Gruppenaxiome nachweisen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es soll gelten
[mm] x\Delta [/mm] y=xy-17x-17y+306
Zeige: [mm] (\IR [/mm] \ {17} [mm] ,\Delta [/mm] ) ist eine Gruppe |
Das [mm] \Delta [/mm] verwirrt mich, sicher ein Druckfehler auf dem Arbeitsblatt.
Ich muss um das zu zeigen die Gruppenaxiome nachweisen, also
1.Assoziativität: [mm] (g_1\circ g_2)\circ g_3=g_1\circ (g_2\circ g_3)
[/mm]
2.Existenz eines neutralen [mm] Elementes:e\circ g=g\circ [/mm] e=g
3.Existenz von Inversen: [mm] g\circ g'=e=g'\circ [/mm] g
Das Problem ist jetzt, ich weiß nur wie ich das für [mm] g_1,g_2,g_3 [/mm] zeigen kann aber ich habe keine ahnung wie man das mit Gleichungen zeigen kann.
Ich wäre über Hilfe bei der Aufgabe sehr dankbar!
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es soll gelten
> [mm]x\Delta[/mm] y=xy-17x-17y+306
>
> Zeige: [mm](\IR[/mm] \ {17} [mm],\Delta[/mm] ) ist eine Gruppe
Das ist ja krank !
>
>
> Das [mm]\Delta[/mm] verwirrt mich, sicher ein Druckfehler auf dem
> Arbeitsblatt.
Warum ? Man hätte auch
$x ~~OTTO ~~ y:=xy-17x-17y+306 $
schreiben können.
>
> Ich muss um das zu zeigen die Gruppenaxiome nachweisen,
> also
> 1.Assoziativität: [mm](g_1\circ g_2)\circ g_3=g_1\circ (g_2\circ g_3)[/mm]
>
> 2.Existenz eines neutralen [mm]Elementes:e\circ g=g\circ[/mm] e=g
> 3.Existenz von Inversen: [mm]g\circ g'=e=g'\circ[/mm] g
>
> Das Problem ist jetzt, ich weiß nur wie ich das für
> [mm]g_1,g_2,g_3[/mm] zeigen kann aber ich habe keine ahnung wie man
> das mit Gleichungen zeigen kann.
Das verstehe ich nicht ! Z.B. mußt Du für die Assoziativität zeigen (also nachrechnen, dass gilt):
[mm] $(x\Delta [/mm] y) [mm] \Delta [/mm] z= [mm] x\Delta( [/mm] y [mm] \Delta [/mm] z)$ für $x,y,z [mm] \in \IR \setminus\{17\}$
[/mm]
Viel Spaß
FRED
>
> Ich wäre über Hilfe bei der Aufgabe sehr dankbar!
>
>
> Mathegirl
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Das "g" habe ich nur aus der allgemeinen Definition verwendet.
Ich weiß aber nicht wie ich das mit dieser Gleichung schreiben soll. kannst du mir vielleicht das Assoziativgesetz zeigen oder den Anfang davon? Wenn mir klar ist wie ich das schreibe, formuliere sollte es kein Problem sein!
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Das "g" habe ich nur aus der allgemeinen Definition
> verwendet.
>
> Ich weiß aber nicht wie ich das mit dieser Gleichung
> schreiben soll. kannst du mir vielleicht das
> Assoziativgesetz zeigen oder den Anfang davon? Wenn mir
> klar ist wie ich das schreibe, formuliere sollte es kein
> Problem sein!
Ist das die Möglichkeit !
Schreib mit der Def. hin:
(x [mm] \Delta [/mm] y) [mm] \Delta [/mm] z (das wird ein länglicher Ausdruck)
Das wirst Du doch hinbekommen, oder ?
Dann schreibst Du hin:
x [mm] \Delta( [/mm] y [mm] \Delta [/mm] z )
und schaust, ob (x [mm] \Delta [/mm] y) [mm] \Delta [/mm] z =x [mm] \Delta(y \Delta [/mm] z) ist. Wenn Du Dich nicht verrechnest, wirst Du sehen, dass tatsächlich "=" gilt.
FRED
>
> Mathegirl
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ich weiß aber nicht was hierbei mein x,y und z ist!!!!
muss ich für x nur die x aus der Gleichung nutzen oder wie?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> ich weiß aber nicht was hierbei mein x,y und z ist!!!!
[mm]x,y,z\in\IR\setminus\{17\}[/mm]
>
> muss ich für x nur die x aus der Gleichung nutzen oder
> wie?
