Höhenlinien < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f(x, y, [mm] z)=e^{-(x²+6xy-2y²-2yz+z²)}.
[/mm]
Bestimmen Sie die geometrische Gestalt der Höhenlinien von f zum Niveau c=1. |
Hallo noch mal,
eine weitere Frage, bei der ich auch nicht weiterkomme :-(. Ich muss jetzt die Gleichung
[mm] e^{-(x²+6xy-2y²-2yz+z²)}=1 [/mm] irgendwie lösen, oder?
Allerdings weiß ich da schon nicht mal mehr, wie das geht und wie ich dann von da aus auf eine geometrische Gestalt kommen soll, ist mir völlig schleierhaft. Kann mir irgendjemand genau erklären, was ich machen muss? Das wäre super!
ETA: Geht das irgendwie über den ln, also würde evtl. die Gleichung
-(x²+6xy-2y²-2yz+z²)=0 stimmen?
Danke, Katrin
Ich habe diese keine Frage in keinem anderen Internet-Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Fr 09.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Katrin,
das ist also eine Funtion in [mm] $\IR^4$
[/mm]
Da sich meine Kenntnisse auf den [mm] $\IR^3$ [/mm] beziehen, muss ich ein wenig "extrapolieren", aber das Prinzip dürfte ja das gleiche sein.
> Ich muss jetzt die Gleichung
> [mm]e^{-(x²+6xy-2y²-2yz+z²)}=1[/mm] irgendwie lösen, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> -(x²+6xy-2y²-2yz+z²)=0 ?
(kannst Dir natürlich auch das Minus sparen...)
Jetzt solltest Du "nur noch" nach z auflösen und erhältst dann einen Ausdruck der Form
$z= f(x,y)$
Die geometrische Gestalt dazu mag sich vielleicht schnell durch Anschauung erschließen, falls der entstehende Ausdruck einfach genug ist, ansonsten ist noch eine Funktionsuntersuchung fällig, fürchte ich.
Jedenfalls könnte es sich gut um eine irgendwie geformte Fläche handeln, so wie die Höhenlinie einer dreidimensionalen Funktion ja eine zweidimensinale der Form $y=f(x)$ ist.
Hm, meine Erläuterung ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]") ist etwas konfus, fürchte ich, habe gerade Probleme, das in anschauliche Worte zu fassen.
Vielleicht reicht's ja schon...
Schöne Grüße,
ardik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo noch mal,
erst mal danke für die Hilfe!
Wieso muss ich die Gleichung gerade nach z auflösen? Und kann ich das dann sozusagen trotzdem nach der p-q-Formel machen oder geht das nicht?
Dann hätte ich da raus:
[mm] x_{1,2}=y\pm\wurzel{3y²-x²-6xy}
[/mm]
Stimmt das? Und falls ja, was muss ich danach damit machen? Ich habe keinerlei Ahnung. Vor allem habe ich da dann ja auch zwei Werte raus?
Wäre sehr nett, wenn mir da noch mal irgendwer weiterhelfen könnte!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Fr 09.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Katrin,
ja, ich sitzte da auch gerade noch dran, weil ich mit meiner Antwort nicht so recht zufrieden war...
zunächst:
> Wieso muss ich die Gleichung gerade nach z auflösen?
Musst Du sicher nicht unbedingt. Aber es entspricht, denke ich, einer "anschaulichen" Üblichkeit, z.B. zweidimensionale Funktionen mit x und y nach $y = f(x)=...$ aufzulösen und dreidimensionale mit x, y und z nach $z = f(x,y) =...$
> Und kann ich das dann sozusagen trotzdem nach der p-q-Formel
> machen oder geht das nicht?
So mache ich's jedenfalls auch gerade auf meinem Schmierzettel 
> [mm]z_{1,2}=y\pm\wurzel{3y²-x²-6xy}[/mm]
(Du meintest natürlich [mm] $z_{1,2} [/mm] $ statt [mm] $x_{1,2} [/mm] $)
> Stimmt das? Und falls ja, was muss ich danach damit machen?
> Ich habe keinerlei Ahnung. Vor allem habe ich da dann ja
> auch zwei Werte raus?
Nicht direkt zwei Werte, eher zwei Funktionen, die jede für sich zwei "Flächen" im [mm] $\IR^3$ [/mm] beschreiben.
