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Hallo:)
Die Aufgabe würde ich zunächst einmal mit Substitution angehen, allerdings weiß ich nich so genau wie ich das ganze anwende:
hab jetz z=y+4x gesetzt.
wie genau bilde ich dann z'??
ist das z'=y'+4??
Ich weiß halt nich ganz genau wie ich das mache xD
Leite ich beide Variablen ab?? Setze ich immer y zu y'?? und leite die Werte mit x ab?
Weiter hab ich dann folgendes gemacht:
[mm] x\bruch{dz}{dx}=z
[/mm]
oder ist es = z'?? Ersetze ich überhaupt [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] zu [mm] \bruch{dz}{dx}??
[/mm]
Rechne ich dann ganz normal mit Variablentrennung weiter?? An welcher Stelle rücksubstituiere ich??
Freue mich auf Antworten
gruß mathefreak
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Sa 25.06.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> xy'=y+4x
> Hallo:)
>
> Die Aufgabe würde ich zunächst einmal mit Substitution
> angehen, allerdings weiß ich nich so genau wie ich das
> ganze anwende:
>
> hab jetz z=y+4x gesetzt.
ich würde (unter der Voraussetzung [mm] $x\neq [/mm] 0$) die DGL umschreiben in:
[mm] $y'=\frac{y}{x}+4$
[/mm]
und dann [mm] $z:=\frac{y}{x}+4 \Leftrightarrow [/mm] y=x(z-4)$ substituieren.
Dann z nach x ableiten. y wird zu y'(=z) und ansonsten wird ganz normal abgeleitet.
In der Gleichung z'=... ersetzt Du dann alle auftretenden y und y' durch z-Terme und erhältst dadurch eine DGL die sich leicht mit TdV lösen lässt. Dann kannst Du rücksubstituieren und fertig ist die Lösung.
>
> wie genau bilde ich dann z'??
> ist das z'=y'+4??
>
> Ich weiß halt nich ganz genau wie ich das mache xD
> Leite ich beide Variablen ab?? Setze ich immer y zu y'??
> und leite die Werte mit x ab?
>
> Weiter hab ich dann folgendes gemacht:
>
> [mm]x\bruch{dz}{dx}=z[/mm]
>
> oder ist es = z'?? Ersetze ich überhaupt [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm]
> zu [mm]\bruch{dz}{dx}??[/mm]
>
> Rechne ich dann ganz normal mit Variablentrennung weiter??
> An welcher Stelle rücksubstituiere ich??
>
> Freue mich auf Antworten
>
> gruß mathefreak
Da es aber bestimmt noch andere Lösungswege gibt, lass ich die Frage mal halboffen.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo notinX und mathefreak89,
diese Substitution dürfte der einfachste Lösungsweg sein, wenn man mal von Spezialfällen noch komplexerer DGLen absieht. Ich stelle die Frage mal auf "Beantwortet".
Viele Grüße,
Infinit
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Hab irgendwie noch Probleme beim ersetzten der y-Terme:
Hab ja mit [mm] z'=-\bruch{y'}{x^2}
[/mm]
wie genau wird das denn jetz bei
[mm] y'=\bruch{y}{x}+4 [/mm] eingesetzt?
gruß und danke euch:)
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Hallo mathefreak,
> Hab irgendwie noch Probleme beim ersetzten der y-Terme:
>
> Hab ja mit [mm]z'=-\bruch{y'}{x^2}[/mm]
Nein, du müsstest beim Ableiten schon die komplette Quotientenregel anwenden.
[mm] \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{vu'-uv'}{v^2}
[/mm]
>
> wie genau wird das denn jetz bei
>
> [mm]y'=\bruch{y}{x}+4[/mm] eingesetzt?