[mm](x\Delta y)\Delta z[/mm] schreiben wir mal zuerst hin:
[mm]=\left(xy-17x-17y+306\right) \ \Delta \ z[/mm]
Nun diese beiden Ausdrücke gem. der Definition von [mm]\Delta[/mm] verknüpfen:
[mm]=(xy-17x-17y+306)z \ - \ 17(xy-17x-17y+306) \ - \ 17z \ +306[/mm]
Nun bist du aber dran ...
>
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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Ja, aber genau das verstehe ich nicht wie man dann darauf kommt!
> [mm]=\left(xy-17x-17y+306\right) \ \Delta \ z[/mm]
>
> Nun diese beiden Ausdrücke gem. der Definition von [mm]\Delta[/mm]
> verknüpfen:
>
> [mm]=(xy-17x-17y+306)z \ - \ 17(xy-17x-17y+306) \ - \ 17z \ +306[/mm]
Das ist zum Glück nicht nur mir gerade ein Rätsel wie man darauf kommt!
Kannst du mir das vielleicht nochmal erklären?
Mathegirl
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Hallo nochmal,
> Ja, aber genau das verstehe ich nicht wie man dann darauf
> kommt!
Simples Einsetzen ...
>
>
> > [mm]=\left(xy-17x-17y+306\right) \ \Delta \ z[/mm]
> >
> > Nun diese beiden Ausdrücke gem. der Definition von [mm]\Delta[/mm]
> > verknüpfen:
> >
> > [mm]=(xy-17x-17y+306)z \ - \ 17(xy-17x-17y+306) \ - \ 17z \ +306[/mm]
>
> Das ist zum Glück nicht nur mir gerade ein Rätsel wie man
> darauf kommt!
> Kannst du mir das vielleicht nochmal erklären?
Nun, setze mal [mm]\tilde x=(xy-17x-17y+306)[/mm] und berechne [mm]\tilde x\Delta z[/mm]
Das ist doch nach der Definition von [mm]\Delta[/mm]:
[mm]\tilde xz-17\tilde x-17z+306[/mm]
Nun ersetze [mm]\tilde x[/mm] wieder ...
>
>
>
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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Ja, das ist mir ja klar, aber nicht:
(xy-17x-17y+306)z-17(xy-17x-17y+306)-17z+306
warum -17 vorder klammer und -17z+306 nach der klammer?
Mathegirl
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Meine Güte, meine Güte!!
> Ja, das ist mir ja klar, aber nicht:
>
> [mm](\red{xy-17x-17y+306})\blue{z}-17(\red{xy-17x-17y+306})-17\blue{z}+306[/mm]
>
> warum -17 vorder klammer und
Weil da [mm]-17\tilde x[/mm] steht laut Definition
> -17z+306 nach der klammer?
Das steht doch in der Definition von [mm]\Delta[/mm]
[mm]\tilde x\Delta z=\tilde xz-17\tilde x-17z+306[/mm]
Was ist denn daran unklar??
Schreibe doch für jedes [mm]\tilde x[/mm] mal [mm](\red{xy-17x-17y+306})[/mm] hin.
Was kommt dann raus?
>
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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Von welcher Definition sprichst du genau?
Ich habe hier noch einige Studenten bei mir und niemand kann das nachvollziehen.
Es wäre sehr nett wenn du kurz sagen kannst, anch welcher Definition du das eingesetzt hast!
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mi 09.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin
> Von welcher Definition sprichst du genau?
Von dieser: [mm] "$x\Delta [/mm] y:=xy-17x-17y+306$"
Das bedeutet doch nichts anderes als: der Ausdruck "$x [mm] \Delta [/mm] y$" wird durch "$x y - 17 x - 17 y + 306$" ersetzt.
LG Felix
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ja das ist ja klar!! aber die -17 vor der klammer und das anch der klammer!!! das verstehen wir hier gerade nicht wo das herkommt!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 09.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Klammer ist ein Ausdruck der aus [mm] x\Delta [/mm] y entstanden ist. wenn dich das [mm] \delta [/mm] stört nimm euer normales [mm] verknüpfungszeichen.$\circ$ [/mm] also [mm] x\circ [/mm] y
dass der Ausdruck länglich ist sollte dich nicht stören.
und dann [mm] A\circ [/mm] z zu bestimmen auch nicht. wenn du das hast setz für A wieder den länglichen Ausdruck ein+ du hast also einmal [mm] x\circ [/mm] y= und berechnest dann [mm] A\circ [/mm] z
dann hast du [mm] x\circ (y\circ z)=x\circ [/mm] B mit [mm] B=(y\circ [/mm] z)
schreib dir zuerst A und B hin, dann [mm] A\circ [/mm] z und [mm] x\circ [/mm] B
dnn stz im letzten A und B ein!
ein Prof könnte die klammer auch noch schrecklicher, z. bsp 3 zeilen lang machen, dann säh es noch was schlimmer aus, wäre aber nur mehr Schreibarbeit!
