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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 So 27.11.2005 | | Autor: | zoe1981 |
Hallo,
ich habe hier vier Aufgaben und muss die richtig haben, damit ich zur Klausur zugelassen werde.
Zwei habe ich gelöst, da bräuchte ich nur die Kontrolle, ob meine Lösung richtig ist. Bei den anderen beiden habe ich überhaupt keine Idee...
1) Sei G eine Gruppe und e das neutrale Element. Seien a,b [mm] \in [/mm] G mit [mm] a^5 [/mm] =e und aba^-1 = b². Zeige, b^31 = e
aba^-1= b² -> a-1= b/a -> b = a^-1/a
a a-1 = e -> a*b/a = [mm] a^5 [/mm] -> b= [mm] a^5 [/mm] = a^-1/a = e
b*b^-1= e -> [mm] a^5 [/mm] * b^-1 = b^31 -> b^-1 = [mm] b^5/a^5 [/mm] * b^26 = [mm] e^4* [/mm] e^26 = e^31
da jedoch e*e = e gilt e = e^31 = b^31
2) Sei G eine endliche Gruppe, die eine Gerade Anzahl von Elementen enthält. Zeige, dass ein vom neutralen Element e verschiedenes Element a mit a²=e existiert.
hier habe ich überhaupt keine Ahnung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 So 27.11.2005 | | Autor: | zoe1981 |
3)
Sei G eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass für drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen i gilt:
[mm] (ab)^i [/mm] = [mm] a^i b^i, [/mm] für alle a,b [mm] \in [/mm] G
Zeige, G ist kommutativ. Gilt dies auch für zwei aufeinanderfolgende Zahlen?
hier dachte ich folgendes:
[mm] (ab)^n [/mm] * [mm] (ab)^n+1 [/mm] = [mm] a^n+1 *b^n+2
[/mm]
aber das erscheint mir ziemlich eigenartig...
4) Man prüfe, ob die folgenden Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind
a) R->R bzgl. *: j(x) = x² , x [mm] \in [/mm] R
Behauptung: j(ab) = j(a)*j(b) für alle a,b [mm] \in [/mm] R
Beweis:
j(ab)= (ab)² = a²*b² = j(a)*j(b)
b) Q->R, bzgl. *: j(x) = [mm] 2^x, [/mm] x [mm] \in [/mm] Q
Behauptung: j(ab) = j(a)*j(b) für alle a,b [mm] \in [/mm] Q
Beweis: j(a)*j(b) = [mm] 2^a*2^b= 2^a+b [/mm] = j(a+b)
Gegenbeispiel: j(2)*j(3)= 2²*2³= 25
j(2*3)=j(6)= 26
-> j(a*b) [mm] \not= [/mm] j(a)*j(b)
c) Z -> Q bezüglich +: j(x) = [mm] 2^x,
[/mm]
Behauptung: j(a+b) = j(a)+j(b) für alle a,b [mm] \in [/mm] R
Gegenbeispiel: j(2+3) = j(5) = 25 = 32
j(2)+j(3)=2²+2³ = 12
-> j(a+b) [mm] \not= [/mm] j(a)+j(b)
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Hallo,
also zu der Aufgabe mit der endlichen Gruppe!
Sei also |G| gerade. Wenn man die Elemente g mit verschiedenen Inversen [mm] g^{-1}\not= [/mm] g paarweise sortiert, hat man eine gerade Anzahl an Elementen Betrachtet. Es bleiben nur noch Elemente, für die gilt [mm] g^{-1}=g. [/mm] Diese haben dann Ordnung 1 oder 2. Das neutrale Element ist das einzige mit Ordnung 1, also gibt es eine ungerade Anzahl an Elementen und damit mind. eines mit Ordnung 2. Und was folgt jetzt...?
Und noch zu 4.)
Aufgabe b verstehe ich nicht so ganz. Du solltest deine Aufgaben ein bisschen ausführlicher aufschreiben willst du von (Q,+) nach (R,*) oder wie? Du hast nur bzgl. * hingeschrieben. Insofern ist es schwer zu beurteilen, ob das richtig ist!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mo 28.11.2005 | | Autor: | zoe1981 |
Hallo,
Aufgabe 2 führt im zweiten Teil zu einem Widerspruch, da die Anzahl der Elemente ja gerade sein sollte. Somit kann also nur g [mm] \not= [/mm] g^-1 gelten. Oder?