Du kannst in der DGL besser einsetzen, wenn du gleich y=x(z-4) nach x ableitest:
y'=(z-4)+xz'
LG
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hey nochmal:)
ich verstehe nicht so ganz wie du y=x(z-4) nach x ableitest:
für mich is das irgendwie y'=z-4 oder wie läuft das xD
helft mir aus der Blokade :)
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 So 26.06.2011 | | Autor: | notinX |
> hey nochmal:)
>
> ich verstehe nicht so ganz wie du y=x(z-4) nach x
> ableitest:
>
> für mich is das irgendwie y'=z-4 oder wie läuft das xD
Versuchs mal mit der Produktregel: [mm] $y(x)=g(x)\cdot [/mm] h(x)$
mit $ g(x)=x $ und $ h(x)=z(x)-4 $
>
> helft mir aus der Blokade :)
>
> Gruß
>
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ah ok jetz sehe ich was sich da abspielt;P
Nur weiß ich jetz nich so ganz wie ich meine substituierten Term in die ausgangsgleichung einsetzte um eine TdV zu machen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 So 26.06.2011 | | Autor: | notinX |
> ah ok jetz sehe ich was sich da abspielt;P
>
> Nur weiß ich jetz nich so ganz wie ich meine
> substituierten Term in die ausgangsgleichung einsetzte um
> eine TdV zu machen??
Ok, ich fang mal an. Wie vereinbart ist [mm] $z=\frac{y}{x}+4$
[/mm]
Also ist: [mm] $z'=\frac{y'}{x}-\frac{y}{x^2}$
[/mm]
jetzt lassen wir y und y' verschwinden:
[mm] $z'=\frac{z}{x}-\frac{x(z-4)}{x^2}$
[/mm]
das kannst Du nun durch TdV lösen.
Gruß,
notinX
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Na dann bin ich ja mal gespannt ob ich alles soweit richtig gemacht habe:
[mm] z'=\bruch{z}{x}-\bruch{x(z-4)}{x^2}=\bruch{z-z-4}{x}=\bruch{-4}{x}
[/mm]
also dann
[mm] \integral_{}^{}{dz} =-4*\integral_{}^{}{\bruch{^1}{x}dx}
[/mm]
z=-4ln(x)
Dann hab ich z wieder ersetzt:
[mm] \bruch{y}{x}+4=-4ln(x)
[/mm]
[mm] y=\bruch{-4ln(x)-4}{x}
[/mm]
Passt alle so??
Dann hät ich noch nen paar allgemeine Fragen;
Ist es ratsam zu Beginn den kompletten Term nach y' aufzulösen und dann alles zu substituieren??
Stelle ich das z nach y um so dass ich dieses y dann in mein z' einsetzten kann?
Ist mein y' in de Ableitung z' immer y'=z??
Oder war das jetz nur im Bezug auf dies Aufgabe??
Gruß und vielen dank
mathefreak
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 So 26.06.2011 | | Autor: | notinX |
> Na dann bin ich ja mal gespannt ob ich alles soweit richtig
> gemacht habe:
>
> [mm]z'=\bruch{z}{x}-\bruch{x(z-4)}{x^2}=\bruch{z-z-4}{x}=\bruch{-4}{x}[/mm]
Nicht ganz:
$ [mm] z'=\bruch{z-(z-4)}{x}=\bruch{4}{x} [/mm] $ 
>
> also dann
>
> [mm]\integral_{}^{}{dz} =-4*\integral_{}^{}{\bruch{^1}{x}dx}[/mm]
>
> z=-4ln(x)
Ich hätte hier noch eine Integrationskonstante spendiert:
[mm] $z(x)=4\ln [/mm] x [mm] +c_0$
[/mm]
>
> Dann hab ich z wieder ersetzt:
>
> [mm]\bruch{y}{x}+4=-4ln(x)[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{-4ln(x)-4}{x}[/mm]
>
Nein, schau Dir das nochmal an. So haut das nicht hin.
> Passt alle so??
>
> Dann hät ich noch nen paar allgemeine Fragen;
>
> Ist es ratsam zu Beginn den kompletten Term nach y'
> aufzulösen und dann alles zu substituieren??
Ja ich finde schon.
>
> Stelle ich das z nach y um so dass ich dieses y dann in
> mein z' einsetzten kann?
Ja.
>
> Ist mein y' in de Ableitung z' immer y'=z??
Das verstehe ich nicht.
>
> Oder war das jetz nur im Bezug auf dies Aufgabe??
