Gradientenverfahren DRINGEND! < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Sa 14.07.2007 | | Autor: | smaedi |
| Aufgabe | max f(x,y) = [mm] y-(x^2+(y^4)/4)
[/mm]
s.t. (x,y) Element
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe am Montag Operations Management Prüfung und brauch dringend Hilfe...!
Wir haben ein [mm] u^0 [/mm] gegeben und das [mm] l^0 [/mm] damit ausgerechnet :
[mm] l^0=u^0-t*nabla(u^0)
[/mm]
dann haben wir das dazugehörige t ausgerechnet und können das fürs [mm] u^1 [/mm] verwenden.
[mm] u^1=u^0-t(ausgerechnet)*nabla(u^0)
[/mm]
mein Problem nun... die Formel klappt total super fürs minimieren einer funktion.
wenn ich nun aber eine problemstellung mit maximiere habe haut das ja nicht mehr hin mit dem addieren!
lt. vorlesung müssen wir in der formel von der Länge [mm] (l^0, l^1...) [/mm] ein - statt dem + einsetzen.
lt. einem mathematik buch (dort ist die maximierung mit einem + in beiden formeln beschrieben) muss man für die minimierung in der formel vom [mm] u^1, u^2 [/mm] usw ein - einsetzen!
ich bin jetzt total verwirrt... für mich wäre logisch beide formeln bei minimierung mit - und bei maximierung mit + anzuwenden! das haut aber leider nicht hin... die minimierung mit 2x Minus haut super hin, wenn ich dann aber die maximierungsbeispiele von unserem übungszettel rechne kommt mit 2x + nach dem 1. schritt immer 0 heraus! wenn ich nur ein + einsetze (und da isses egal ob in u oder l) kommt bei der abbruchbedingung
||nabla [mm] f(u^k)|| [/mm] welche <0,001 sein sollte (ja bei MAX!!) immer mehr raus, bam 1. mal 1,4... bei [mm] u^1 [/mm] sinds dann schon 8,7...
ich hoffe mir kann dringend wer helfen... ich habe montag prüfung... und kein internet und kein buch kann mir wirklich weiterhelfen...
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich würde Dir ja gerne helfen, aber ich kapiere die Aufgabe nicht.
Zuerst dachte ich, es ginge darum, das Maximum der Funktion f(x,y) zu bestimmen.
Was sollen diese u und t und l sein, von denen Du redest?
Hilfreich wäre es sicher, würdest Du die komplette Aufgabe präsentieren. Von welcher "Formel" redest Du?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Sa 14.07.2007 | | Autor: | smaedi |
max [mm] f(x,y)=y-(x^2+(y^4)/4)
[/mm]
s.t. [mm] (x,y)\in\IR^2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Sa 14.07.2007 | | Autor: | viktory_hh |
| Aufgabe | als ich früher hier solche Lösungen machte, wie Hilfe dringend oder Schnelle Hilfe usw. wurde ich gleich von anderen attackiert. Jetzt bekomme ich nur noch selten irgendwelche Antworten, zumindest betreffend der Mathematik. Ich überlege schon mal einen anderen Account zu machen und das ganze von vorne anzufangen und dann vorsichtiger zu sein. Hilfe brauche ich ja auch immer noch.
Leider kann ich Dir bei der Frage nicht viel weiter helfen, da ich sie auch nicht ganz verstehe. Bis dann |
x
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Hi, wenn es nur um die Maximierung geht und die minimierung klappt bei dir super, dann einfach folgende Regle:
min f(x)=-max -f(x)
das heißt minimiere -f(x) und negiere das Ergebnis und schon hast du deine Lösung.
bis dann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Sa 14.07.2007 | | Autor: | smaedi |
ja die Abbruchbedingung lautet
||nabla [mm] f(u^k)<0,001||
[/mm]
für die Maximierung!!! Somit kann ichs nit Minimieren und dann das negative davon nehmen... ich würd einfach nur gern eine Formel für die Minimierung/ Maximierung bekommen!