Ich habe mir die Wurzel auch mal näher angesehen und bin zu dem Schluss gekommen, dass sie für alle $x, y [mm] \in \IR$ [/mm] definiert ist.
Diese Flächen sind die gefragten "Höhenlinien", auch wenn ich den Begriff hier für irgendwie (sprachlich) unzutreffend halte und eher von "Niveau-Flächen" oder so reden würde. Über die korrekte mathematische Terminologie bin ich mir hier nicht im Klaren. Jedenfalls sind es weder "Linien" (im geometrisch anschulichen Sinne), noch ist c eine "Höhe" (dito).
[Ich arbeite gerade noch an allg. Erläuterungen, sende aber zwischendurch schon mal ab...]
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> Musst Du sicher nicht unbedingt. Aber es entspricht, denke
> ich, einer "anschaulichen" Üblichkeit, z.B.
> zweidimensionale Funktionen mit x und y nach [mm]y = f(x)=...[/mm]
> aufzulösen und dreidimensionale mit x, y und z nach [mm]z = f(x,y) =...[/mm]
OK. Darf ich noch eine dumme Zwischenfrage stellen? Wieso sind wir im [mm] \IR^{4}, [/mm] wenn wir im dreidimensionalen sind?
> > [mm]z_{1,2}=y\pm\wurzel{3y²-x²-6xy}[/mm]
>
> (Du meintest natürlich [mm]z_{1,2}[/mm] statt [mm]x_{1,2} [/mm])
Ja, sorry, das hatte ich vergessen umzuändern.
> Nicht direkt zwei Werte, eher zwei Funktionen, die jede für
> sich zwei "Flächen" im [mm]\IR^3[/mm] beschreiben.
> Ich habe mir die Wurzel auch mal näher angesehen und bin
> zu dem Schluss gekommen, dass sie für alle [mm]x, y \in \IR[/mm]
> definiert ist.
Muss ich das prüfen? Und falls ja, wie mache ich das?
> Diese Flächen sind die gefragten "Höhenlinien", auch wenn
> ich den Begriff hier für irgendwie (sprachlich)
> unzutreffend halte und eher von "Niveau-Flächen" oder so
> reden würde. Über die korrekte mathematische Terminologie
> bin ich mir hier nicht im Klaren. Jedenfalls sind es weder
> "Linien" (im geometrisch anschulichen Sinne), noch ist c
> eine "Höhe" (dito).
Da kann ich nicht mitdiskutieren, ich fand es schon schlimm genug, dass der Begriff in der Vorlesung noch gar nicht gefallen ist und in der Übung auf einmal auftauchte. Die Tutorin hat uns auch schon gewarnt, dass die Aufgaben ziemlich schwer seien, aber ich brauche die Punkte, um die Veranstaltung zu bestehen, deswegen versuche ich es auf diesem Wege... Und ein kleines Stück weiter bin ich ja schon, danke nochmals.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Fr 09.06.2006 | | Autor: | ardik |
Sorry, muss spontan erst mal für mindestens 'ne Stunde weg.
Danach setzte ich mich wieder ran und bringe ein paar Erläuterungen bzgl. Höhenlinien allgemein, den diversen Dimensionen, mit denen wir hier zu tun haben und den speziellen Fragen (falls das nachher noch gefragt ist )
Liebe Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:54 Sa 10.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hi Trine,
sorry, das war - und wird - noch viel mehr Pause.
Während ich mal eben Schwesterlein bei einem dringenden Computerproblem half, gab es einen Heidenlärm, da Küchenhängeschrank beschlossen hatte, die Existenz der Schwerkraft nachzuweisen.
Da waren wir dann ein paar Stunden beschäftigt mit Schadensbehebung...
Ich weiß nicht, wann ich da weiter machen könnte, aber Du hast ja schon was schönes bekommen 
Vielleicht schaff ich's am Wochenende.
Sorry nochmal und
liebe Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Galois |
Die gesuchten Höhen"linien" ist eine Fläche, und zwar ein (elliptischer) Doppelkegel im [mm] $\IR^3$ [/mm] mit Spitze im Nullpunkt.
Warum das?
Denkt mal an Lineare Algebra.
