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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 So 26.10.2008 | | Autor: | hexer85 |
| Aufgabe | Seien G und H Gruppen und [mm] \delta: G\toH [/mm] Gruppenhomomorphismus mit Kern N und Bild B. Sei U eine Untergruppe von G und V eine Untergruppe von H.
Zeigen sie:
[mm] \delta^{-1}(\delta(U)) [/mm] = UN und [mm] \delta(\delta^{-1}(V)) [/mm] = [mm] V\capB
[/mm]
Fogere, dass [mm] \delta [/mm] eine Bijektion zwischen den Untergruppen von G, die N enthalten, und den Untergruppen von B liefert |
Hallo,
ich steh hier irgendwie auf dem Schlauch. Mir ist klar, was eine Gruppe ist. Der dazugehörige Homomorphismus ist strukturerhaltend und was Bild und Kern ist ist anhand der Definitionen auch klar, aber wie fange ich hier an?
Macht man das mit [mm] x\in \delta^{-1}(\delta(U)) [/mm] und Formt das irgendwie um so dass zum Schluß rauskommt x [mm] \in [/mm] UN?
wär super, wenn mich mal jemand in die richtige Richtung schupsen könnte
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Hallo!
Hm, diese Aufgabe kommt mir leicht bekannt vor... 
Im Prinzip ist das alles ganz einfach, Du musst nur stumpf die Inklusionen durchrechnen.
Also $UN [mm] \subseteq \phi^{-1}(\phi(U))$ [/mm] ist ziemlich klar, einfach ein $u [mm] \in [/mm] U$ und ein $n [mm] \in [/mm] N$ hernehmen und zeigen, dass $un$ im Bild von $U$ landet.
Für die andere Inklusion braucht man einen kleinen Trick. Ein $x$ in diesem Urbild wird nach [mm] $\phi(U)$ [/mm] abgebildet, also gilt [mm] $\phi(x) [/mm] = [mm] \phi(u)$.
[/mm]
Du willst $x = un$ darstellen, also fehlt Dir das $n$. Wenn Du $x$ und $u$ schon hast, wäre es ja eine Idee, das $n$ direkt als $n := [mm] u^{-1}x$ [/mm] zu definieren. Zu zeigen wäre dann natürlich $n [mm] \in [/mm] N$, aber das sollte mit obiger Gleichung doch gehen...
Die andere Gleichung geht ohne Tricks, hinschreiben und alles steht da. 
Viel Erfolg!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Mo 27.10.2008 | | Autor: | hexer85 |
vielen Dank für die Antwort, dann werd ich mal ein bisschen rumprobieren
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