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Hallo. Sorry das ich euch am ,,heiligen Sonntag'' womöglich auf die nervern gehen muss. Ich habe ein kleines und hoffentlich schnell lösbares Problem. Es geht um die Housholder Transformation, die da lautet:
Sei u [mm] \in \IR^2 [/mm] und [mm] H_u: \IR^2 \to \IR^2 [/mm] die Abbildung x [mm] \to x-2u\*\bruch{}{}.
[/mm]
Ich weiß, dass es auch noch andere Methoden zur Householder Transformation gibt. Allerdings hatten wir jetzt diese definiert und deshalb ist es wahrscheinlich am besten auch damit zu rechnen. Nun zu meinem Problem:
Was genau gilt jetzt für [mm] u=\vektor{1 \\ 0} [/mm] und beliebiges x [mm] \in \IR^2??? [/mm] Ich muss ja irgendwie auf einen Wert x [mm] \in \IR^2 [/mm] kommen. aber wie kriege ich diesen raus. bzw. wie ist dieser in der Householder Transmformation definiert??? Denn ich muss ja am Ende auf ein Polynom kommen, um die Eingenwerte und Eigenvektoren zu berechnen. Hierfür fehlt mir allerdings jeder Ansatz, da ich ja erstmal x benötige.
Ich bedanke mich schonmal für jede Hilfe. Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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Grüße!
Den Begriff "Householder-Transformation" habe ich ehrlich gesagt noch nie gehört, aber was da steht ist schlicht eine Spiegelung an der zu u senkrechten Hyperebene.
Und für u wie im Beispiel, also $u = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] kannst Du einfach einsetzen, was [mm] $H_u(x)$ [/mm] sein soll, wenn $x = [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \in \IR^2$ [/mm] beliebig gegeben ist.
Zunächst gilt [mm] $\langle [/mm] u,u [mm] \rangle [/mm] = 1$, also kann der Nenner vernachlässigt werden. Weiter ist [mm] $\langle x,u\rangle [/mm] = [mm] x_1$, [/mm] also gilt:
[mm] $H_u(x) [/mm] = x - 2 [mm] x_1 \cdot [/mm] u = [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 2 x_1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} - x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$.
[/mm]
In Worten ausgedrückt wird der [mm] $x_1$ [/mm] Anteil von $x$ auf sein Negatives geschickt, geometrisch wird der Vektor $x$ also an der $y$-Achse gespiegelt - das ist die zu $u$ senkrecht stehende Hyperebene.
Allgemein gilt im [mm] $\IR^n$ [/mm] immer, dass falls $x$ senkrecht auf $u$ steht, $x$ festbleibt (Eigenvektor zum Eigenwert 1), denn dann gilt [mm] $\langle [/mm] x, u [mm] \rangle [/mm] = 0$. Die von $u$ aufgespannte Gerade ist ebenfalls Eigenraum zum Eigenwert -1 (denn $u$ wird auf $-u$ geschickt).
Damit ist die Abbildung diagonalisierbar, denn es gibt eine Basis aus Eigenvektoren - alles klar? 
Gruß, Lars
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