Haus ganzalgebraischer Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:45 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Moebius |
| Aufgabe | | Begründen Sie: Für das Haus einer ganzalgebraischen Zahl gilt: das Haus ist stets größer/gleich 1. |
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man das Begründet? Habe selber leider keine Idee.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Begründen Sie: Für das Haus einer ganzalgebraischen Zahl
> gilt: das Haus ist stets größer/gleich 1.
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man das Begründet?
> Habe selber leider keine Idee.
Hallo Moebius
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich kann dir nur den Tipp geben, uns zuerst mal darüber
aufzuklären, was mit dem "Haus" einer Zahl gemeint
sein soll, also eine klare Definition.
Ferner solltest du trotz allem angeben, was du dir
dazu schon überlegt hast und was dir dann Mühe
macht.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Moebius |
Unter dem Haus einer algebr. Zahl a versteht man das betragliche Maximum ihrer Konjugierten. Also das betragliche Maximum der (paarweise verschiedenen) Nullstellen des Minimalpolynoms von a.
Ich muss also zeigen, dass das Minimalpolynom einer ganzalgebraischen Zahl immer eine Nullstelle hat, die betraglich größer ist als 1.
Meine Vermutung ist, dass das zugehörige Minimalpolynom sonst nicht den geforderten Leitkoeffizienten 1 haben kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Moebius!
> Unter dem Haus einer algebr. Zahl a versteht man das
> betragliche Maximum ihrer Konjugierten. Also das
> betragliche Maximum der (paarweise verschiedenen)
> Nullstellen des Minimalpolynoms von a.
In welchem Körper befinden wir uns eigentlich? [mm]\mathbb Q[/mm]? [mm]\mathbb R[/mm]?
> Ich muss also zeigen, dass das Minimalpolynom einer
> ganzalgebraischen Zahl immer eine Nullstelle hat, die
> betraglich größer ist als 1.
> Meine Vermutung ist, dass das zugehörige Minimalpolynom
> sonst nicht den geforderten Leitkoeffizienten 1 haben kann.
Ich habe folgende Idee:
Sei [mm]\xi_1[/mm] eine ganzalgebraische Zahl mit [mm]|\xi_1|<1[/mm]. Angenommen für die Nullstellen [mm]\xi_k[/mm] des Minimalpolynoms [mm]p(x)[/mm] von [mm]\xi_1[/mm] gilt ebenfalls [mm]|\xi_k|<1[/mm], dann lässt sich das Minimalpolynom schreiben als
[mm]p(x)=\prod_{k=1}^n (x-\xi_k)=x^n+\ldots \pm \prod_{k=1}^n \xi_k[/mm].
Da [mm]\xi_1[/mm] ganzalgebraisch ist, müssen alle Koeffizienten von p ganzzahlig sein - insbesondere der letzte Koeffizient [mm]\prod_{k=1}^n \xi_k[/mm].
....
Aber ich will dir ja nicht die ganze Arbeit abnehmen 
Auf dem Gebiet bin ich leider nicht so fit. Für den Fall, dass ich was übersehen habe oder jemand einen anderen Ansatz hat, lasse ich die Frage mal auf teilweise beantwortet.
Lieben Gruß,
Fulla
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> Hallo Moebius!
>
> > Unter dem Haus einer algebr. Zahl a versteht man das
> > betragliche Maximum ihrer Konjugierten. Also das
> > betragliche Maximum der (paarweise verschiedenen)
> > Nullstellen des Minimalpolynoms von a.
>
> In welchem Körper befinden wir uns eigentlich? [mm]\mathbb Q[/mm]?
> [mm]\mathbb R[/mm]?
Hallo Fulla,
natürlich müssen die Polynomkoeffizienten des betrach-
teten Polynoms aus [mm] \IZ [/mm] stammen.
Als Oberkörper "nur" [mm] \IQ [/mm] zu nehmen, wäre aber bestimmt
nicht sinnvoll, denn die meisten ganzalgebraischen Zahlen
sind ja nicht rational. Wir brauchen also sinnvollerweise
mindestens den Körper der algebraischen Zahlen.
Das "Haus" bezüglich dieses Körpers ist dann aber auch
identisch mit dem Haus bezüglich [mm] \IC [/mm] .
> > Ich muss also zeigen, dass das Minimalpolynom einer
> > ganzalgebraischen Zahl immer eine Nullstelle hat, die
> > betraglich größer ist als 1.
> > Meine Vermutung ist, dass das zugehörige
> Minimalpolynom
> > sonst nicht den geforderten Leitkoeffizienten 1 haben
> kann.
>
>
> Ich habe folgende Idee:
> Sei [mm]\xi_1[/mm] eine ganzalgebraische Zahl mit [mm]|\xi_1|<1[/mm].
> Angenommen für die Nullstellen [mm]\xi_k[/mm] des Minimalpolynoms
> [mm]p(x)[/mm] von [mm]\xi_1[/mm] gilt ebenfalls [mm]|\xi_k|<1[/mm], dann lässt sich
> das Minimalpolynom schreiben als
> [mm]p(x)=\prod_{k=1}^n (x-\xi_k)=x^n+\ldots \pm \prod_{k=1}^n \xi_k[/mm].
>
> Da [mm]\xi_1[/mm] ganzalgebraisch ist, müssen alle Koeffizienten
> von p ganzzahlig sein - insbesondere der letzte Koeffizient
> [mm]\prod_{k=1}^n \xi_k[/mm].
>
> ....
>
> Aber ich will dir ja nicht die ganze Arbeit abnehmen
>
>
> Auf dem Gebiet bin ich leider nicht so fit. Für den Fall,
> dass ich was übersehen habe oder jemand einen anderen
> Ansatz hat, lasse ich die Frage mal auf teilweise
> beantwortet.
Ich glaube nicht, dass du irgendetwas übersehen hast.
Auch mir ist zwar diese Frage (innert Jahrzehnten) noch
nie untergekommen, aber nachdem ich mich kurz über
den Begriff "Haus" schlau gemacht und den Begriff
der ganzalgebraischen Zahl kurz aufgefrischt habe,
bin ich ganz genau auf dieselbe Idee wie Du gekommen ...
Gruß
Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Fr 08.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Auf dem Gebiet bin ich leider nicht so fit. Für den Fall,
> dass ich was übersehen habe oder jemand einen anderen
> Ansatz hat, lasse ich die Frage mal auf teilweise
> beantwortet.
du hast nichts uebersehen, genau so macht man das :)
Ich stell die Frage mal auf vollstaendig beantwortet.
LG Felix
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