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> ja die Abbruchbedingung lautet
> ||nabla [mm]f(u^k)<0,001||[/mm]
> für die Maximierung!!! Somit kann ichs nit Minimieren und
> dann das negative davon nehmen... ich würd einfach nur gern
> eine Formel für die Minimierung/ Maximierung bekommen!
Hallo,
es scheint in Deiner Frage um numerische Mathematik zu gehen.
Wenn ich es recht verstehe, ist das Gradientenverfahren ein Verfahren, mit welchem Du numerisch das Minimum bestimmen kannst. Dem was Du schreibst, entnehme ich, daß das Finden des Minimum für Dich kein Problem ist.
Ich bin mir nicht sicher, ob Du victory_hhs Hinweis richtig verstanden hast. Er sagt:
wenn Du das Maximum von f bestimmen willst, ist das dasselbe, als würdest Du das Minimum von -f suchen. (Logisch: da, wo f Berge hat, hat -f Täler.)
Du könntest also zur Bestimmung der Maxima von f(x,y)=$ [mm] y-(x^2+(y^4)/4) [/mm] $
die Funktion [mm] g(x,y):=-f(x,y)=-y+(x^2+(y^4)/4) [/mm] betrachten und mit dem bei Dir funktionierenden Verfahren ihr Minimum bestimmen. Dieses Minimum, welches Du dann erhältst, ist das Maximum von f(x,y).
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Sa 14.07.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Ja genau, nur nicht vergessen, das Minimimum zu negieren!
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> Ja genau, nur nicht vergessen, das Minimimum zu negieren!
Und um ganz auf Nr.Sicher zu gehen: den WERT des Minimums, nicht etwa die Koordinaten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Sa 14.07.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Ganz GENAU !!! Grüße an Angela 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Sa 14.07.2007 | | Autor: | smaedi |
und genau das will ich nicht, sonst hätte ich das schon längst so gemacht!
es gibt zwei verfahren... des eine heißt min f(x,y).. das andere max f(x,y)
und ich suche das Gradientenverfahren zur maximierung, das ich beenden kann, wenn die Distanz zum Ursprung kleiner als 0,001 ist!
wenn ich hier nun die minimierung im [mm] R^3 [/mm] mache is das ja ganz toll dann... thema verfehlt würde der mathe lehrer sagen!!
als bsp zur veranschaulichung... wenn ich die fläche unter einer kurve (das integral) haben möchte rechne ich ja auch nicht 1-fläche außer der kurve oder? ist teilweise viel zu umständlich oder nicht lösbar!!
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 14.07.2007 | | Autor: | viktory_hh |
| Aufgabe | Um bei deinem Beispiel zu bleiben, was machst Du, wenn die Kurve unterhalb der x-Achse verläuft. Ich berechne das Integral und nehme den Wert mal -1.
Du kannst dann nach einem Integral suchen, der dir die Fläche für unterhalb der x-Achse verlaufende Kurven bestimmt. |
Ich verstehe nich dein Problem. Du minimierst die negative Funktion und nimmst den Wert mal -1. Dann hast du das richtige Ergebnis und der Lehrer wird bestimmt nichts sagen. Denn es ist richtig so.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Sa 14.07.2007 | | Autor: | smaedi |
du glaubst doch nicht im ernst dass ich um hilfe bitte wenn ich etwas kann?
lt. angabe ist das beispiel mit der maximierungsformel zu lösen! checkst du es nun? max f(x,y) ... sonst steht f(x,y).... und dann steht was von maximierung! es wird aber explizit nach der formel von der maximierung gebeten... weiters kann man es nicht mit *-1 der minimierung gelöst werden, da kommt ein voller blödsinn raus!!!!!!
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> du glaubst doch nicht im ernst dass ich um hilfe bitte wenn
> ich etwas kann?