Die Abbildung [mm]\langle\,,\,\rangle:\IR^3\times\IR^3\to \IR,\quad\langle\vektor{x_2\\y_2\\z_2},\vektor{x_2\\y_2\\z_2}\rangle:=x_1x_2+3(x_1y_2+y_1x_2)-2y_1y_2-y_1z_2-z_1y_2+z_1z_2=(x_1\; y_1\; z_1)\pmat{ 1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & -1\\0 & -1 & 1 }\vektor{x_2\\y_2\\z_2}[/mm]
ist eine symmetrische Bilinearform. Und die gesuchte Fläche ist einfach die Menge aller Vektoren [mm]v\in\IR^3[/mm] mit [mm]\langle v,v\rangle=0[/mm].
Jede dreidimensionale symmetrische Bilinearform kann laut Lineare Algebra II durch einen geeigneten Basiswechsel ("Hauptachsentransformation") auf die Form
[mm]\sigma_xx_1x_2+\sigma_yy_1y_2+\sigma_zz_1z_2[/mm] mit [mm]\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\in\{-1,0,1\}[/mm] gebracht werden.
Wegen [mm]\vmat{1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & -1\\0 & -1 & 1 }=-12<0[/mm] sind alle [mm]\sigma_i\neq 0[/mm], und die Anzahl der [mm] \sigma_i, [/mm] die gleich -1 sind, muß ungerade sein. Folglich kommen (bis auf Permutation) nur die Möglichkeiten [mm](\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)=(-1,-1,-1)[/mm] und [mm](\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)=(-1,1,1)[/mm] in Frage. Da die betrachtete symmetrische Bilinearform aber nicht negativ definit ist (warum nicht?), entfällt die erste Möglichkeit.
Also läßt sich [mm]\langle\,,\,\rangle[/mm] bezüglich einer geeigneten Basis in der Form [mm]-x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2[/mm] schreiben. Die Menge aller Vektoren [mm]\vektor{x\\y\\z}\in\IR^3[/mm] mit [mm]-x^2+y^2+z^2=0[/mm] ist aber ein Doppelkegel.
Grüße,
Galois
![[]](/images/popup.gif) Bonner Matheforum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Wow.
Ich habe zwar nichts verstanden, aber immerhin habe ich jetzt eine Lösung, die ich hinschreiben kann, falls sich diese Tatsache (also des Nicht-Verstehens) innerhalb der nächsten Woche nicht ändert.
Also danke! (Warum die Matrix nicht negativ definit ist, kann ich übrigens zeigen ).
Ich glaube, es macht wenig Sinn, anzufangen, irgendwelche Fragen zu deinen Erläuterungen zu stellen, denn da ich praktisch nichts verstanden habe, könnte das irgendwie zu weit führen.
Der Anfang, den ich gerechnet habe und das Auflösen nach z waren aber trotzdem richtig, oder?
Vielleicht gibt es ja hier auch noch jemanden, der irgendwie anders weiter argumentieren kann, nachdem ich dieses z da stehen habe (evtl. ohne LA?). Das wäre super.
Und wie genau stelle ich mir einen Doppelkegel vor?
Trotzdem vielen, vielen Dank für deine Mühe und die ausführliche Antwort!
Ciao, Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo Katrin!
> aber immerhin habe ich jetzt eine Lösung, die ich hinschreiben kann,
![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]") Hey, Schummeln gildet nicht! Außerdem haben Mathe-Tutoren ein sehr gutes Gespür für Plagiate...
Also, lieber noch mal in die Literatur zur Linearen Algebra vertiefen.
> Ich glaube, es macht wenig Sinn, anzufangen, irgendwelche Fragen zu deinen Erläuterungen zu stellen, denn da ich praktisch nichts verstanden habe, könnte das irgendwie zu weit führen.
Mein Beitrag war für eine vollverständliche Antwort sicherlich etwas kurz, und auch eher als ein "Zwischenruf" gedacht. Vielleicht hat ja der ein oder andere Leser Lust, meine Idee noch etwas ausführlicher zu erläutern.
Sinnvoller erscheint es mir allerdings, wenn Du ein Buch zur Linearen Algebra zu Rate ziehst. Da Du ja weißst, was "negativ definit" bedeutet, hast Du dich ja auf jeden Fall schon mal mit symmetrischen Bilinearformen beschäftigt. In dem entsprechenden Kapitel müßtest Du dann nach den Stichworten "Hauptachsentransformation" und/oder "Trägheitssatz von Sylvester" suchen. Und wenn Du schon einmal davon gehört hast, daß symmetrische Matrizen "orthogonal diagonalisierbar" sind, könnte Dir das auch weiterhelfen, da das eigentlich diejenige Aussage ist, die ich oben im Kern verwendet habe.
