Gruppen der Ordnung 24 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Jenny85 |
| Aufgabe | | Bestimme alle Gruppen der Ordnung 24 bis auf Isomorphie. |
Hallo!
Ich versuche gerade mit Hilfe von verschiedener Literatur alle Gruppen der Ordnung 24 bis auf Isomorphie zu bestimmen.
Für die Anzahl der 3 Sylowgruppen habe ich 1 oder vier raus, für die Anzahl der 2-Sylowgruppen 1 oder drei. Wenn ich jetzt davon ausgehe, dass ich drei 2-Sylowgruppen der Ordnung acht habe, dann habe ich bereits gezeigt, dass je zwei Gruppen der Ordnung acht eine gemeinsame Untergruppe der Ordnung 4 haben und das diese Untergruppe der Ordnung vier Nomalteiler in G ist.
In meiner Literatur steht als weitere generelle Aussage: "Moreover, if in this case (also das man drei untergruppen der Ordnung acht hat), a subgroup of oder 8 is abelian, each operation of the self-conjugate sub-group of order 4 must be a self- conjugate operation of the group of order 24."
Verstehe die Aussage nicht wirklich und wäre sehr froh wenn mir die einer erläutern könnte!
LG
Jenny
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Mi 04.03.2009 | | Autor: | statler |
Hi Jennifer,
geht nicht auch, daß von den 3 Untergruppen der Ordnung 8 je 2 und damit alle 3 genau das neutrale Element als Durchschnitt haben und es dann 1 Untergruppe der Ordnung 3 gibt?
So auf Anhieb sehe ich kein Gegenargument.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Mi 04.03.2009 | | Autor: | PeterB |
Ich habe keine Ahnung ob es das ist, was der Satz meint, aber ich schreibe mal, was ich aus der Voraussetzung "es gibt eine abelsche Untergruppe der Ordnung 8".
Die Untergruppe $H$ der Ordnung 4 ist normal d.h. konjugations invariant. Das heißt die ganze Gruppe operiert durch Konjugation auf dieser Untergruppe. Mit anderen Worten wir haben einen Gruppenhomomorphismus:
[mm] $G\rightarrow Aut_{Gruppe} [/mm] (H)$
[mm] $g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})$
[/mm]
Wenn wir eine abelsche Untergruppe der Ordnung 8 haben, dann ist diese sicherlich im Kern dieses Homomorphismus. Wäre diese Gruppe schon der ganze Kern, dann wäre sie normal und damit die einzige 2-Sylowgruppe. Da das per Voraussetzung falsch ist, ist eine Gruppe der Ordnung 8 echt im Kern enthalten, d.h. der Kern ist ganz $G$. Mit anderen Worten: $H$ ist zentral.
Daraus kann man mit einem ähnlichen Argument schließen, dass es in diesem Fall maximal 2 also genau eine 3-Sylowgruppe gibt.
Ich hoffe das hilft weiter.
Gruß
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Jenny85 |
Hallo!
Erst einmal vielen Dank für Eure Antworten.
Ja es ist wirklich so, dass zwei dieser der Gruppen eine gemeinsame Untergruppe der Ordnung vier haben.
Die Erklärung von Peter habe ich glaube ich soweit verstanden. Also gilt in dem Fall, dass [mm] $ghg^{-1} \subset [/mm] H [mm] \quad \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G$ ?
Wie kann man denn aus der Argumentation schließen, dass es dann genau eine 3-Sylowgruppe gibt? Mit Abzählen über die Anzahl der Elemente bin ich selbst nicht weiter gekommen!
Viele Grüße
Jenny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mi 04.03.2009 | | Autor: | PeterB |
Hallo,
> Die Erklärung von Peter habe ich glaube ich soweit
> verstanden.
Schön!
Also gilt in dem Fall, dass [mm]ghg^{-1} \subset H \quad \forall g \in G[/mm]
> ?
Ja, das ist die Normalteiler Eigenschaft.