Hallo,
den Anschein, daß Du es kannst und die Thematik und Vorgehensweise souverän überblickst, erweckst Du keinesfalls. Deshalb glaube ich schon, daß Du zu Recht um Hilfe bittest.
Ich möchte zunächst nochmal unterstreichen, daß die Minimierung von -f für Auffinden des Maximums von f keinesfalls unter "Thema verfehlt" laufen würde. Daß Du das nicht tun möchtest, weil Du eine von Deinen Formeln anwenden möchtest, ist ein anderes Thema.
(Es dürfte sich bei der v. victory_hh geschilderten Vorgehensweise genau die gesuchte Formel ergeben)
Man könnte Dir nun besser helfen, wenn Du Deine beiden Verfahren inkl. Erklärung der verwendeten Buchstaben hier vorstellen würdest,
und anschließend vorrechnen, wie Du bei der Maximierung scheiterst.
> weiters kann man es nicht mit *-1 der minimierung gelöst
> werden, da kommt ein voller blödsinn raus!!!!!!
Diesen Blödsinn zu sehen, wäre hilfreich.
Es kann nämlich auch sein, daß Du gar nichts Falsches rechnest. Gradientenan- und -abstiegsverfahren sind ja nicht völlig problemlos, z.B. wenn Du die falsche Schrittweite oder einen ungünstigen Starwert wählst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 So 15.07.2007 | | Autor: | smaedi |
ok... also...
min [mm] f(x,y)=(x-2)^4+(x-2y)^2
[/mm]
[mm] x^0=(0,3)
[/mm]
zuerst rechnest du die part. ableitung nach x und y aus
fx = [mm] 4*(x-2)^3+2(x-2y)
[/mm]
fy = 2(x-2y)*-2
dann setzt du des [mm] x^0 [/mm] in die part. ableitungen ein um zu deinem nabla [mm] f(x^0) [/mm] zu kommen
als nächstes schreibst du die formel für [mm] l^0 [/mm] auf
[mm] l^0=(x^0-t*nabla f(x^0))
[/mm]
setzt dieses [mm] l^0 [/mm] dann in f_schlange(t) ein... also (0-t*nabla [mm] f(x^0),3-t*nabla f(x^0)) [/mm] aber nicht ausrechnen... bringt hier nix
jetzt bildest du f'_schlange(t)... einfach das f_schlange(t) ableiten und damit kannst du dann mittels gleichungssystem (hier newton, da [mm] t^3...) [/mm] das t ausrechnen.
das ausgerechnete t kannst du nun für dein [mm] x^1 [/mm] verwenden um dies auszurechnen:
[mm] x^1=(x^0-t(ausgerechnet) [/mm] * nabla [mm] f(x^0) [/mm] ...
danach kannst wieder dein nabla [mm] f(x^1) [/mm] ausrechnen... mit [mm] x^1 [/mm] und nabla [mm] f(x^1) [/mm] kann man wieder [mm] l^1 [/mm] aufstellen um dein neues t rauszubekommen usw...
das spiel lässt sich bis [mm] x^8 [/mm] spielen...
[mm] x^8=(2,28;1,15)
[/mm]
norm(nabla [mm] f(x^8))=0,09
[/mm]
abbruchbedingung war... norm(nabla [mm] f(x^k))<0,1
[/mm]
ich hoffe das war nun verständlich, leider sehr lang des beispiel deswegen hab ichs nicht ausgerechnet!