> Der Anfang, den ich gerechnet habe und das Auflösen nach z waren aber trotzdem richtig, oder?
Das Auflösen nach z habe ich mir nicht weiter angeguckt, da mir vor solchen expliziten Rechnungen immer etwas gruselt. ![[uhh]](/images/smileys/uhh.gif "[uhh]") (Bin heilfroh, in einem anderen Beitrag von mir vorhin eine ähnliche Rechnung fehlerfrei hinbekommen zu haben...)
> Und wie genau stelle ich mir einen Doppelkegel vor?
Der Standard-Doppelkegel ist die Lösungsmenge von [mm]z^2=x^2+y^2[/mm]:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hierzu ein Zitat aus der Wikipedia (aus der auch das Bild stammt): "Ein Doppelkegel entsteht als Rotationsfläche einer Geraden um eine sie nicht rechtwinkelig schneidende Achse. Es entstehen zwei Drehkegel mit dem gleichen Öffnungswinkel und einer gemeinsamen Achse, die sich in der Spitze berühren. Schneidet man einen solchen unendlichen Doppelkegel mit einer Ebene, entstehen die so genannten Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel"
Bei Deiner Aufgabe könnte es allersdings der Fall sein, daß der Kegel (linear) verzerrt ist, d.h., die Querschnitte wären dann keine Kreise mehr, sondern Ellipsen. Das ist aber harmlos.
Grüße,
Galois
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Guten Morgen,
> Hey, Schummeln gildet nicht! Außerdem haben
> Mathe-Tutoren ein sehr gutes Gespür für Plagiate...
> Also, lieber noch mal in die Literatur zur Linearen
> Algebra vertiefen.
Ja, theoretisch hast du schon recht. Das Problem ist, dass ich nur eine Woche Zeit habe, um die Aufgabe zu lösen und nicht nur die, sondern auch noch zwei andere. Und dann könnte man ja zu recht sagen, ich lerne nicht für die Aufgabe, sondern für mich, blabla, aber da ich schwerpunktmäßig später Informatik machen werde und auch das nur eingeschränkt, bezweifle ich, dass ich wirklich viel von dem Mathe-Kram später brauchen werde.
Mir ist schon daran gelegen, nicht einfach irgendwas abzuschreiben, sondern es so weit wie möglich zu verstehen, aber ich habe neben Mathe ja auch noch andere Fächer, für die ich was machen muss.
Dazu kommt, dass es in der Vorlesung so klang, als wäre die LA jetzt vallständig abgeschlossen und deswegen wundere ich mich ein bisschen, dass man die jetzt für diese Aufgabe wieder verwenden soll.
> Mein Beitrag war für eine vollverständliche Antwort
> sicherlich etwas kurz, und auch eher als ein "Zwischenruf"
> gedacht. Vielleicht hat ja der ein oder andere Leser Lust,
> meine Idee noch etwas ausführlicher zu erläutern.
Quatsch, kurz war der Beitrag absolut nicht! Ich bin echt immer wieder erstaunt, was für hilfsbereite Leute sich hier tummeln . Und deine Antwort war mehr als ausführlich!
> Sinnvoller erscheint es mir allerdings, wenn Du ein Buch
> zur Linearen Algebra zu Rate ziehst. Da Du ja weißst, was
> "negativ definit" bedeutet, hast Du dich ja auf jeden Fall
> schon mal mit symmetrischen Bilinearformen beschäftigt.
> In dem entsprechenden Kapitel müßtest Du dann nach den
> Stichworten "Hauptachsentransformation" und/oder
> "Trägheitssatz von Sylvester" suchen. Und wenn Du schon
> einmal davon gehört hast, daß symmetrische Matrizen
> "orthogonal diagonalisierbar" sind, könnte Dir das auch
> weiterhelfen, da das eigentlich diejenige Aussage ist, die
> ich oben im Kern verwendet habe.
