Hammer-Aufgabe! Flächeninhalt < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Schnix |
Hallo!
Folgende Aufgabe:
Flächeninhalt dieses Sterns bestimmen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kann jemand einen Lösungsansatz vorschlagen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Sa 12.02.2005 | | Autor: | informix |
Hallo Schnix,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo!
> Folgende Aufgabe:
> Flächeninhalt dieses Sterns
> [Externes Bild http://www.bitpage.de/content/images/5794_Stern.jpg]
> bestimmen.
> Kann jemand einen Lösungsansatz vorschlagen??
>
Hast du schon unsere Forenregeln gelesen?
Was hast du dir denn bisher schon selbst überlegt?
Das Bild hättest du auch gleich in deine Frage einbauen können:
schau mal unter dem Eingabefeld, da kannst du auf Bild-Anhang klicken und siehst was du eingeben musst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Schnix |
Ja ich hab mir schon meine Gedanken gemacht, komme aber auf keinen Lösungsansatz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Sa 12.02.2005 | | Autor: | informix |
Schnix,
> Ja ich hab mir schon meine Gedanken gemacht, komme aber auf
> keinen Lösungsansatz
was hast du dir denn gedacht?
Wir können nur mitdenken und verbessern, wenn wir wissen, was du gedacht hast.
Eine fertige Lösung wirst du in aller Regel bei uns nicht bekommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Schnix |
man kann das quadrat in der Mitte mit pythagoras berechen und ann noch die Kreisteile zum Quadrat addieren und dann vom flächeninhalt von zwei linsen mit radius r=a abziehen aber ich weiß im moment nicht wo ich den pythagoras ansetzten sol
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schnix,
ich glaube kaum, daß sich hier von den Helfern irgendjemand gerne für blöd verkaufen läßt, indem Du eine fremde Mitteilung kopierst und als eigene Lösungsansätze verkaufst.
Also bitte etwas mehr Eigeninitiative (und nicht nur die Tastenkombination <STRG>+<C>), dann wird Dir hier auch gerne geholfen ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Sa 12.02.2005 | | Autor: | emerald |
man kann das quadrat in der Mitte mit pythagoras berechen und ann noch die Kreisteile zum Quadrat addieren und dann vom flächeninhalt von zwei linsen mit radius r=a abziehen aber ich weiß im moment nicht wo ich den pythagoras ansetzten soll!!
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Hallo,
Vielleicht sollten wir uns ein anderes Bild malen, damit die Aufgabenstellung klarer wird:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zunächst müßtest Du wissen, wie man die Fläche eines Kreises berechnet.
Angenommen Du wüßtest es  , dann kennen wir folgenden Flächeninhalt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir sehen, daß das zu viel ist. Deshalb nehmen wir [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] der Fläche des grünen Kreises:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(An dieser Stelle sollte ich vielleicht sagen, daß man dieselben Aussagen über einen der anderen 3 Kreise hätte machen können.)
Berechnen wir den Flächeninhalt des Quadrats und ziehen den grün schraffierten Flächeninhalt ab, erhalten wir folgende Fläche:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und weil man dieselben Aussagen auch über den roten Kreis hätte machen können (habe ich oben schon gesagt), kennen wir nun automatisch auch den gegenüberliegenden Flächeninhalt. Die Flächeninhalte sind also gleich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ziehen wir diese beiden Flächeninhalte vom Flächeninhalt des Quadrats ab, erhalten wir folgenden Flächeninhalt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Damit kennen wir aber automatisch den anderen gespiegelten Flächeninhalt. Leider wissen wir damit zuviel, denn nun erhalten wir insgesamt folgendes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und da bin ich jetzt auch nicht weitergekommen (Hier braucht man halt eine Idee, die man entweder hat oder nicht).
Jedenfalls kannst Du entweder diesen Ansatz weiterverfolgen oder aber du probierst selbst noch ein Bißchen rum.
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 5 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 6 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 7 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo
Hier eine Skizze zur Lösung
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Die Restfläche ergibt sich : Rechteck - Dreieck - Kreisausschnitt
Da das Dreieck DIC gleichseitig ist, ist alpha = 30 Grad
Der Flächeninhalt der Sternfigur ergibt sich aus Quadrat - 8* Restfläche
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hi,
eine weiter möglichkeit besteht darin über Kreisabschnitt (kreissegment zu rechnen). (also den türkisen Teil auszurechnen. Der ist gleich der gelben Fläche.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun rechnet man Viertelkreis minus gelber Fläche gleich rote Fläche.