max f(x,y) = [mm] y-((x^2)+(y^4)/4)
[/mm]
so und hier rechne ich gleich alles mal vor... startpunkt [mm] x^0=(1/2,1)
[/mm]
fx = -2x
[mm] fy=1-y^3
[/mm]
nabla [mm] f(x^0)=(-1,0)
[/mm]
norm(nabla [mm] f(x^0))=1
[/mm]
[mm] l^0=((1/2,1)+t*(-1,0))
[/mm]
[mm] l^0=((1/2)-t),1)
[/mm]
[mm] f_schlange(t)=1-((1/2)-t)^2)-1/4
[/mm]
[mm] f_schlange(t)=3/4-((1/2)-t)^2
[/mm]
f'_schlange(t)=-2(1/2-t)*-1
f'_schlange(t)=1-2t = 0 (null setzen)
t=0,5
[mm] x^1=(x^0+t*nabla f(x^0))
[/mm]
[mm] x^1=((1/2,1)+0,5*(-1,0))
[/mm]
[mm] x^1=(0,1)
[/mm]
nabla [mm] f(x^1)=(0,0)
[/mm]
norm(nabla [mm] f(x^1))=0!!!
[/mm]
abbruchbedingung wäre norm(nabla [mm] f(x^k))<0,001
[/mm]
nur ist bei jedem seiner beispiele gleich nach dem 2. schritt mittels maximum gerechnet 0! da kann was nicht stimmen...
vor allem ist das beispiel als Übung von uns zu rechnen gewesen (ohne abbruchbedingung) und da hat er gesagt nach dem 3. Iterationsschritt beenden... also kann da was nicht stimmen, formel sollte aber stimmen... wir sind total ratlos.
lg
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> max f(x,y) = [mm]y-((x^2)+(y^4)/4)[/mm]
> so und hier rechne ich gleich alles mal vor... startpunkt
> [mm]x^0=(1/2,1)[/mm]
> fx = -2x
> [mm]fy=1-y^3[/mm]
>
> nabla [mm]f(x^0)=(-1,0)[/mm]
> norm(nabla [mm]f(x^0))=1[/mm]
>
> [mm]l^0=((1/2,1)+t*(-1,0))[/mm]
> [mm]l^0=((1/2)-t),1)[/mm]
>
> [mm]f_schlange(t)=1-((1/2)-t)^2)-1/4[/mm]
> [mm]f_schlange(t)=3/4-((1/2)-t)^2[/mm]
> f'_schlange(t)=-2(1/2-t)*-1
> f'_schlange(t)=1-2t = 0 (null setzen)
> t=0,5
>
> [mm]x^1=(x^0+t*nabla f(x^0))[/mm]
> [mm]x^1=((1/2,1)+0,5*(-1,0))[/mm]
> [mm]x^1=(0,1)[/mm]
>
> nabla [mm]f(x^1)=(0,0)[/mm]
> norm(nabla [mm]f(x^1))=0!!![/mm]
> abbruchbedingung wäre norm(nabla [mm]f(x^k))<0,001[/mm]
>
> nur ist bei jedem seiner beispiele gleich nach dem 2.
> schritt mittels maximum gerechnet 0! da kann was nicht
> stimmen...
EDIT: diese Antwort ist nicht richtig, s. Korrekturmitteilung.
Eine neue Antwort gibt's hier
Gruß v. Angela
Hallo,
ich habe das nicht in Einzelheiten nachgerechnet, kann Dir aber sagen, daß es nicht an Dir liegt, wenn hier "etwas nicht stimmt".
Diese Funktion hat nämlich kein Maximum, und deshalb kannst Du natürlich weder mit dem Gradientenverfahren noch sonstwie eines finden.
Was passiert bei Deiner Rechnung? Ausgehend vom Startwert [mm] x_0=(\bruch{1}{2},1) [/mm] erreichst Du gleich im nächsten Schritt den Punkt (0,1). An dieser Stelle ist, wie von Dir berechnet, der Gradient =(0,0) (also Abbruch).
Was ist das nun für ein Punkt? Es ist ein Sattelpunkt, also kein Extremwert. Stell Dir einen Sattel vor: der tiefste Punkt der Sitzfläche ist Dein (0,1) - und da kommst Du nicht mehr weg.
Mit einem anderen Startwert, z.B. (2,2) bist Du sicher nicht ganz so schnell dort - aber ein Maximum kannst Du gar nicht finden, weil es keins gibt.