Bei Aufgabe 4 c lautet die komplette Aufgabenstellung wie folgt:
Sei R die Gruppe der von null verschiedenen reelen Zahlen bezüglich der Multiplikation, Q die Gruppe der rationalen Zahlen ohne null bezüglich der Multiplikation und Z die menge der ganzen Zahlen bezüglich der Addition.
Welche Abbildungen sind homomorphismen?
a) f: R -> R: f(x) = [mm] x^4
[/mm]
b) f: Q -> R: f(x) = [mm] 2^x
[/mm]
c) f: Z-> Q: f(x) = [mm] 2^x
[/mm]
b und c sind keine homomorphismen da jeweils für x=2 und y=3 unterschiedliche Ergebnisse für die Funktion herauskommen.
a gilt wegen der Potenzgesetzte. So dachte ich mir das jedenfalls 
bei Aufgabe 3 fehlt mir eigentlich nur der Ansatz, ich weiß zwar, was ich beweisen soll, die kommutativität, aber ich weiß nicht, wie die verknüpfung gemeint ist.
da steht in der Aufgabe nur:
Sei G eine Gruppe mit folgender Eigenschaft, dass für drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen i gilt:
[mm] (ab)^i [/mm] = [mm] a^i b^i
[/mm]
Zeige, G ist Kommutativ. Gilt dies auch für zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen?
wie sieht es mit Aufgabe 1 aus, ist das richtig?
Danke euch allen!
lg michaela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Fr 09.12.2005 | | Autor: | R4ph43l |
zu Aufgabe 2)
G ist eine Gruppe, also ex. ein neutrales Element e. Ausserdem existiert für jedes Element a aus G ein inverses Element b aus G mit a*b = e.
Da G eine gerade Anzahl von Elementen haben soll gibt es nur die Fälle:
n=2 und n=2*i für i > 0
Im Fall n=2 ist die Behauptung klar, denn wenn das eine El. e ist dann ist das andere El. a dann muss das Inverse dazu a selbst sein und es gilt a*a = e
Im Fall n=2*i sieht es ähnlich aus. Ein Element von G ist das neutrale, und sei a jetzt ein beliebiges anderes Element, dann existiert zu diesem ein Element b mit a*b = e und es gibt (i-1) solche Paare, d.h. es bleibt ein Element c übrig für welches wiederrum ein Inverses existieren muss.
Dieses muss dann c selbst sein, also c*c = e. Wäre das Inverse ein anderes Element z.B. b, dann würde nämlich gelten c*b=e und a*b=e => c=a, also hätte die Menge eine ungerade Anzahl von Elementen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Do 15.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Hallo Michaela,
die Antwort ist zwar spät, aber vielleicht hilft's ja noch was....
Deine Lösung der ersten Aufgabe klappt so leider nicht, weil die Gruppe ja nicht kommutativ ist (sonst würde [mm]aba^{-1} = b^2 [/mm] ja auch nicht viel Sinn machen), allerdings verwendest Du das schon im ersten Schritt. Will man bei [mm]aba^{-1} = b^2 [/mm] das ab auf der linken Seite eliminieren bedeutet das ja, erst von links mit [mm] a^{-1} [/mm] zu multiplizieren, dann mit [mm] b^{-1}, [/mm] dann hat man [mm]a^{-1} =b^{-1}a^{-1}b^2 [/mm] und dann....????
Besser:
Ansatz [mm]b^{31} = b^{32} \cdot b^{-1} = (b^2)^{16} \cdot b^{-1} [/mm]und dann ein paar mal die gegebene Konjugationsbeziehung verwenden....
Und wie gesagt: immer auf die Reihenfolge achten; daher würde ich auch die "Bruchschreibweise" a/b dringend vermeiden, weil (zumindest mir) dann nicht klar ist, ob "von links" oder "von rechts" dividiert wird.
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