Gleichungslösung über ln? < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Fr 22.03.2013 | | Autor: | Jack2401 |
| Aufgabe | | [mm] 2^{x}=5x-1 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo mache gerade ein paar Übungsaufgaben und irgendwie fehlt mir ne Regel zum Lösen der Gleichung [mm] 2^{x}=5x-1.
[/mm]
Hoffe jemand kann kurzfristig helfen.
Danke
Gruß
Jack2401
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Fr 22.03.2013 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> [mm]2^{x}=5x-1[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo mache gerade ein paar Übungsaufgaben und irgendwie
> fehlt mir ne Regel zum Lösen der Gleichung [mm]2^{x}=5x-1.[/mm]
eine "Regel" kenne ich da jetzt auch nicht. Mein Tipp wäre:
Betrachte die Funktion [mm]f(x)=2^x-5\cdot{x}+1[/mm].
Betrachte den Verlauf der Funktion, gucke, wie viele Nullstellen f hat und bestimme f(x)=0 z.B. mit dem Newton-Verfahren.
> Hoffe jemand kann kurzfristig helfen.
>
> Danke
> Gruß
> Jack2401
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Fr 22.03.2013 | | Autor: | Jack2401 |
Ok der Hinweis mit dem Newton verfahren hilft sich der Lösung zu Nähern,
die erste Ableitung sollte:
f'(x)= [mm] x2^{x-1}-5 [/mm] sein.
Bin jetzt bei einem Wert x=4,388289 (Gott sei dann gibt es Excel)
Hoffe jemand kennt noch einen korrekten Rechenschritt zu exakten Lösung der Gleichung
Gruß
Tobias
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Hallo Tobias,
> Ok der Hinweis mit dem Newton verfahren hilft sich der
> Lösung zu Nähern,
>
> die erste Ableitung sollte:
> f'(x)= [mm]x2^{x-1}-5[/mm] sein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Oha!
Das ist Murks! Das [mm]x[/mm] bei [mm]2^x[/mm] steht doch im Exponenten, da kannst du die "normale" Potenzregel nicht anwenden.
Es ist [mm]2^x=e^{\ln\left(2^x\right)}=e^{x\cdot{}\ln(2)}[/mm]
Also [mm]\frac{d}{dx}2^x=\ln(2)\cdot{}e^{x\cdot{}\ln(2)}=\ln(2)\cdot{}2^x[/mm]
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> Bin jetzt bei einem Wert x=4,388289 (Gott sei dann gibt es
> Excel)
>
> Hoffe jemand kennt noch einen korrekten Rechenschritt zu
> exakten Lösung der Gleichung
>
> Gruß
> Tobias
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Fr 22.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]2^{x}=5x-1[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo mache gerade ein paar Übungsaufgaben und irgendwie
> fehlt mir ne Regel zum Lösen der Gleichung [mm]2^{x}=5x-1.[/mm]
>
vielleicht geht es ja nur um die Existenz einer Lösung?
Das begründet man etwa so: Die Funktion
$$f [mm] \colon \IR \to \IR$$
[/mm]
mit
[mm] $$f(x):=2^x-5x+1$$
[/mm]
ist stetig und erfüllt
[mm] $\bullet$ $f(1)=2^1-5*1+1=\;-2\;<\;0$
[/mm]
sowie
[mm] $\bullet$ [/mm] $f(5)=32-25+1=8 > [mm] 0\,.$
[/mm]
(Beweis der Stetigkeiz?)
Die Anwendung des Zwischenwertsatzes auf (die stetige Funktion) [mm] $f_{|[1,5]}$
[/mm]
liefert, dass ein [mm] $x_0 \in [/mm] [1,5]$ mit [mm] $f_{|[1,5]}(x_0)=f(x_0)=0$ [/mm] existiert.
Gruß,
Marcel
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