Und a²- (viertelkreis + rote Fläche) = Grüne Fläche
Und a² - 4* grüne Fläche = gewünschte Fläche ~ 83%
Falls es schwierigkeiten mit Kreisabschnitt gibt einfach erneut posten (formel finden sich in jeder formelsammlung!)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
> Und a² - 4* grüne Fläche = gewünschte Fläche ~ 83%
Kombiniere ich nun, wie gesagt, meinen ersten und zweiten Ansatz, erhalte ich als Fläche für den Stern: [m]\tfrac{{a^2 \left( {2\pi + 3\sqrt 3 - 9} \right)}}{3} \approx \textcolor{red}{0.826}4459099a^2[/m]. Ich habe also richtig gerechnet.
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Hallo nochmal,
Bei meinem vorherigen Ansatz muß man die Fläche des abgerundeten "Quadrats" in der Mitte des großen Quadrats berechnen, um weiterzukommen, weil wir diese Fläche in meinem ursprünglichen Ansatz abziehen müssen. Überträgt man das Problem in ein Koordinatensystem:
[Dateianhang nicht öffentlich]
kann man es mit Mitteln der Analysis lösen. In der Zeichnung sind die zwei Schritte eingezeichnet, die ich gegangen bin, um die gewünschte Fläche zu bestimmen. Beim ersten Schritt bestimme ich die Fläche unter dem rosa Kreisbogen zwischen den Schneidepunkten des blauen und rosa bzw. des grünen und roten Kreises und des rosa und des roten Kreises (siehe graue Striche). Dann bestimme ich in den gleichen Grenzen die Fläche unter dem roten Kreisbogen. Danach ziehe ich den gerade bestimmten Flächeninhalt vom Flächeninhalt unter dem rosa Kreisbogen und erhalte damit offensichtlich genau die Hälfte der Fläche des runden "Quadrats". Verdopple ich dies, erhalte ich den gewünschten Flächeninhalt. Danach müßte der erste Ansatz zum Erfolg führen. Jetzt von der Idee zur Umsetzung:
Im kartesischen Koordinatensystem ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt [mm] $(a|b)\!$ [/mm] und dem Radius [mm] $r\!$ [/mm] folgendermaßen definiert: [mm] $\left( {x^2 - a} \right) [/mm] + [mm] \left( {y^2 - b} \right) [/mm] = [mm] r^2$.
[/mm]
Wenn wir allerdings diese Darstellung nach [mm] $y\!$ [/mm] hin umformen, erhalten wir zwei Funktionen. Allerdings brauchen wir nur Eine zu betrachten, da die Andere für unsere Aufgabe sinnlos wäre.
Was ist z.B. mit dem rosa Kreis? Er hat den Mittelpunkt [mm] $(-a|0)\!$ [/mm] und den Radius [mm] $a\!$ [/mm] und damit:
[m]\begin{gathered}
\left( {x + a} \right)^2 + y^2 = a^2 \Leftrightarrow y^2 = a^2 - \left( {x + a} \right)^2 = \left( {a - x - a} \right)\left( {a + x + a} \right) \hfill \\
= - x\left( {2a + x} \right) = - x^2 - 2ax \Rightarrow y = \sqrt { - x^2 - 2ax} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Hier habe ich mich für die Funktion mit der positiven Wurzel entschieden, weil sie die Kreishälfte oberhalb der [mm] $x\texttt{-Achse}$ [/mm] beschreibt, was unserer Zeichnung entspricht.
