Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mo 11.12.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihen mit s > 1:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s}
[/mm]
und
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n-1}}{n^s} [/mm] |
Hallo zusammen,
habe bei dieser Aufgabe ein paar Anlaufschwierigkeiten. Wie kann ich da vorgehen. Kann ich hier ganz normal die bekannten Kriterien anwenden, Leipniz-,Wurzel- bzw. Quotientenkriterium?
Bei der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^s} [/mm] handelt es sich um die Riemann´sche Zetafunktion, von der wir wissen das sie für s > 1 konvergiert. Für s=2 haben wir sogar gezeigt
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^2}{8}, [/mm] wobei ich hier nochmal nachfragen wollte ob das der Grenzwert sein soll?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Beste Grüße
vicky
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Di 12.12.2006 | | Autor: | vicky |
Hallo nochmal,
habe noch ein wichtiges Detail vergessen. Wir sollen den Grenzwert durch [mm] \zeta(s) [/mm] ausdrücken wobei [mm] \zeta(s) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s}.
[/mm]
Habe mir folgendes überlegt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(2*n+1)^s} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3^s}+ \bruch{1}{5^s}+ \bruch{1}{7^s}+ \bruch{1}{9^s}+ \bruch{1}{11^s}+ [/mm] ...
Ich habe hier also einen ungeraden Nenner ab [mm] (3)^s [/mm] beginnend. Also:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(2*n+1)^s} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(2n)^s} [/mm] - 1 wobei [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} =\zeta(s) [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(2n)^s} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^s}*\zeta(s) [/mm]
Also [mm] gilt:\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(2*n+1)^s} [/mm] = [mm] \zeta(s)-\bruch{1}{2^s}*\zeta(s)-1
[/mm]
Kann ich das so ausdrücken?
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Di 12.12.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Monic!
> Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihen mit s >
> 1:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n-1}}{n^s}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> habe bei dieser Aufgabe ein paar Anlaufschwierigkeiten. Wie
> kann ich da vorgehen. Kann ich hier ganz normal die
> bekannten Kriterien anwenden, Leipniz-,Wurzel- bzw.
> Quotientenkriterium?
Der Kerl hieß Leibniz.
> Bei der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^s}[/mm] handelt
> es sich um die Riemann´sche Zetafunktion, von der wir
> wissen das sie für s > 1 konvergiert. Für s=2 haben wir
> sogar gezeigt
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm] = [mm]\bruch{\pi^2}{8},[/mm]
Das muß [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] sein!
> wobei ich hier nochmal nachfragen wollte ob das der
> Grenzwert sein soll?
Du hast ja in der Mitteilung eine Lösung schon selbst gefunden. Damit man das so machen darf, muß man noch die Frage klären, ob die Reihen absolut konvergieren, denn sie werden hier munter umsortiert.
Mit der anderen Reihe funktioniert es nach dem gleichen Prinzip. Das Ergebnis ist (1 - [mm] 2^{1-s})\zeta(s)
[/mm]
Gruß aus Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Di 12.12.2006 | | Autor: | vicky |
Vielen vielen Dank für die Antwort. Bin mir da immer nicht so sicher mit den Ansätzen.
Für die Absolute Konvergenz würde ich jetzt das Majorantenkriterium anwenden und eine Reihe finden (Majorante [mm] (b_n)) [/mm] die konvergiert und ab einen Index p die Abschätzung [mm] |a_n| \le |b_n| [/mm] gilt. Ich muß dann noch zeigen das die Summe der Absolutbeträge konvergiert.
Also [mm] \summe_{n} |a_n| \le |\summe_{n} a_n| \le \summe_{n} |b_n|.
[/mm]
Als Majorante könnte ich doch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{1}{n^s}| [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^s} [/mm] nehmen, denn von dieser weiß ich das sie für s > 1 konvergiert. Weiterhin gilt [mm] |\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s}| [/mm] < [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^s}. [/mm] Da die Reihenglieder von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s} [/mm] alle positiv sind und die Summe auch positiv bleibt gilt also die Konvergenz für die Absolutbeträge also | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s}| [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{1}{(2*n+1)^s}| [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s}. [/mm] Somit hätte ich doch die Absolute Konvergenz für die erste Teilaufgabe gezeigt und nach dem Umordnungssatz habe ich nun die Möglichkeit die Reihenglieder umzuordnen ohne das sich der Grenzwert ändert.
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Di 12.12.2006 | | Autor: | statler |
Schaun mer mal!
> Für die Absolute Konvergenz würde ich jetzt das
> Majorantenkriterium anwenden
ich auch
> und eine Reihe finden
> (Majorante [mm](b_n))[/mm] die absolut konvergiert und für die ab einem Index p die
> Abschätzung [mm]|a_n| \le |b_n|[/mm] gilt. Ich muß dann noch zeigen
> das die Summe der Absolutbeträge konvergiert.
Das versteh ich so nicht, die Summe welcher Absolutbeträge meinst du? Für die [mm] b_{n} [/mm] gilt das nach Voraussetzung, und für die [mm] a_{n} [/mm] ist es dann so.
