Gradient einer Funktion < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Minchen |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die partiellen Ableitungen erster Ordnung und den Gradienten
(i) f(x,y) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 2*x^2*y^2 [/mm] + [mm] 4*x*y^5 [/mm] + [mm] y^4 [/mm] + 6 |
Hallo,
ich hätte mal eine Frage zu dieser Aufgabe. Was ist ein Gradient bzw. wie berechne ich ihn?
Die partiellen Ableitungen hab ich bestimmt:
[mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] x = [mm] 3*x^2 [/mm] - [mm] 4*x*y^2 [/mm] + [mm] 4*y^3
[/mm]
[mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] y = [mm] -4*x^2*y [/mm] + [mm] 20*x*y^4 [/mm] + [mm] 4*y^3
[/mm]
Der Gradient ist ja: [mm] (\partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] x , [mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] y)
d.h mein Gradient bei dieser Aufgabe ist:
( [mm] 3*x^2 [/mm] - [mm] 4*x*y^2 [/mm] + [mm] 4*y^3 [/mm] , [mm] -4*x^2*y [/mm] + [mm] 20*x*y^4 [/mm] + [mm] 4*y^3)
[/mm]
da ich ja keine bestimmte Stelle hab, an der ich den Gradienten bestimmen soll.
Stimmt das so?
Wär wirklich lieb, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke schon mal im Vorraus
Grüßle Minchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Minchen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ich habe nur etwas leicht anderes bei der partiellen Ableitung [mm] $f_x$ [/mm] heraus mit:
[mm] $f_x(x,y) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] \ = \ [mm] 3*x^2 [/mm] - [mm] 4*x*y^2 [/mm] + [mm] 4*y^{\red{5}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Minchen |
Hallo Loddar,
Danke für das nette Willkommen heißen.
Das mit deiner Ableitung ist natürlich richtig. Danke
Grüßle Minchen
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Wenn du eine reellwertige Funktion gegeben hast, die von 2 oder mehr Unbekannten abhängt, kann man diese Unbekannten als Raumkoordinaten und den Funktionswert als weitere Raumkoordinate auffassen. Beispiel: f(x,y)= [mm] x^2+y. [/mm] In diesem Fall wird jedem Punkt der x-y-Ebene ein Funktionswert z=f(x,y) zugeordnet. Die z-Achse wäre dann als 3. Raumkoordinate anzusehen. Durch die Zuordnung z=f(x,y)= [mm] x^2+y [/mm] erhältst du zu jedem Punkt (x,y) den darüberliegenden z-Wert. Verbindet man so alle (x,y,z)-Punkte, erhält man i.a. eine Fläche im 3-dim. Raum und damit eine Berg- und Tallandschaft.
Willst du nun wissen, wie stark f ansteigt, wenn du von x ein Stückchen dx und von y ein Stückchen dy weitergehst, musst du das totale Differenzial bilden:
[mm] dz=df(x,y)=\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}dy. [/mm] (*)
An einem bestimmten Punkt (x,y) geben [mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y} [/mm] einen festen Wert, und nun hängt es von dx und dy ab - also wie weit und in welche Richtung du dich von dem Punkt entferntst - wie stark f ansteigt bzw absinkt.
Dire rechte Seite von (*) lässt sich aber auch als Skalarprodukt zweier Vektoren beschreiben:
[mm] df(x,y)=\vektor{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} \\ \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}}\vektor{dx \\ dy}=grad(f)*d\vec{r}
[/mm]
Nun ist der Gradient ein Vektor und [mm] d\vec{r} [/mm] ebenfalls. Was bedeuten diese beiden Vektoren?
[mm] d\vec{r} [/mm] ist einfach der Vektor, mit dem wir vom Ausgangs- zu einem Nachbarpunkt gehen. Nun gilt: ist [mm] grad(f)\perp d\vec{r}, [/mm] so gibt das Skalarprodukt 0, also df=0, dh. unser z-Wert ändert sich nicht, wir bleiben auf der selben Höhe.