Jetzt zum roten Kreis. Dieser hat den Mittepunkt [mm] $(-a|a)\!$ [/mm] und natürlich auch den Radius [mm] $a\!$. [/mm] Bei diesem Kreis ist es allerdings sinnvoll nachher die Funktion mit einem negativen Vorzeichen vor der Wurzel zu nehmen, weil diese die untere Kreishälfte beschreibt:
[m]\begin{gathered}
\left( {x + a} \right)^2 + \left( {y - a} \right)^2 = a^2 \Leftrightarrow \left( {y - a} \right)^2 = a^2 - \left( {x + a} \right)^2 = - x^2 - 2ax \hfill \\
\Rightarrow y - a = - \sqrt { - x^2 - 2ax} \Leftrightarrow y = a - \sqrt { - x^2 - 2ax} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Um die Fläche rauszubekommen, müssen wir sie integrieren. Dafür benötigen wir die Integrationsgrenzen (graue Striche in der Zeichnung). Die Grenze links ist sofort klar, weil sich unsere abgerundete Figur genau in der Mitte des großen Quadrates befindet und eine Seite die Länge [mm] $-a\!$ [/mm] hat. Damit müßte die erste Integrationsgrenze [m]-\tfrac{a}{2}[/m] lauten. Bei der zweiten Grenze (Schneidepunkt von rot und rosa) müssen wir die beiden Funktionen für rot und rosa gleichsetzen und aufpassen, daß wir auch den richtigen Schneidepunkt rausbekommen und nehmen, weil es hier, wie aus der Zeichnung ersichtlich, zwei Schneidepunkte gibt. Wir nehmen den Punkt, der näher zur [mm] $y\texttt{-Achse}$ [/mm] ist. Dafür setzen wir die Funktionen gleich:
[m]\begin{gathered}
\sqrt { - x^2 - 2ax} = a - \sqrt { - x^2 - 2ax} \Leftrightarrow a = 2\sqrt { - x^2 - 2ax} \Rightarrow a^2 = 4\left( { - x^2 - 2ax} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow - x^2 - 2ax = \frac{{a^2 }}
{4} \Leftrightarrow x^2 + 2ax + \frac{{a^2 }}
{4} = 0 \hfill \\
x_{1;2} = - a \pm \sqrt {a^2 - \frac{{a^2 }}
{4}} = - a \pm \sqrt {\frac{{3a^2 }}
{4}} = - a \pm \frac{{\sqrt 3 }}
{2}a \Rightarrow x_{{\text{brauchbar}}} = a\left( {\frac{{\sqrt 3 }}
{2} - 1} \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Damit haben wir unsere rechte Integrationsgrenze gefunden. Jetzt können wir integrieren und erhalten, wie oben besprochen, zwei Integrale:
rosa:
[m]\int\limits_{ - \frac{a}
{2}}^{a\left( {\frac{{\sqrt 3 }}
{2} - 1} \right)} {\sqrt { - x^2 - 2ax} } dx\mathop = \limits^{{\text{laut meines C.A.S.}}} \frac{{a^2 }}
{{12}}\pi[/m]
rot:
[m]\int\limits_{ - \frac{a}
{2}}^{a\left( {\frac{{\sqrt 3 }}
{2} - 1} \right)} {\left( {a - \sqrt { - x^2 - 2ax} } \right)} dx = \integral_ {\cdots }^{\cdots} {\cdots} - \integral_{\cdots}^{\cdots} {\cdots} \mathop=\limits^{{\text{laut C}}{\text{.A}}{\text{.S}}{\text{.}}} {a^2 \left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}
{2}} \right) - \frac{{a^2 }}
{{12}}\pi}[/m]
Jetzt ziehen wir von dem rosa Flächeninhalt den roten Flächeninhalt ab und verdoppeln das Ganze. Damit lautet unser gesuchter Flächeninhalt: [m]a^2 \left( {\tfrac{\pi }{3} - \sqrt 3 + 1} \right)[/m]. Jetzt erhält man durch meinen ersten Lösungsansatz den Flächeninhalt des "Sternches".
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Schnix |
Jetzt möchte ich mal einiges klarstellen.
1. @loddar Die Mitteilung, die ich kopiert habe (wie du schon so schnell mitbekommen hast!) ist von einem Freund (emerald) mit dem ich die Aufgabe zusammen lösen will.
2. Zu meinem Lösungsansatz: Ich habe mir (bevor ich mich hier angemeldet habe) mit meinem Freund gedanken gemacht, und wir sind genau bis zu dem Punkt gekommen, wie Karl_Pech in seinem ersten Beitrag geschrieben hat. Weiter sind wir leider nicht gekommen.
Sorry, wenn ihr das irgendwie in den falschen Hals bekommen habt, aber ihr braucht nicht gleich beleidigen und so aus der Haut zu fahren (loddar).
Trotzdem danke ich euch für eure Bemühungen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:12 So 13.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Schnix!
Also, da muss ich Loddar in Schutz nehmen: Er konnte definitiv nicht wissen, dass du dir die Idee mit deinem Freund überlegt hast. Es sah wirklich nach einer Verarschung aus. Um zu vermeiden, dass man dir das unterstellt, solltest du es also demnächst vorher kenntlich machen, dass ihr zusammengehört.
Ungeachtet dessen finde ich aber, das Loddar das sehr ruhig und sachlich kommentiert hat. Ich hätte vermutlich einen anderen Ton angeschlagen.
Wenn du mal einen Blick in die Top-20-Rangliste wirfst, wirst du feststellen, dass man ihm garantiert nicht fehlende Hilfsbereitschaft unterstellen kann. Es muss also schon sehr viel passieren (oder diesen Anschein erwecken), dass Loddar mal nicht hilft. Das war hier der Fall und das solltest du vielleicht mal überdenken.
So, auf jeden Fall ist ja alles geklärt und wir freuen uns auf deine weiteren Fragen in der Zukunft. 
Viele Grüße
Stefan
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