Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Sa 17.02.2007 | | Autor: | svenchen |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo, dazu habe ich eine Frage.
Ich verstehe den Beweis, bis dahum wo < 3 - 6/(3+wurzel3) steht.
Wieso kann man das sagen, und wieso gerade an dieser Stelle und nicht früher?
Danke
!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Hallo, dazu habe ich eine Frage.
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> Ich verstehe den Beweis, bis dahum wo < 3 - 6/(3+wurzel3)
> steht.
> Wieso kann man das sagen,
Hallo,
in der Zeile davor hast Du 3 - [mm] 6/(3+a_n), [/mm] und hier setzt Du für [mm] a_n [/mm] die Induktionsvoraussetzung [mm] a_n<\wurzel{3} [/mm] ein.
Vorher klappt das mit dem Abschätzen schlecht, weil Du da noch [mm] a_n [/mm] im Zähler und Nenner stehen hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Sa 17.02.2007 | | Autor: | svenchen |
asooo weil a(n) < wurzehl 3 ja die voraussetzung war, deswegen setzt man das also ein ;)
Wenn ich das aber ab diesem Schritt schon mache, dann ist man doch direkt schon am Ziel (genau beim vorletzten Schritt vom Rechenweg oben)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie das oben steht ist es der Lösungsweg aus der Musterlösung. Deswegen nehme ich mal an es geht nicht so, wie ich es grade vorgeschlagen habe?!?!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Wenn ich das aber ab diesem Schritt schon mache, dann ist
> man doch direkt schon am Ziel (genau beim vorletzten
> Schritt vom Rechenweg oben)
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Ja? Das möchte ich sehen, wie Du so am Ziel bist!
Mach' mal. (Das Ziel ist [mm] a_{n+1}<\wurzel{3}.)
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Sa 17.02.2007 | | Autor: | svenchen |
[mm] a_{n+1}= \bruch{3(1+a_{n}}{3+a_{n}}
[/mm]
< [mm] \bruch{3(1+\wurzel{3}}{3+\wurzel{3}}) [/mm] = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Sa 17.02.2007 | | Autor: | svenchen |
sorry hatte überlesen, dass du gesagt hast, man muss an in den Nenner bringen
Aber warum ist das so
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Svenchen!
Da bei Deinem Term [mm] $a_n$ [/mm] in Zähler und Nenner auftreten, ist hier keine eindeutige Abschätzung möglich, wenn Du hier [mm] $a_n [/mm] \ < \ [mm] \wurzel{3}$ [/mm] einsetzt.
Denn der Zähler wird dadurch kleiner, der Nenner ebenfalls. Damit ist keine Aussage für den Gesamtbruch [mm] $\bruch{\text{"kleinere Zahl"}}{\text{"kleinere Zahl"}}$ [/mm] möglich.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
hmm .. ich hätte da noch ne frage zur Aufgabe.
Sie bestand ja darin, die Existenz eines grenzwertes zu garantieren und diesen auszurechnen.
Dadurch, dass man zeigt, dass die Folge [mm] \le \wurzel{3} [/mm] ist, sagt das nichts über die Konvergenz aus.
Aber vielleicht ist das ja nicht die komplette Lösung :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Sa 17.02.2007 | | Autor: | smee |
Hallo!
Diese Art Aufgabe erledigst du eigentlich immer nach dem Schema:
1) Zeige, dass die Folge nach oben (oder unten) beschränkt ist. (I.d.R. mit vollst. Induktion)
2) Zeige, dass die Folge monoton wächst (oder fällt).
Wenn du beides gezeigt hast, folgt daraus, dass die Folge gegen einen Grenzwert konvergiert, den du nun ausrechnen kannst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Sa 17.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, man muss noch zeigen, dass die Folge monoton steigt.
also [mm] a_{n+1}>a_n
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mo 19.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Hallo, smee schreibt:
Diese Art Aufgabe erledigst du eigentlich immer nach dem Schema:
1) Zeige, dass die Folge nach oben (oder unten) beschränkt ist. (I.d.R. mit vollst. Induktion)
2) Zeige, dass die Folge monoton wächst (oder fällt).
So habe ich das auch gelernt. Bei der Aufgabe von vor 2 Tagen haben wir einen möglichen Grenzwert ausgerechnet und dann bewiesen, dss die Folge immer kleiner als dieser Grenzwert ist (mit vollst. Ind.)
Wieso fehlt dieser Beweis bei dieser Aufgabe und wieso ist hier direkt mit dem Monotonieverhalten argumentiert worden: ?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
Du hast bei dem Beweis alles, was man benötigt:
Zeile 1-7 beschäftigen sich damit, welche Zahlen als Grenzwert infrage kommen, sofern es einen Grenzwert gibt.
Zeile 8 stellt die Beschränktheit der Folge nach unten fest. (womit gleichzeitig einer der beiden potentiellen GW aus dem rennen ist.)