> Wie kann man denn aus der Argumentation schließen, dass es
> dann genau eine 3-Sylowgruppe gibt? Mit Abzählen über die
> Anzahl der Elemente bin ich selbst nicht weiter gekommen!
>
Die Sylow-Sätze sagen, dass jede Gruppe durch Konjugation transitiv auf der Menge ihrer p-Sylowgruppen (zu einer festen Primzahl p) operiert. Wir wählen nun eine feste 3-Sylowgruppe $U$ und lassen $G$ darauf wirken. Wie im Beweis der Sylow-Sätze lassen die Elemente von $U$ sich selbst fest: [mm] $uUu^{-1}=U$. [/mm] Das heißt der Stabilisator von $U$ enthält eine Untergruppe der Ordnung 3. Aber der Stabilisator enthält auch das Zentrum von $G$ also insbesondere mit $H$ eine Untergruppe der Ordnung $4$. Damit enthält der Stabilisator also eine Untergruppe der Ordnung 12, und da die Länge der Bahn die Anzahl der Elemente in $G$ geteilt durch die Zahl der Elemente im Stabilisator ist, hat die Bahn höchstens die Länge 2. Da die Operation transitiv auf der Menge der 3-Sylowgruppen ist gibt es höchstens 2 davon. Da nun aber 2 auf Grund anderer Überlegungen schon ausgeschlossen ist, kann es nur eine geben.
Gruß
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Fr 06.03.2009 | | Autor: | Jenny85 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
Ich hätte da noch einmal eine Frage zu der letzten Erklärung.
Bis dahin, dass die Länge der Bahn höchstens zwei sein kann habe ich das soweit auch alles begriffen. Nur warum man daraus schließen kann, dass es hächstens zwei 3-Sylowgruppen geben kann, verstehe ich noch nicht.
Habe mir dazu erst einmal den Beweis der Sylowsätze angeschaut.
Ich bin also erst einmal davon ausgegangen, dass es vier 3-Sylowgruppen gibt $M=\left\{V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}\right.\}$. Dann habe ich mir eine 3-Sylowgruppe V ausgewählt und analog zu deiner Erklärung gezeigt, dass die Länge der Bahn höchstens zwei sein kann. Zudem gilt $n_{3}= \left|M\right|= \displaystyle \sum_{B \: Bahnen} \left|B\right|.$ Da die Länge der anderen Bahnen jedoch mindestens eins ist führt dieses zum Widerspruch und es gilt, dass die Länge der Bahn eins ist und es daher auch genau eine 3-Sylowgruppe gibt. welche Normalteiler in G ist.
Ich habe keine Ahnung ob das richtig so ist!
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!
Viele Grüße
Jenny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mo 09.03.2009 | | Autor: | statler |
Hi, guten Morgen!
> Ich hätte da noch einmal eine Frage zu der letzten
> Erklärung.
> Bis dahin, dass die Länge der Bahn höchstens zwei sein kann
> habe ich das soweit auch alles begriffen. Nur warum man
> daraus schließen kann, dass es hächstens zwei
> 3-Sylowgruppen geben kann, verstehe ich noch nicht.
Naja, die Gruppe operiert transitiv auf den 3-Sylow-Gruppen oder anders gesagt, die 3-Sylow-Gruppen sind konjugiert zueinander oder noch anders, in jeder Gruppe bilden die p-Sylow-Gruppen eine Bahn (wenn die Operation die Konjugation ist).
Meine Frage oben habe ich mir inzwischen selbst beantwortet: Eine Gruppe der Ordnung 24 mit 3 Untergruppen der Ordnung 8 und einer Untergruppe der Ordnung 3 ist zwar von den Elementanzahlen und den Sylow-Sätzen her möglich, geht aber gruppentheoretisch nicht. Der Durchschnitt der 2-Sylow-Gruppen hat mindestens 4 Elemente (Poincarés Argument).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