Hauptachsentransformarionen und auch diagonalisierbar sagen mir sogar was. Aber auch da ist immer das Problem, dass ich das dann zwar anwenden kann, aber eigentlich nicht wirklich verstanden habe. Aber ich kann ja noch mal schauen.
Das mit dem Doppelkegel ist jetzt auch klar. Ich frage mich zwar immer noch, woher ich das wissen soll, aber trotzdem danke!!!
Meine Frage bleibt trotzdem noch bestehen, ob man die Aufgabe auch ohne LA lösen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo Katrin!
> aber da ich schwerpunktmäßig später Informatik machen werde und auch das nur eingeschränkt, bezweifle ich, dass ich wirklich viel von dem Mathe-Kram später brauchen werde.
Bezüglich Deines speziellen Teilgebiets der Informatik kann ich dazu nichts sagen, aber nach allem, was ich so höre, ist die Informatik (auf Uni-Niveau) doch wesentlich mathematischer, als es vielen Info-Studenten lieb ist.
Um nur mal ein einzelnes Beispiel zu nennen (es gibt sicherlich noch viele andere, ich kenne mich in der Informatik aber nicht so aus): Um ein Verfahren zur Kompression von Audiodateien zu entwickeln, muß man sich zunächst mit der Frequenzverteilung in Musikstücken etc. auseinandersetzen, d. h., man muß sich mit der sog. Fouriertransformation beschäftigen. Diese ist eine lineare Abbildung eines bestimmten unendlichdimensionalen(!) Vektorraums in sich. Dieser Vektorraum besitzt ein natürliches Skalarprodukt, bezüglich dem die Fouriertransformation längenerhaltend (d.h. orthogonal) ist. Usw., usw., usw.
Also, ich persönlich glaube nicht, daß Du den symmetrischen Bilinearformen jemals wieder entkommen wirst...
> Dazu kommt, dass es in der Vorlesung so klang, als wäre die LA jetzt vallständig abgeschlossen und deswegen wundere ich mich ein bisschen, dass man die jetzt für diese Aufgabe wieder verwenden soll.
Hm, vielleicht hatte euer Professor den Eindruck, daß es sinnvoll sei, eure diesbezüglichen Kenntnisse etwas aufzufrischen. Vielleicht aus prinzipiellen Erwägungen, vielleicht aber auch, weil in der nächsten Zeit ein Thema auftaucht, daß auf diese Kenntnisse zurückgreift. Mehr als in den meisten anderen Wissenschaften bauen die einzelnen Gebiete der Mathematik ja sehr aufeinander auf.
> Meine Frage bleibt trotzdem noch bestehen, ob man die Aufgabe auch ohne LA lösen kann?
Ich würde mal "nein" sagen, da die Aufgabe (für das geübte Auge!) doch zu sehr nach symmetrischer Bilinearform aussieht. Aber ich lasse die Frage mal offen - vielleicht hat der ein oder andere Leser bei dieser Aufgabe ja mehr mathematische Phantasie als ich.
Grüße,
Galois
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 So 11.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo,
> Bezüglich Deines speziellen Teilgebiets der Informatik kann
> ich dazu nichts sagen, aber nach allem, was ich so höre,
> ist die Informatik (auf Uni-Niveau) doch wesentlich
> mathematischer, als es vielen Info-Studenten lieb ist.
Das glaube ich dir gerne, aber ich denke trotzdem, dass unser Informatik-teil relativ praxisbezogen bleiben wird (und sich insbesondere im Sportfeld abspielt) und nach allem, was ich so gehört habe, ist der Mathe-Teil tatsächlich mehr oder weniger ein Schein, den man halt machen muss. Aber ich lasse mich gerne eines Besseren belehren .
> Hm, vielleicht hatte euer Professor den Eindruck, daß es
> sinnvoll sei, eure diesbezüglichen Kenntnisse etwas
> aufzufrischen. Vielleicht aus prinzipiellen Erwägungen,
> vielleicht aber auch, weil in der nächsten Zeit ein Thema
> auftaucht, daß auf diese Kenntnisse zurückgreift. Mehr als
> in den meisten anderen Wissenschaften bauen die einzelnen
> Gebiete der Mathematik ja sehr aufeinander auf.