Gruss leduart
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sorry ich verstehs trotzdem nicht.
Unser Übungsleiter hat die Aufgabe auch nicht erklärt..
Kannst du mir die 3 Gruppenaxiome für dieses Beispiel nochmal ausführlich aufschreiben/erklären?
das bringt mir zwar nun für das Übungsblatt nichts mehr, aber ich würde es gerne nachvollziehen können!
Mathegirl
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Hallo,
zunächst nochmal die Verknüpfungsvorschrift:
$ [mm] x\Delta [/mm] $ y:=xy-17x-17y+306 für alle [mm] x,y,z\in \IR [/mm] \ [mm] \{17\}
[/mm]
Um zu zeigen, daß die fragliche Struktur eine Gruppe ist, müßte man sich erstmal Gedanken darüber machen, ob das Ergebnis einer jeden Verknüpfung wirklich in [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{17\} [/mm] liegt, also darüber, ob die 17 als Ergebnis wirklich niemals herauskommt.
Das Assoziativgesetz wurde ja nun hier in epischer Breite besprochen, das können wir an dieser Stelle überspringen.
Du mußt zeigen, daß es ein neutrales Element git, also eine Zahl aus [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{17\}, [/mm] welche mit jedem anderen Element verknüpft das andere Element ergibt, dh. zu zeigen ist:
es gibt ein [mm] e\in \IR [/mm] \ [mm] \{17\} [/mm] so, daß für alle [mm] r\in \IR [/mm] \ [mm] \{17\} [/mm] gilt
[mm] e\Delta r=r\Delta [/mm] e=r.
Wie lautet diese Bedingung, wenn Du die Def. von [mm] \Delta [/mm] verwendest?
Bleibt das neutrale Element.
Hierfür mußt Du zeigen, daß Du für jedes beliebige [mm] r\in \IR [/mm] \ [mm] \{17\} [/mm] ein passendes Element [mm] i_r [/mm] findest, mit [mm] r\Delta i_r=i_r\Delta [/mm] r=e.
Das kann natürlich erst funktionieren, wenn Du e kennst.
Rückfragen bitte so, daß man Deine eigenen Rechnungen sieht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Sa 12.11.2011 | | Autor: | davux |
Also ich bin mit nicht ganz sicher, aber wenn ich in
[mm] $x\Box [/mm] y := xy-17x-17y+306$
für $y=1$ einsetze, d.h.
[mm] $x\Box e=x\cdot 1-17x-17\cdot [/mm] 1+306=x-17x-17+306=x-17x+289$
[mm] $e\Box x=1\cdot x-17\cdot [/mm] 1-17x+306=x-17-17x+306=x-17x+289$
[mm] $\Rightarrow x\Box e=e\Box [/mm] x=x$.
Was ich mich frage, wie dann e genau aussieht. Gerade im Hinblick auf das Inverse. Ich rate jetzt einfach mal, sage:
Ann.: [mm] $x^{-}=x^{-1}+17x-289$
[/mm]
Das wäre:
[mm] $x\Box x^{-}=xx^{-}-17x+17x+289-289=xx^{-}+0=1=e$
[/mm]
[mm] $x^{-}\Box x=x^{-}x+17x-17x-289+289=x^{-}x+0=1=e$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x\Box x^{-}=x^{-}\Box [/mm] x=e$.
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> Also ich bin mit nicht ganz sicher, aber wenn ich in
>
> [mm]x\Box y := xy-17x-17y+306[/mm]
>
> für [mm]y=1[/mm] einsetze, d.h.
>
> [mm][mm] x\Box e=x\cdot 1-17x-17\cdot [/mm] 1+306
Hallo,
Du hast einen riesengroßen Denkfehler:
Du scheinst aus irgendwelchen Gründen davon auszugehen, daß e die Zahl 1 ist.
Dafür gibt es jedoch einen Grund - und es ist auch nicht so!
Du mußt erst noch herausfinden, welche reelle Zahl bzgl. der hier definierten Verknüpfung das neutrale Element ist.
Wie kannst Du das herausfinden?
Wenn es solch ein e gibt, dann gilt für alle x aus der fraglichen Menge:
[mm] x\Box [/mm] e=x und [mm] e\Box [/mm] x=x.
Idee: wenn das für alle x gilt, dann gilt es insbesondere für x=1.