>
> Gruß und vielen dank
> mathefreak
Gruß,
notinX
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Stimmt war wohl ein wenig bescheuert umgeformt xD
Hätte dann folgendes raus:
y=(4ln(x)+C-4)x
Zu der Frage die du nicht verstanden hast :-P
Meinte damit ,dass in meinem z' ja wohl immer ein y' auftaucht.
Ersetzte ich dieses y' durch z?
Wenn das alles passt stell ich hier gleich mal eine ähnliche Aufgabe die ich hoffenlich richtig gelöst habe:)
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 So 26.06.2011 | | Autor: | notinX |
> Stimmt war wohl ein wenig bescheuert umgeformt xD
>
> Hätte dann folgendes raus:
>
> y=(4ln(x)+C-4)x
Das sieht gut aus.
>
> Zu der Frage die du nicht verstanden hast :-P
> Meinte damit ,dass in meinem z' ja wohl immer ein y'
> auftaucht.
> Ersetzte ich dieses y' durch z?
Ja, denn Du hast ja genau so substituiert, dass $y'=z$ gilt.
>
> Wenn das alles passt stell ich hier gleich mal eine
> ähnliche Aufgabe die ich hoffenlich richtig gelöst
> habe:)
> gruß
Der Vorteil bei DGLen ist, dass man seine Lösung leicht durch einsetzen überprüfen kann. Kommt eine wahre Aussage raus, stimmt die Lösung.
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Wie überprüfe ich dass denn? Lete ich meine Lösung ab und sette diese bei y' ein??
Dennoch schreib mal fix die andere Aufgabe auf :-P
hab das ganze nach y' umgestellt:
[mm] y'=\bruch{1+y}{tan(x)}=z [/mm] und substituiert.
dann ist
[mm] z'=\bruch{y'tan(x)-[(1+y)(1+tan^2(x))]}{tan^2(x)}
[/mm]
[mm] z'=\bruch{ztan(x)-[ztan(x)+ztan^3(x)]}{tan^2(x)}
[/mm]
z'=ztan(x)
[mm] \bruch{dz}{dx}=ztan(x)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z}dz}=\integral_{}^{}{tan(x)dx}
[/mm]
ln(z)=-ln(cos(x))
z=-cos(x)
Dann alles zurück
[mm] \bruch{1+y}{tan(x)}=-cos(x)
[/mm]
y=-cos(x)*tan(x)-1
Passt das so??
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 So 26.06.2011 | | Autor: | notinX |
> y'tan(x)-y=1
> Wie überprüfe ich dass denn? Lete ich meine Lösung ab
> und sette diese bei y' ein??
Ja genau.
>
> Dennoch schreib mal fix die andere Aufgabe auf :-P
>
> hab das ganze nach y' umgestellt:
>
> [mm]y'=\bruch{1+y}{tan(x)}=z[/mm] und substituiert.
>
> dann ist
>
> [mm]z'=\bruch{y'tan(x)-[(1+y)(1+tan^2(x))]}{tan^2(x)}[/mm]
>
> [mm]z'=\bruch{ztan(x)-[ztan(x)+ztan^3(x)]}{tan^2(x)}[/mm]
>
> z'=ztan(x)
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}=ztan(x)[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{z}dz}=\integral_{}^{}{tan(x)dx}[/mm]
>
> ln(z)=-ln(cos(x))
>
> z=-cos(x)
>
> Dann alles zurück
>
> [mm]\bruch{1+y}{tan(x)}=-cos(x)[/mm]
>
> y=-cos(x)*tan(x)-1
>
> Passt das so??
Versuch mal selbst durch nachrechnen rauszufinden, ob die Lösung stimmt. (siehe oben)
>
> Vielen Dank
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Bin jetz bei [mm] -cos(x)tan^3(x)+sin(x)tan(x)^2+1=1
[/mm]
also 1=1
Müsste also passen:-P stimmts?
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> Bin jetz bei [mm]-cos(x)tan^3(x)+sin(x)tan(x)^2+1=1[/mm]
>
> also 1=1
>
> Müsste also passen:-P stimmts?
>
>
den tangens sollte man aber schon mit dem cosinus kürzen.. es fehlt aber noch eine integrationskonstante
gruß tee
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