Du würdest es natürlich auch nicht mit der Methode "minimiere -f" finden können, weil diese Funktion -f verständlicherweise kein Minimum hat.
Es tut mir leid, daß ich der Existenz eines Maximums von f nicht gleich auf den Grund gegangen bin - Dein Problem war anfänglich etwas unklar.
Ein Tip:
diese Funktion f ist mit den Methoden der Analysis II ja noch recht gut in Griff zu kriegen, und ich nehme an, daß Ihr hauptsächlich ähnlich behagliche Beispiele rechnet.
Wenn jetzt solche außergewöhnlichen Dinge auftauchen wie in der Rechnung oben, kannst Du ja per Gradient=0 setzen und Hessematrix anschauen gucken, wo es welche kritischen Punkte gibt. So habe ich das eben auch gemacht.
Ich habe den Eindruck, daß Dein Problem hiermit geklärt und die Frage beantwortet ist. Wenn nicht, frag ruhig nochmal nach.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 So 15.07.2007 | | Autor: | smaedi |
also unklar bis zum geht nicht mehr!!
das kanns ja nicht sein dass der bei jeder der alten klausuren genau dieses beispiel gibt und dass auf jedem unserer übungszettel die maximalbesipiele sofort mit 0 enden... da stimmt doch etwas gewaltig nicht!!
vor allem haben wir ein minimal bsp gemacht in der VO, was alle verstehen und darunter geschrieben
max f(x,y).... analog! lol...
lg
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> das kanns ja nicht sein dass der bei jeder der alten
> klausuren genau dieses beispiel gibt und dass auf jedem
> unserer übungszettel die maximalbesipiele sofort mit 0
> enden... da stimmt doch etwas gewaltig nicht!!
Hallo,
ich hoffe, Du hast meine Korrektur gelesen.
Dieses Beispiel hat sehr wohl ein Maximum, nämlich bei (0,1)...
Aufgrund des gewählten Startwertes [mm] x_0 [/mm] und der gewählten Schrittweite t (s.u.) erreichst Du bereits nach einem Schritt, also mit [mm] x_1, [/mm] den gesuchten Wert. Die Abbruchbedingung [mm] ||gradf(x_1)||<0.001 [/mm] ist hier natürlich erfüllt, da Du direkt auf dem Maximum sitzt und der Gradient hier =0 ist.
Eigentlich wäre das ein Grund zum Freuen, denn Du hast das Maximum schnell gefunden!
Wählst Du als Startwert (2,2), hast Du deutlich länger zu rechnen, das habe ich ausprobiert,
und auch mit [mm] x_0:=(\bruch{1}{4}, \bruch{3}{4}), [/mm] was ja schon ganz schon nah am zu findenden Maximum liegt, bist Du nicht ganz so schnell wie mit Deinem Startwert am Ziel.
zu "gewählte Schrittweite": Deinen Aufzeichungen entnehme ich, daß Ihr irgendwie (!) die (größt?)mögliche Schrittweite berechnet und nicht wie ich eine Schrittweite wählt, welche Ihr ggf. modifiziert. Ich habe diese Rechnung nicht geprüft, weil ich auf die Schnelle den Zusammenhang nicht durchschaue.
Deine Rechnung allerdings, mit welcher Du dann blitzschnell das Maximum erreichst, sagt, daß Dein Startwert und die Schrittweite hervorragend zum Problem passen.
>
> vor allem haben wir ein minimal bsp gemacht in der VO, was
> alle verstehen und darunter geschrieben
> max f(x,y).... analog! lol...
Ja. Das Minimum geht ja auch analog zum Maximum:
Beim Maximumsuchen geht man in Richtung des größten Anstieges, also [mm] x_{n+1}=x_n+tgradf(x_n).
[/mm]
Beim Minimumsuchen geht man in die entgegengesetzte Richtung des größten Anstieges: [mm] x_{n+1}=x_n-tgradf(x_n).