> Also [mm]\summe_{n} |a_n| \le |\summe_{n} a_n| \le \summe_{n} |b_n|.[/mm]
Der Mittelteil stimmt nicht, die Dreiecksungleichung sieht anders aus.
> Als Majorante könnte ich doch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{1}{n^s}|[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^s}[/mm] nehmen,
Im Prinzip ja, weil die Zetafunktion für Re(s) > 1 absolut konvergiert (glaube ich mich zu erinnern). Deine Gleichung ist allerdings falsch, weil wir doch mit komplexen s hantieren. Deswegen ist auch das, was folgt, so nicht in Ordnung. Oder betrachten wir nur relle s?
> denn von
> dieser weiß ich das sie für s > 1 konvergiert. Weiterhin
> gilt [mm]|\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s}|[/mm] <
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^s}.[/mm] Da die Reihenglieder
> von [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s}[/mm] alle positiv
> sind und die Summe auch positiv bleibt gilt also die
> Konvergenz für die Absolutbeträge also |
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s}|[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{1}{(2*n+1)^s}|[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s}.[/mm] Somit hätte ich
> doch die Absolute Konvergenz für die erste Teilaufgabe
> gezeigt und nach dem Umordnungssatz habe ich nun die
> Möglichkeit die Reihenglieder umzuordnen ohne das sich der
> Grenzwert ändert.
Anscheinend befassen wir uns nur mit reellen Werten s > 1. Wenn ich dann noch weiß , daß dort die Zeta-Reihe absolut konvergiert, kann ich beliebig umsortieren und multiplizieren und ausklammern. Die Zeta-Reihe konvergiert absolut, weil sie für diese s aus positiven Zahlen besteht.
Also doch kein echtes Problem!
Neugierige Frage: Zu welcher Vorl. gehört das?
LG
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Di 12.12.2006 | | Autor: | vicky |
Hallo,
habe wohl das Majoranten-Kriterium falsch verstanden. Dachte man zeigt damit, dass die Reihe "nur" konvergent ist und nicht absolut konvergent und daher müsste ich noch weiter schauen und die Summe der Absolutbeträge [mm] \summe_{n} |a_n| [/mm] untersuchen auf Konvergenz um Absolute Konvergenz zu erreichen, oder???
Betrachten tun wir nur reelle s soweit ich weiß. Es ist in der Aufabenstellung nicht weiter angegeben, allerdings wurden wir in der Vorlesung darauf hingewiesen, dass nicht nur s [mm] \in \IN [/mm] sondern auch s [mm] \in \IR [/mm] gilt daher denke ich für die Aufgabe höchstens [mm] s\in \IR.
[/mm]
Das mit der Dreiecksungleichung lautet dann wie folgt:
[mm] |\summe_{n} a_n| \le \summe_{n} |a_n| \le \summe_{n} |b_n|
[/mm]
Also [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^s} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{1}{n^s}| \ge \summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{1}{(2*n+1)^s}| \ge |\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s}| [/mm] Damit konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s} [/mm] absolut.
Bin mir da unsicher ob das jetzt so richtig ist.
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Mi 13.12.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> habe wohl das Majoranten-Kriterium falsch verstanden.
> Dachte man zeigt damit, dass die Reihe "nur" konvergent ist
> und nicht absolut konvergent und daher müsste ich noch
> weiter schauen und die Summe der Absolutbeträge [mm]\summe_{n} |a_n|[/mm]
> untersuchen auf Konvergenz um Absolute Konvergenz zu
> erreichen, oder???
Also, absolute Konvergenz ist doch dann gegeben, wenn die Summe der Absolutbeträge konvergiert. Wenn ich eine konvergente Majorante habe, bin ich fertig. Für die zu untersuchende Reihe ist dann nämlich die Folge der Partialsummen monoton steigend (weil die Summanden positiv sind) und nach oben beschränkt (durch die Summe der Majorante).
Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz, aber nicht umgekehrt, wie das Bsp.
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 -+ ... zeigt.
> Betrachten tun wir nur reelle s soweit ich weiß. Es ist in
> der Aufabenstellung nicht weiter angegeben, allerdings
> wurden wir in der Vorlesung darauf hingewiesen, dass nicht
> nur s [mm]\in \IN[/mm] sondern auch s [mm]\in \IR[/mm] gilt daher denke ich
> für die Aufgabe höchstens [mm]s\in \IR.[/mm]
>
> Das mit der Dreiecksungleichung lautet dann wie folgt:
>
> [mm]|\summe_{n} a_n| \le \summe_{n} |a_n| \le \summe_{n} |b_n|[/mm]
Wozu das?
> Also [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^s}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{1}{n^s}| \ge \summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{1}{(2*n+1)^s}| \ge |\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s}|[/mm]
> Damit konvergiert die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n+1)^s}[/mm]
> absolut.
Die letzte Ungleichung ist überflüssig.
Gruß aus Harburg
Dieter
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