Gleichung von 1/2 e^(-a*x) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 So 03.07.2016 | | Autor: | myschorA |
| Aufgabe | [mm] f(x)=y_{0}* [/mm] + [mm] e^{-\alpha*x_{0}} [/mm] mit [mm] \alpha>0.
[/mm]
Seien [mm] x_{0} ,y_{0} [/mm] ∈ R
Wie groß muss [mm] \Delta [/mm] x gewählt werden, damit [mm] f(x_{0} [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x) halb so groß ist wie [mm] f(x_{0})? [/mm] |
Soweit bin ich gekommen:
[mm] f(x_{0} [/mm] + [mm] \Delta [/mm] x) = [mm] \bruch{1}{2} f(x_{0}); x\in\IR
[/mm]
[mm] \gdw y_{0}* [/mm] + [mm] e^{x_{0} + \Delta x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} y_{0}* e^{-\alpha*x_{0} }; [/mm]
[mm] \gdw e^{-\alpha*x_{0} * e^(-\alpha * \Delta x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*e^{-\alpha*x_{0}} [/mm] /ln
[mm] \gdw -\alpha* \Delta [/mm] x = ??? Ab hier komme ich nicht weiter
Ist [mm] \bruch{1}{2}*e^{-\alpha*x_{0}} [/mm] /ln
[mm] ln(\bruch{1}{2}*e^{-\alpha*x_{0}} [/mm] )
dann [mm] -\alpha*x_{0}ln(\bruch{1}{2}*e) [/mm] ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 So 03.07.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]f(x)=y_{0}*[/mm] + [mm]e^{-\alpha*x_{0}}[/mm] mit [mm]\alpha>0.[/mm]
> Seien [mm]x_{0} ,y_{0}[/mm] ∈ R
>
> Wie groß muss [mm]\Delta[/mm] x gewählt werden, damit [mm]f(x_{0}[/mm] +
> [mm]\Delta[/mm] x) halb so groß ist wie [mm]f(x_{0})?[/mm]
> Soweit bin ich gekommen:
>
> [mm]f(x_{0}[/mm] + [mm]\Delta[/mm] x) = [mm]\bruch{1}{2} f(x_{0}); x\in\IR[/mm]
>
> [mm]\gdw y_{0}*[/mm] + [mm]e^{x_{0} + \Delta x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} y_{0}* e^{-\alpha*x_{0} };[/mm]
Du hast hier schon den Faktor [mm] -\alpha [/mm] vergessen
[mm]f(x_{0}+\Delta x)=\frac{1}{2}f(x_{0})[/mm]
[mm]\Leftrightarrow y_{0}+e^{-\alpha(x_{0}+\Delta x)}=\frac{1}{2}\cdot\left(y_{0}+e^{-\alpha x_{0}}\right)[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2}y_{0}=\frac{1}{2}e^{-\alpha x_{0}}-e^{-\alpha(x_{0}+\Delta x)}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2}y_{0}=\frac{1}{2}e^{-\alpha x_{0}}-e^{-\alpha x_{0}}\cdot e^{\Delta x}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2}y_{0}=\left(\frac{1}{2}-e^{\Delta x}\right)\cdot e^{-\alpha x_{0}}[/mm]
Jetzt bist du wieder dran, das weiter aufzulösen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 So 03.07.2016 | | Autor: | myschorA |
Oh . Ja stimmt. Den alpha habe ich beim Tippen vergessen, aber auf dem Blatt steht es. Also ich habe es mit alpha weitergerechnet.
$ [mm] \Leftrightarrow \frac{1}{2}y_{0}=\frac{1}{2}e^{-\alpha x_{0}}-e^{-\alpha(x_{0}+\Delta x)} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow \frac{1}{2}y_{0}=\frac{1}{2}e^{-\alpha x_{0}}-e^{-\alpha x_{0}}\cdot e^{\Delta x} [/mm] $
Muss da nicht das stehen? Also beim Letzten auch mit [mm] -\alpha?
[/mm]
$ [mm] \Leftrightarrow \frac{1}{2}y_{0}=\frac{1}{2}e^{-\alpha x_{0}}-e^{-\alpha x_{0}}\cdot e^{-\alpha\Delta x} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 So 03.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Oh . Ja stimmt. Den alpha habe ich beim Tippen vergessen,
> aber auf dem Blatt steht es. Also ich habe es mit alpha
> weitergerechnet.
>
> [mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2}y_{0}=\frac{1}{2}e^{-\alpha x_{0}}-e^{-\alpha(x_{0}+\Delta x)}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2}y_{0}=\frac{1}{2}e^{-\alpha x_{0}}-e^{-\alpha x_{0}}\cdot e^{\Delta x}[/mm]
>
> Muss da nicht das stehen? Also beim Letzten auch mit
> [mm]-\alpha?[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2}y_{0}=\frac{1}{2}e^{-\alpha x_{0}}-e^{-\alpha x_{0}}\cdot e^{-\alpha\Delta x}[/mm]
da hast du recht
fred
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