In den darauffolgenden Zeilen wird gezeigt, daß die Folge monoton fällt,
woraus zusammen mit der Beschränkung am Ende der Schluß gezogen wird, daß sie konvergiert,
was bedeutet, daß der anfangs ermittelte Grenzwert-Kandidat Grenzwert ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mo 19.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Danke.
Im alten Beispiel hat man a(n) < wurzel 3 gezeigt, um die Beschränktheit nachzuweisen
Im neuen hat man es sich einfach gemacht und aus der Vorschrift a(n+1) einfach a(n) gemacht, indem man bei a(n+1) das a(n) gestrichen hat. So hat man die Zahl 4 als Schranke festgelegt und gezeigt, dass die Folge a(n) beschränkt ist. Wieso hat man hier keinen Beweis mit vollst. Ind. ähnlich meines ersten Beispieles gemacht. Man hätte ja auch zeigen können, dass a(n) > 5 , indem mann von n auf n+1 schließt (voll. Ind eben)
Anscheinend kann man sich das hier schenken (im Vergleich zu Bsp. 1) aber wieso?
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> Im neuen hat man es sich einfach gemacht und aus der
> Vorschrift a(n+1) einfach a(n) gemacht, indem man bei
> a(n+1) das a(n) gestrichen hat. So hat man die Zahl 4 als
> Schranke festgelegt und gezeigt, dass die Folge a(n)
> beschränkt ist. Wieso hat man hier keinen Beweis mit
> vollst. Ind. ähnlich meines ersten Beispieles gemacht.
Ziemlich weit oben im Beweis wurde festgestellt, daß [mm] x_n [/mm] >0 für alle n.
(Hier hätte man, wenn man sehr genau ist, einen (Induktions-)Beweis führen müssen. Kannst Du ja machen.)
Weil das so ist, folgt, daß [mm] x_{n+1}=2+\wurzel{x_n+4}>2+2=4 [/mm] für alle n.
Also sind [mm] x_2,x_3,x_4... [/mm] größer als 4. Wegen [mm] x_1=6 [/mm] gilt also für alle n: [mm] a_n>4.
[/mm]
Man
> hätte ja auch zeigen können, dass a(n) > 5 , indem mann
> von n auf n+1 schließt (voll. Ind eben)
Alles, was korrekt ist und zum Ziel führt, darf man tun.
Wie im Leben gibt es mitunter mehrere Möglichkeiten.
Klar, Du könntest auch zeigen, daß die Folge nach unten durch 5 beschränkt ist. (Das ist sogar sehr einfach.)
Gewinnen tust Du dadurch aber nichts.
Du kannst genausogut und einfach zeigen, daß 2 untere Schranke ist.
Wesentlich ist hier, daß man eine untere Schranke zeigt, die größer als 0 ist, weil man hiermit dann den zweiten der beiden möglichen Grenzwerte ausschließt.
Gruß v. Angela
> Anscheinend kann man sich das hier schenken (im Vergleich
> zu Bsp. 1) aber wieso?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Mo 19.02.2007 | | Autor: | svenchen |
So ich hab mir das ganze nochmal angeschaut und beide Aufgaben verstanden. Danke an alle Beteiligten ich bin sehr froh darüber, das ich hier meine Probleme los werden kann ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
Huhu,
vielleicht noch ne Kleinigkeit :)
und zwar:
Am Anfang der Lösung, wird behauptet, dass
(3 + x) x = (1 + x) 3
Woraus kann man das folgern ?
Mir will's nicht einleuchten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jorgi!
Unter der Voraussetzung, dass der Grenzwert $x_$ für diese Folge [mm] $\left< a_n \right>$ [/mm] existiert, gilt ja:
$x \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}$
[/mm]
Dies wird nun in die Rekursionsvorschrift [mm] $a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 3*\bruch{1+a_n}{3+a_n}$ [/mm] eingesetzt und umgeformt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Sa 17.02.2007 | | Autor: | svenchen |
ok alles klar Dankeschön!
Jetzt musste man noch die Monononie zeigen.
a (n+1) kennt man ja, das ist in der Aufgabenstellung gegeben. Aber wie kommt man hier auf den Wert von a(n) ?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
huhu Svenchen :)
[mm]a_{n+1} - a_n = \frac{3(1+a_n)}{3+a_n} - a_n = \frac{3(1+a_n)}{3+a_n} - \frac{a_n(3+a_n)}{3+a_n} = \frac{3+3a_n-3a_n-a_n^2}{3+a_n} = \frac{3-a_n^2}{3+a_n}[/mm]
und da [mm]a_n < \wurzel{3}[/mm] folgt [mm]3-a_n^2 > 0[/mm], somit [mm]\frac{3-a_n^2}{3+a_n} > 0[/mm]
mfg Jorgi
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