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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mi 13.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen [mm] \alpha: (\IQ, [/mm] +) [mm] \to (\IZ, [/mm] +) |
Hallo,
komme auf meiner Suche nach Homomorphismen irgendwie nicht weiter, bisher hab ich diesen: x [mm] \mapsto [/mm] 0 , x [mm] \in \IQ. [/mm] Find aber keinen weiteren, obwohl ich sicher bin, dass es diesen gibt. Für x soll gelten: x= [mm] \bruch{p}{q}, [/mm] wobei p [mm] \in \IZ [/mm] , q [mm] \in \IN [/mm] \ {0}, dann ist x [mm] \in \IQ. [/mm] Ich weiß nun nicht, wie ich in den Homomorphismus irgendwie einbauen soll, dass wenn ich 2 Brüche addiere, ich die Brüche erweitern muss, sprich den Nenner gleichnamig machen muss. Was ich sicher weiß ist, dass [mm] \alpha(0) [/mm] =0 sein muss, damit es ein Homomorphismus sein kann.
Hoffe irgendwer kann mir eventuell weiterhelfen, wär für jede Idee dankbar.
Vielen Dank schon mal im voraus.
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Hallo,
Du hast den einzigen Gruppenhom. bereits gefunde. Zeige nun ein Gruppenhom. muss der Null-Hom. sein:
Dazu sei [mm] \alpha(1)=n, \alpha(\bruch{1}{k})=m_k, k\in\IN, k\not=0. [/mm]
Dann ist
[mm] n=\alpha(1)=\alpha(k\bruch{1}{k})=\alpha(\bruch{1}{k}+.......+\bruch{1}{k})=\alpha(\bruch{1}{k})+.........+\alpha(\bruch{1}{k})=m_k+.....+m_k=km_k [/mm] (Je k Summanden)
Daraus folgt: jedes k teilt n, also n=0.
Nun kannst Du ähnlich zeigen: [mm] \alpha(m)=0 [/mm] für [mm] m\in \IZ, \alpha(\bruch{p}{q})=0
[/mm]
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Do 14.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank, habs dank der Hilfe echt gut hinbekommen
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