Ja, bloß war die LA direkt davor und als letztes davor sogar diese Hauptachsentransformationen. Und seine Worte waren dann: "So, wir fangen jetzt wieder ein ganz neues Thema ganz von vorne an, Sie können Ihren Kommilitonen, die vor der LA geflüchtet sind, weil es ihnen zu schwer wurde, Bescheid geben, dass sie wieder kommen können." Und irgendwie finde ich es komisch, dass man sie dann direkt wieder benutzen muss.
> Ich würde mal "nein" sagen, da die Aufgabe (für das geübte
> Auge!) doch zu sehr nach symmetrischer Bilinearform
> aussieht. Aber ich lasse die Frage mal offen - vielleicht
> hat der ein oder andere Leser bei dieser Aufgabe ja mehr
> mathematische Phantasie als ich.
OK, ich will das auch nicht diskutieren, mich hat es nur gewundert . Wenn du sagst, dass dein Weg richtig klingt, dann glaube ich das, dein Auge ist garantiert geübter als meins .
Dann bedanke ich mich noch mal sehr,
Grüße, Katrin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Sooo, jetzt bin ich dabei, das alles nachzuvollziehen und in eine ordentliche Form zu bringen und schon hakt es wieder.
Die Rechnung am Anfang bleibt bestehen, oder?
Ich habe dann da stehen:
-x²+2y²-z²-6xy+2yz=0
Jetzt würde ich nach dem, was ich gelernt habe, auf die Matrix
[mm] \pmat{ -1 & -3 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 } [/mm] kommen. Ich sehe schon, dass das die gleiche ist, die du raus hast bloß eben mal (-1), woher kommt das? Oder ist es egal, ob ich deine oder meine nehme?
Dann weiter im Text:
> Jede dreidimensionale symmetrische Bilinearform kann laut
> Lineare Algebra II durch einen geeigneten Basiswechsel
> ("Hauptachsentransformation") auf die Form
> [mm]\sigma_xx_1x_2+\sigma_yy_1y_2+\sigma_zz_1z_2[/mm] mit
> [mm]\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\in\{-1,0,1\}[/mm] gebracht werden.
Wieso ist [mm]\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\in\{-1,0,1\}[/mm]?
Danke schon mal, Katrin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo Katrin!
Schön, daß Du dich jetzt doch noch wieder in die Welt der symmetrischen Bilinearformen vertiefst! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Die Rechnung am Anfang bleibt bestehen, oder?
> Ich habe dann da stehen: -x²+2y²-z²-6xy+2yz=0
> Jetzt würde ich nach dem, was ich gelernt habe, auf die Matrix [mm]\pmat{ -1 & -3 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 }[/mm] kommen. Ich sehe schon, dass das die gleiche ist, die du raus hast bloß eben mal (-1), woher kommt das? Oder ist es egal, ob ich deine oder meine nehme?
Ja, das ist egal. Das umgekehrte Vorzeichen kommt daher, daß Du bei der Gleichung -(x²+6xy-2y²-2yz+z²)=0 das vordere Minuszeichen reingezogen hast, während ich es weggelassen habe. Das ändert natürlich an der Mathematik nichts, wir können daher gerne bei Deinem Vorzeichen bleiben. In meiner weiteren Argumentation müssen dann bloß an einigen Stellen die Vorzeichen ebenfalls geändert werden.
> > Jede dreidimensionale symmetrische Bilinearform kann laut
> > Lineare Algebra II durch einen geeigneten Basiswechsel
> > ("Hauptachsentransformation") auf die Form
> > [mm]\sigma_xx_1x_2+\sigma_yy_1y_2+\sigma_zz_1z_2[/mm] mit
> > [mm]\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\in\{-1,0,1\}[/mm] gebracht werden.
>
> Wieso ist [mm]\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\in\{-1,0,1\}[/mm]?
Ich bezeichne Deine obige Matrix mal mit A. Nach dem Satz über die orthogonale Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen gibt es zunächst eine orthogonale Matrix O und eine Diagonalmatrix B mit [mm]O^TBO=O^{-1}BO=A[/mm].
Aus der Matrix B können wir nun noch "Wurzeln herausziehen": Seien [mm]b_1,b_2, b_3[/mm] die Diagonaleinträge von B. Wir setzen
[mm] \begin{cases}
d_i:=\sqrt{b_i}\phantom{-}\mbox{ und } \sigma_i:=1 & \mbox{für } b_i>0,\\
d_i:=1\qquad \mbox{ und } \sigma_i:=0 & \mbox{für } b_i=0,\\
d_i:=\sqrt{-b_i} \mbox{ und } \sigma_i:=-1 & \mbox{für } b_i<0,\\
\end{cases}
[/mm]
und bezeichnen mit D bzw. S die Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen [mm]d_1,d_2, d_3[/mm] bzw.
