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hallo,
ich habe schwierigkeit bei berechnung der ordnung der linearen gruppe GL(n,Z/pZ),p ist primzahl,und [mm] n\ge1
[/mm]
eine matrix lieget genau in der gruppe GL(n,Z/pZ),,wenn die spalten [mm] a_{1},........, a_{n} [/mm] linear unabhaengig als elememte von GL(n,Z/pZ) sind.
es ist genau dieser fall,
[mm] a_{1}\not=0
[/mm]
[mm] a_{k}\not=span(a_{1},............,a_{k-1}),2 \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n
ich weiss [mm] ,ord((Z/pZ)^{n})=p^{n}
[/mm]
aber [mm] ord(span(a_{1},............,a_{k-1}))=?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Sa 29.10.2005 | | Autor: | felixs |
hallo,
> ich weiss [mm],ord((Z/pZ)^{n})=p^{n}[/mm]
> aber [mm]ord(span(a_{1},............,a_{k-1}))=?[/mm]
betrachte das mal als vektorraum ueber [mm] $K=\mathbb{Z}/p$
[/mm]
dann ist
$ [mm] K^k \to span(a_1,\ldots,a_k)$ [/mm] injektiv weil die [mm] $a_i$ [/mm] nach vorauss. unabhaengig sind.
und [mm] $|K^k|=p^k$
[/mm]
denke das stimmt so
--felix
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