Aus dieser Idee kannst Du eine Vermutung für e gewinnen, welche Du anschließend verifizieren mußt. So:
Beh.: es ist e=... das neutrale Element.
Bew:
Sei [mm] x\in \IR [/mm] \ [mm] \{17\}.
[/mm]
Es ist [mm] x\Box [/mm] ...= ... =x und [mm] ...\Box [/mm] x= ...=x.
Damit hättest Du dann gezeigt, daß es wirklich ein neutrales Element gibt und welches Element das ist.
Erst wenn dies geschehen ist, macht irgendwelches Nachdenken über inverse Elemente Sinn.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 12.11.2011 | | Autor: | davux |
vor 15 Minuten...
Tut mir Leid, wenn ich jetzt etwas schnell wieder in Form einer Frage antworte, aber ich möchte nur einen Tipp abgeben, der sich in meinen Versuchen schon herausgebildet hatte, aber den ich mit meiner Frühfestlegung auf die Eins wieder verworfen habe.
Die Versuche waren $289, 290$ und letztenendes noch der Irrtümlichste:
[ironie]Wenn ich sage, $e=17$. Dann probiere ich das jetzt einmal aus, also
[mm] $x\Box [/mm] e=xe-17x-17e+306=17$
Was soll mir das jetzt sagen?[/ironie]
Aus Verzweiflung habe ich versucht [mm] $x\Box [/mm] e$ nach e aufzulösen, aber das habe ich verworfen.
...und jetzt:
Ich hab mir nochmal [mm] e\in\IR\setminus\{17\} [/mm] hingeschrieben. Dann bin ich zu der Annahme gelangt, $e=18$ und habe mal probiert.
Beh.: Das fragliche neutrale Element [mm] $e=^{\*}18$, [/mm] so dass für alle [mm] $x\in\IR\setminus\{17\}$ [/mm] gilt [mm] $x\Box e=e\Box [/mm] x=x$.
Bew.:
[mm] $x\Box e=xe-17x-17e+306=^{\*}x\cdot 18-17x-17\cdot [/mm] 18+306=18x-17x-306+306=x$
[mm] $e\Box x=ex-17e-17x+306=^{\*}18\cdot x-17\cdot [/mm] 18-17x+306=18x-306-17x+306=x$
[mm] $\Rightarrow x\Box e=e\Box x=x\forall x\in\IR\setminus\{17\}$.
[/mm]
Beim Nachdenken über inverse Elemente komme ich aber nicht so recht weiter. Ich kann ja nicht einfach raten, [mm] $x^{-}=x^{-1}+17x-289$ [/mm] und das dann einsetzen?
Also dann hätte ich [mm] $x\Box x^{-}=xx^{-1}-17x+17x+306-289=1+17=18=e$. [/mm] Ich meine, ich habe die Verknüpfung noch nicht richtig verstanden.
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> ...und jetzt:
> Ich hab mir nochmal [mm]e\in\IR\setminus\{17\}[/mm] hingeschrieben.
> Dann bin ich zu der Annahme gelangt, [mm]e=18[/mm] und habe mal
> probiert.
>
> Beh.: Das fragliche neutrale Element [mm]e=^{\*}18[/mm], so dass
> für alle [mm]x\in\IR\setminus\{17\}[/mm] gilt [mm]x\Box e=e\Box x=x[/mm].
>
> Bew.:
> [mm]x\Box e=xe-17x-17e+306=^{\*}x\cdot 18-17x-17\cdot 18+306=18x-17x-306+306=x[/mm]
>
> [mm]e\Box x=ex-17e-17x+306=^{\*}18\cdot x-17\cdot 18-17x+306=18x-306-17x+306=x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x\Box e=e\Box x=x\forall x\in\IR\setminus\{17\}[/mm].
Hallo,
ich weiß zwar nicht, was das Gleichheitszeichen mit der hochgestellten 8 bedeuten soll, aber die 18 ist das neutrale Element, wie Du in Deinem Beweis richtig vorrechnest.
>
> Beim Nachdenken über inverse Elemente komme ich aber nicht
> so recht weiter. Ich kann ja nicht einfach raten,
> [mm]x^{-}=x^{-1}+17x-289[/mm] und das dann einsetzen?
Doch, das dürftest Du durchaus tun.
> Also dann hätte ich [mm]x\Box x^{-}=xx^{-1}-17x+17x+306-289=1+17=18=e[/mm].
Aber was Du hier tust, ist mir befremdlich...
