+c=2$
[/mm]
[mm] $f(-1)=a*(-1)^2+b*(-1)+c=-4$
[/mm]
und das ist:
I: 4a+2b+c=8
II: a+b+c=2
III: a-b+c=-4
Jetzt suchst Du dir eine Zeile bei der die Zahl vor dem a besonders "schön" ist
("Schön" heißt bevorzugt eine 1, oder eine kleine Zahl, oder was ähnliches. Es gibt keine "falsche" Wahl. Du kannst nur unter Umständen Dir das Leben mit komplizierten Brüchen schwer machen. Das Ergebnis wird trotzdem stimmen, falls Du Dich nicht verrechnest)
hier ist II sehr nett. III ist auch nicht schlecht, aber II hat eine 1 vor allen drei Variablen, III hingegen hat eine -1 vor dem b.
Jetzt vertauschen wir diese Zeile mit der ersten:
I': a+b+c=2
II': 4a+2b+c=8
III': a-b+c=-4
und eleminieren das a aus II' und III':
I': a+b+c=2
II': 4a +2b+c =8 |-(4*(a+b+c))
III': a-b+c =-4 |-(a+b+c)
das läuft so:
a-b+c=-4
ist eine Gleichung, wenn wir auf beiden Seiten das gleiche addieren, stimmt die Gleichung immer noch:
a-b+c=-4 |-(a+b+c)
a-b+c -(a+b+c)=-4-(a+b+c)
(-(a+b+c)=-a-b-c, und außerdem wissen wir ja von Gleichung I', daß a+b+c=2, also ist -(a+b+c)=-2):
a-b+c -a-b-c = -4-(2)
-2b = -6
b=3
Jetzt haben wir
4a+2b+c=8
Wir wollen das a loswerden, b und c interessieren erstmal nicht.
d.h. wir müssen (a+b+c) mit etwas geeignetem multiplizieren, daß, wenn wir es von 4a+2b+c abziehen, das a verschwindet.
Das heißt natürlich mit 4 multiplizieren:
a+b+c=2 |*4
4a+4b+4c=8
und das ziehen wir jetzt von II' ab:
4a+2b+c |-(4a+4b+4c)
4a+2b+c -(4a+4b+4c) = 8 -8
-2b -3c = 0
d.h. aus 4a+2b+c=8 wurde -2b-3c=0
und aus a-b+c=-4 wurde -2b=-6
Damit ist unser Gleichungssystem:
I'': a +b+c=2
II'': -2b -3c = 0
III'': b = 3
Damit ist nur noch in der ersten Zeile ein a übrig.
Jetzt suchen wir uns eine Gleichung von den anderen 2 in denen b möglichst schön vorkommt (das ist hier natürlich b=3, aber nur mal angenommen das Gleichungssystem wäre häßlicher), und vertauschen es mit der zweiten Zeile:
I''': a+b+c = 2
II''': b = 3
III''': -2b -3c = 0
Jetzt eliminieren wir das b aus der letzten Zeile:
2*b=2*3
2b=6
-2b -3c +2b = 0 +6
-3c = 6
I'''': a+b+c = 2
II'''': b =3
III'''': c =-2
Jetzt steht in der letzten Zeile nur noch das c (a und b haben wir ja eliminiert), damit kennen wir jetzt c.
In der zweiten Zeile haben wir ja das a eliminiert, d.h. wir haben nur noch b und c (hier nicht, weil das c ja auch schon rausgefallen ist, aber nur mal ganz allgemein), d.h. wenn wir jetzt das c aus der letzten Zeile einsetzen, bleibt nur noch das b und damit kennen wir das b (tun wir hier schon lange).
Jetzt haben wir b und c und können die in die erste Zeile einsetzen:
a+b+c= 2
a+3-2= 2
a=1
Damit kennen wir a,b und c, also ist unser f:
[mm] f(x)=ax^2+bx+c= x^2+3x-2
[/mm]
fertig.
Das geht u.U. auch wesentlich schneller, aber zuviel Systematik hat noch keinem geschadet =)
> 4a+2b+c=8
> a+b+c=2 /*(-4)/+ (4a+2b+c=8) <-Wieso *-4 und dann noch
> addieren die 1.reihe zur 2.?
andersrum (das a+b+c=2 bleibt ja unten noch übrig). Wir nehmen a+b+c=2 mal -4 und addieren es zu 4a+2b+c=8.
-4, weil a*(-4)=-4a und das ist genau das Negative von der anderen Gleichung.
hätten wir
3a+4b=2
4a+3b=1
wäre es
[mm] $\frac{4}{3}(3a+4b)=\frac{4}{3}2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 4a + [mm] \frac{4*4}{3}b [/mm] = [mm] \frac{8}{3}$
[/mm]
und das von der zweiten abgezogen ergibt:
I: 3a+4b=2
II: 4a+3b - 4a - [mm] \frac{16}{3}b [/mm] = [mm] 1-\frac{8}{3}
[/mm]
d.h. die II. wird:
[mm] \frac{9-16}{3}b=\frac{3-8}{3}
[/mm]
[mm] -\frac{7}{3}b=-\frac{5}{3}
[/mm]
-7b=-5
b= [mm] \frac{5}{7}
[/mm]
> f(x)=x²+3x-2
> =(x²+3x-2)
> =(x²+3x+2,25)-2,25-2
> =(x+1,5)²-4,25
> S(-1,5/-4,25)
Hier wird noch quadratisch erweitert und damit in Scheitelpunktsform umgewandelt, weil man dann den Scheitelpunkt ablesen kann.
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