[mm]\sigma_1[/mm],[mm]\sigma_2[/mm], [mm]\sigma_3[/mm]. Dann gilt offensichtlich $D^TSD=DSD=B$. Ferner ist D wegen [mm] d_i\neq0 [/mm] regulär.
Zusammenfassend erhalten wir [mm](DO)^TS(DO)=O^TD^TSDO=A[/mm], d.h. Matrix [mm](DO)^{-1}[/mm] liefert einen Basiswechsel von der Standardbasis auf eine neue Basis, bezüglich der unsere anfängliche Bilinearform [mm]\langle\,,\,\rangle[/mm] ([mm]\langle x,y\rangle:=x^T A y[/mm] für [mm]x,y\in\IR^3[/mm]) nicht mehr durch A, sondern durch [mm]S=\pmat{\sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0\\0 & 0 & \sigma_3 }[/mm] beschrieben wird.
Bemerkungen:
- Konkret besteht die neue Basis aus den Spaltenvektoren von [mm](DO)^{-1}[/mm], aber so genau brauchen wir das gar nicht.
- Laß Dich von diesen Basiswechsel-Sachen nicht abschrecken. Es ist eigentlich einfacher als es aussieht, bloß etwas dumm aufzuschreiben.
- Zwecks Vereinfachung heißen die [mm]\sigma_{x,y,z}[/mm] jetzt[mm] \sigma_{1,2,3}[/mm]...
Für die weiteren Überlegungen mußt Du jetzt den Determinatenmultiplikationssatz (schreckliches Wort...) auf [mm](DO)^TS(DO)=A[/mm] anwenden.
Grüße,
Galois
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Hallo Galois (oder jemand anderes...),
ich hoffe du bist noch da und kannst mir heute noch weiterhelfen :-(. Ich sitze immer noch an dieser besch... Aufgabe und komme nicht so wirklich weiter. Ich bin jetzt mal von dem ausgegangen, was ich bis jetzt schon konnte und habe von der Matrix A, die ich aufgestellt hatte, die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt. Da komme ich auf die Eigenwerte -1, 4, -3, was auch zu stimmen scheint (Probe mit einem Online-Rechner). Daraus entstehen die Eigenvektoren
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3}, \vektor{-3 \\ 5 \\ 1}, \vektor{-3 \\ -2 \\ 1}.
[/mm]
Aus diesen Vektoren kann ich ein S bilden, sodass die Gleichung [mm] S^{-1}AS=D [/mm] erfüllt ist mit [mm] D=\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 } [/mm] und [mm] S=\pmat{ 1 & -3 & -3 \\ 0 & 5 & -2 \\ 3 & 1 & 1 }. [/mm]
Soweit bin ich jetzt. Aber was genau mache ich dann damit danach?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo Katrin85,
> falls du zufällig heute zu Hause bist, meinst du, du kannst noch mal einen Blick auf meine Frage werfen
Zuhause war ich gestern schon. Da ich aber nicht hier im Matheraum wohne , hat mich Deine PM leider erst heute erreicht. :-(
Der Vollständigkeit halber im Folgenden aber trotzdem noch eine Antwort von mir.
> Ich bin jetzt mal von dem ausgegangen, was ich bis jetzt schon konnte und habe von der Matrix A, die ich aufgestellt hatte, die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt.
Prima! Das wäre zwar für eine eher qualitative Antwort, wie ich sie vorgeschlagen hatte, nicht nötig gewesen, aber mittels der Eigenwerte und Eigenvektoren läßt sich die ursprüngliche Frage natürlich noch deutlich präziser beantworten.
Also machen wir einfach mal auf dem Weg weiter, den Du jetzt eingeschlagen hast.