Es ist
[mm] x\Box x^-=x\Box (x^{-1}+17x-289)= x*(x^{-1}+17x-289)-17x-17(x^{-1}+17x-289)+306=1+17x^2-289x-17x-17x^{-1}-289x+17*289+306= [/mm] ..., jedenfalls kommt dort nicht 18 heraus.
Was suchst Du? Für vorgegebenes x suchst Du ein Element x' so, daß
[mm] 18=x\Box [/mm] x'= xx'-17x-17x'+306
<==> xx'-17x'=-288+17x
<==> x'= ???
Wenn Du eine Idee hast, welches das inverse Element zu x ist, dann rechne vor, daß es stimmt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 14.11.2011 | | Autor: | davux |
Hi,
wir haben die Aufgaben heute besprochen, zurück bekomme ich den Zettel aber erst nächste Woche. Soweit stimmte eigentlich alles relativ mit dem vorgerechneten überein, nur das mehr mit Klammern gearbeitet wurde. Ausdrücke wie $(x-17)(y-17)+17$, aber das kann ich mir ja nun auch erklären.
Was mich aber ärgert ist, dass ich die "Abgeschlossenheit" vergessen habe zu zeigen.
Eine Frage konnte mir aber der Tutor auch nicht zufriedenstellend beantworten. Vielleicht mag sich ja hier noch einmal jemand Zeit nehmen. Und zwar habe ich ja bei der "Existenz des neutralen Elements" sowohl links- als auch rechts-neutral gezeigt. Dabei hätte links-neutral auch gereicht. Der Tutor gab die Erklärung, "Jedes links-neutrale Element ist auch rechts-neutral", aber als Beweis habe ich das nicht im Skript. Gibt es dafür Einschränkungen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Mo 14.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> wir haben die Aufgaben heute besprochen, zurück bekomme
> ich den Zettel aber erst nächste Woche. Soweit stimmte
> eigentlich alles relativ mit dem vorgerechneten überein,
> nur das mehr mit Klammern gearbeitet wurde. Ausdrücke wie
> [mm](x-17)(y-17)+17[/mm], aber das kann ich mir ja nun auch
> erklären.
>
> Was mich aber ärgert ist, dass ich die "Abgeschlossenheit"
> vergessen habe zu zeigen.
> Eine Frage konnte mir aber der Tutor auch nicht
> zufriedenstellend beantworten. Vielleicht mag sich ja hier
> noch einmal jemand Zeit nehmen. Und zwar habe ich ja bei
> der "Existenz des neutralen Elements" sowohl links- als
> auch rechts-neutral gezeigt. Dabei hätte links-neutral
> auch gereicht. Der Tutor gab die Erklärung, "Jedes
> links-neutrale Element ist auch rechts-neutral", aber als
> Beweis habe ich das nicht im Skript. Gibt es dafür
> Einschränkungen?
die Operation ist kommutativ. Deshalb ist eh links-neutral gleich rechts-neutral und links-inverses gleich rechts-inverses, ohne das man Aufwand betreiben muss.
Man kann allerdings auch zeigen, dass allgemein gilt (ohne Kommutativitaet):
Ist $G$ eine nicht-leere Menge und [mm] $\circ [/mm] : G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G$ eine Operation, die das Assoziativgesetz erfuellt, bei der es ein links-neutrales Element gibt, und zu jedem Element bzgl. diesem links-neutralem Element ein Inverses, so ist $(G, [mm] \circ)$ [/mm] bereits eine Gruppe.
(Genau das gleiche geht auch mit "rechts-" anstelle "links-".)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Sa 12.11.2011 | | Autor: | davux |
Zuerst einmal solltest du schreiben, wie [mm] \Box [/mm] definiert ist (Damit weiche ich mal von deiner Aufgabenstellung ab, denn ich habe ein Viereck auf demselben Aufgabenblatt gesehen).
Sei [mm] $\Box: \IR\setminus\{17\}\times\IR\setminus\{17\}\to\IR\setminus\{17\}$ [/mm] eine Abbildung/Verknüpfung mit $(x, [mm] y)\mapsto [/mm] xy-17x-17y+306$.
Zu zeigen: [mm] (\IR\setminus\{17\}, \Box) [/mm] ist eine Gruppe.
Sonst gibt es schon Punkte abgezogen.
Den Nachweis des Assoziativgesetzes kann man kaum besser zeigen, als es schachipzius mit der Substitution vorgemacht hat, finde ich. Jetzt gilt es noch ein neutrales Element zu finden, sowie das Inverse zu zeigen.
Ich habe selbst erst angefangen es zu bearbeiten und hoffe, dass dir mein Anfang etwas einleuchtender erscheint, als die Aufgabenstellung.
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