Ist [mm] d\vec{r}\parallel [/mm] grad(f), so wird das Skalarprodukt (bei festem Betrag von [mm] d\vec{r}) [/mm] maximal, und Somit gibt grad(f) die Richtung an, in die man gehen muss, um (bei gegebener Schrittlänge) den Höchsten Anstieg für z zu erzielen.
Der Gradient ist somit ein Vektor, der in die Richtung der stärksten z-Zunahme zeigt. Bei einer normalen Berg- und Tallandschaft würde der Höhengradient somit immer den Berghang in die steilste Richtung hochzeigen, und sein Betrag wäre ein Maß für die Steilheit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Minchen |
Hallo HJKweseleit,
Danke für die nette Erklärung.
Mir ist jetzt klar, was ein Gradient ist und wofür ich ihn brauch.
Eine Frage hätte ich doch noch:
$ [mm] dz=df(x,y)=\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}dy. [/mm] $
Woher kommt das dx und dy? Sind das die Richtungsvektoren? Und wenn ja, werden die meistens angegeben in Aufgaben oder woher weiß ich die?
Danke im Vorraus für Antwort
Grüßle Minchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
die dx und dy bedeuten sozusagen eine ifinitesimale Verschiebung wenn man so will. Genauer sind das die Basen des Cotangentialraumes und das df (ein Element davon) die Ableitung von f im Sinne des Differentialform-Kalküls, die Koordinatendarstellung kann somit mit den dx und dy als Basis ausgedrückt werden. Die Koordinaten selbst sind dabei die des Gradienten von f.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Minchen |
Hallo
Tut mir leid das ich schon wieder nachfrage, irgendwie ist mir das immer noch nicht ganz klar.
Wenn ich mir jetzt zum Beispiel die Aufgabe von oben anschaue und sage ich will den Gradienten an der Stelle (1,1) z.b.
dann hab ich ja
dz = df(1,1) = (3-4+4) dx + (-4+20+4) dy
= 3 dx + 20 dy
also ist grad (f) * d [mm] \vec [/mm] r = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 20 \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}
[/mm]
Damit kann ich ja dann [mm] \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} [/mm] bestimmen, so dass die Fläche entweder auf gleicher Höhe bleibt oder das sie steigt oder sinkt.
Aber ohne weitere Information kann ich nicht sagen was d [mm] \vec [/mm] r ist, bzw. wie [mm] \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} [/mm] aussieht.
Ist das richtig so?
Danke im Vorraus
Grüßle Minchen
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Ja, der Vektor [mm] \vektor{dx \\ dy} [/mm] ist von dir frei wählbar.
Stelle dir vor, f(x,y)= [mm] x^2+y. [/mm] Nun Berechnest du z.B. f(2,4)=4+4=8 und fragst dich: Wie ändert sich der Wert z=8, wenn ich ein bisschen vom Punkt (2,4) weggehe? Das hängt natürlich davon ab, wohin du gehst, und das ist dir freigestellt, es muss nur eine "kleine" Änderung sein.
Der Gradient ist nun [mm] \vektor{2x \\ 1} [/mm] und somit für den angegebenen Punkt (2,4): [mm] \vektor{4 \\ 1}. [/mm]
Auf diesen Vektor steht nun z.B. der Vektor [mm] \vektor{-1 \\ 4} [/mm] senkrecht , dh.: Gehst du in diese Richtung weiter, dürfte sich der z-Wert kaum ändern.
Tun wir das: Wir nehmen für [mm] \vektor{dx \\ dy}=\vektor{-0,01 \\ 0,04} [/mm] und sind damit am Punkt (1,99|4,04). z gibt nun [mm] 1,99^2+4,04=3,9601+4,04=8,0001. [/mm] Die geringe Änderung [mm] \ne [/mm] 0 resultiert nur daraus, das die Schrittlänge nicht infinitesimal klein ist.
Nun machen wir das selbe in Richtung des Gradienten: Vom Punkt gehen wir nun nach [mm] \vektor{dx \\ dy}=\vektor{0,04 \\ 0,01} [/mm] und gelangen zu (2,04|4,01) mit [mm] z=2,04^2+4,01=4,1616+4,01=8,1716, [/mm] ein deutlich höherer Zuwachs!
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