> Da komme ich auf die Eigenwerte -1, 4, -3, was auch zu stimmen scheint (Probe mit einem Online-Rechner). Daraus entstehen die Eigenvektoren [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 3}, \vektor{-3 \\ 5 \\ 1}, \vektor{-3 \\ -2 \\ 1}.[/mm]
> Aus diesen Vektoren kann ich ein S bilden, sodass die Gleichung [mm]S^{-1}AS=D[/mm] erfüllt ist mit [mm]D=\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 }[/mm] und [mm]S=\pmat{ 1 & -3 & -3 \\ 0 & 5 & -2 \\ 3 & 1 & 1 }.[/mm]
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> Soweit bin ich jetzt. Aber was genau mache ich dann damit danach?
Soweit O.K. Allerdings brauchen wir zudem, daß die Matrix S orthogonal ist. Der Grund hierfür ist der, daß eine Matrix A, die eine gegebene Bilinearform beschreibt, unter einem Basiswechsel S zu der Matrix [m]S^TAS[/m] transformiert wird. Dies unterscheidet sich von der Transformation einer Matrix zu einer linearen Abbildung unter einem Basiswechsel, wo die entsprechende neue Matrix [m]S^{-1}AS[/m] lautet. (Das ist leider nicht ganz leicht zu verstehen, die Details würden jetzt aber etwas vom Thema wegführen...)
Naja, jedenfalls können wir S ja problemlos zu einer orthogonalen Matrix abändern: Da die Spalten von S bereits paarweise orthogonal sind, müssen wir nur noch ihre Spalten (die Eigenvektoren von A) durch ihre jeweilige Länge dividieren.
Da sparen wir uns jetzt mal einfach die explizite Rechnung, und definieren [mm]D_1[/mm] als die 3x3-Diagonalmatrix, deren Diagonaleinträge die genannten Längen sind. Dann ist [mm] $SD_1^{-1}$ [/mm] orthogonal und es gilt daher [mm](SD_1^{-1})^TA(SD_1^{-1})= (SD_1^{-1})^{-1} A(SD_1^{-1})= D_1S^{-1} ASD_1^{-1}=D_1DD_1^{-1}=D[/mm].
(Nebenbemerkung: Die Matrix [mm]SD_1^{-1}[/mm] hieß in meinem vorigen Beitrag [mm]O^{-1}[/mm], die Matrix D hieß dort B.)
Nach dem zuvor Gesagten ist also D die Matrix unserer Bilinearform [mm] $\langle\,,\,\rangle$ [/mm] zur Basis [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm], wobei [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] die Spalten von [mm]SD_1^{-1}[/mm] sind. Mit anderen Worten: Für alle [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\mu_1,\mu_2,\mu_3\in\IR$ [/mm] gilt [mm] $\langle \sum_i\lambda_i v_i, \sum_i\mu_i v_i \rangle=-1\lambda_1\mu_1+4\lambda_2\mu_2-3\lambda_3\mu_3$. [/mm] (Das kann man auch einfach ganz elementar nachrechnen...)
Insbesondere gilt also, daß für ein [mm]v=\sum_i\lambda_iv_i[/mm] genau dann [mm]\langle v,v\rangle=0[/mm] gilt, wenn [mm]-\lambda_1^2+4\lambda_2^2-3\lambda_3^2=0[/mm] ist.
Die Menge dieser Vektoren [mm]\vektor{\lambda_1\\ \lambda_2 \\ \lambda_3}\in\IR^3[/mm] bildet aber einen elliptischen Doppelkegel im [mm] $\IR^3$. [/mm] Um dies zu sehen, kannst Du diese Menge (also die Lösungsmenge von [mm]-\lambda_1^2+4\lambda_2^2-3\lambda_3^2=0[/mm]) mit den Ebenen[mm]\lambda_2=const.[/mm] schneiden. Du erhälst als jeweiligen Schnitt eine Ellipse ( [mm]\lambda_1^2+3\lambda_3^2=4\,const.^2[/mm] ), die linear mit [mm] $\lambda_2$ [/mm] wächst.
Und da nun [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] eine Orthogonalbasis ist, ist die gesuchte Menge der Vektoren v mit [mm]\langle v,v\rangle=0[/mm] eben dieser Doppelkegel, nur halt so gedreht, daß seine 3 "Achsen" nicht mehr wie bei [mm]-\lambda_1^2+4\lambda_2^2-3\lambda_3^2=0[/mm] durch die drei Standardbasisvektoren, sondern durch die drei Vektoren [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] gegeben sind.
Grüße,
Galois
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