[/mm]
Abbrechen soll das Verfahren in beiden Fällen, wenn der Betrag des Gradienten an der besagten Stelle "nahezu" 0 ist. Das bedeutet: man hat "fast keine" Steigung bzw. Gefälle mehr, ist also "nahezu" am Maximum bzw. Minimum.
Gruß v. Angela
P.S.: Auch wenn ich vorhin mit meinem Sattelpunkt nicht richtig lag, das grundsätzliche Problem beim Verfahren bleibt - man kann sich nicht drauf verlassen, damit wirklich gleich den Extremwert zu finden, man kann an einem Sattelpunkt hängenbleiben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 So 15.07.2007 | | Autor: | smaedi |
du vielen dank angela... uns ists darum gegangen ob wir auch bei der l-formel ein + nehmen... aber jetzt wissen wir dass wir's müssen...
der startwert [mm] x^0 [/mm] ist immer gegeben mit der angabe... keine ahnung wieso der schon so zielführend ist, auf jeden fall vielen dank!
ich hoffe die prüfung morgen haut so gut hin!
lg
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 14:42 So 15.07.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> > max f(x,y) = [mm]y-((x^2)+(y^4)/4)[/mm]
> > so und hier rechne ich gleich alles mal vor...
> ich habe das nicht in Einzelheiten nachgerechnet, kann Dir
> aber sagen, daß es nicht an Dir liegt, wenn hier "etwas
> nicht stimmt".
>
> Diese Funktion hat nämlich kein Maximum, und deshalb kannst
> Du natürlich weder mit dem Gradientenverfahren noch
> sonstwie eines finden.
Hallo,
Du hast recht, daß das nicht stimmt - ein Vorzeichenfehler in der empfohlenen Proberechnung hat mich zum falschen Ergebnis gebracht.
Es liegt in der Tat bei (0,1) ein Maximum vor,
so daß das Verfahren bei einem passenden Startwert funktionieren sollte.
Gruß v. Angela
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Also abstrakt:
Gradientverfahren: f(x) und x0 seien gegeben. [mm] x=(x_1,x_2,...)
[/mm]
starte mit x0, gegeben
k=0
while [mm] (\nabla f(x_k)\not=0)
[/mm]
bestimme [mm] \nabla [/mm] f(x)
setze [mm] g(\alpha)=f(x_k+\alpha \nabla f(x_k))
[/mm]
maximiere [mm] g(\alpha) [/mm] in [mm] \alpha; [/mm] eindimensionale Maximierung ist doch wohl
leicht
setze [mm] x_{k+1}=x_k+\alpha \nabla f(x_k)
[/mm]
k=k+1;
end
für numerische Algorithmen ist dann [mm] \nabla f(_k)\not=0 [/mm] wohl nicht geeignet. Da musst du die dir gegebene (oder eine geeignete) Bedingung einsetzen.
bis dann
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Sa 14.07.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Für die eindimensionale Maximierung, bestimmst du viele Werte für verschiedene [mm] \lambda [/mm] um [mm] x_k [/mm] und bildest die Differenzen benachbarter Punkte. Dann bestimmst du die stelle wo die Differenz gleich Null ist. Das muss natürlich in einem Algorithmes automatisch ablaufen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Sa 14.07.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Ich interessiere mich echt dafür. Ich habe das vorher selbst nicht gewußt und habe dann längere Zeit überlegt wie es gehen könnte. Es wäre echt nett, wenn du was dafür zurück schreibst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Sa 14.07.2007 | | Autor: | viktory_hh |
| Aufgabe | | Man, warum geht das jetzt wieder auf beantwortet zurück. Wie geht denn das? Oder setzt das jemand wieder auf beantwortet zurück. |
Hm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 So 15.07.2007 | | Autor: | smaedi |
ähm nein es hat nicht geklappt... ich habs aber jetzt mittels min und max als antwort auf angela's frage reingestellt!
ist ein bisserl ober deinem artikel. lg
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