Identität cosh(2x) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 So 03.01.2010 | | Autor: | Alex162 |
Ein frohes neues Jahr erstmal :)
Ich hätte nur eine kurze Frage zum Folgendem:
Ich muss mit dem Cauchyprodukt folgende Identiät beweisen:
cosh(2x) = [mm] (cosh(x))^2 [/mm] + [mm] (sinh(x))^2
[/mm]
Eigentlich sollte das auch nicht so schwer sein, ich habe auch eigentlich alles geschafft.
Es handelt sich um folgende spezielle Frage:
Bei dem Cauchyprodukt von
cosh(x)*cosh(x)
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^{2k}/((2k)!) [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^{2k}/((2k)!)
[/mm]
komme ich auf folgenden Ansatz
= [mm] \summe_{m=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{m}x^{2k}/((2k)!)*x^{2(m-k)}/((2(m-k))!)
[/mm]
Soweit so gut, am Ende habe ich etwas äquivalentes raus, nämlich
[mm] \summe_{m=0}^{\infty}x^{2m}/(2m)!*2^{2m-1}
[/mm]
Jetzt zur meiner Verwirrung!
Die Differenz zu [mm] cosh(x)^2 [/mm] und meiner Potenzreihe über das Cauchyprodukt beträgt immer genau
0.5
Also wenn ich
[mm] \summe_{m=0}^{\infty}x^{2m}/(2m)!*2^{2m-1} [/mm] + 0.5
habe, dann wäre es korrekt.
Wo liegt denn jetzt mein Fehler, oder muss ich da ne Verschiebung beachten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße,
Alex.
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Hi,
soweit ich bei deinen Aufzeichnungen durchblicke, musst du doch erst mal das Cauchyprodukt von [mm] $\sinh^2 [/mm] x$ berechnen, damit wir nach Fehlern suchen können!
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 03.01.2010 | | Autor: | Alex162 |
Das Cauchyprodukt von
[mm] (sinh(x))^2 [/mm] = [mm] \summe_{m=0}^{\infty}x^{2m+2}*2^{2m+1}/(2m+2)!
[/mm]
Der Ansatz war der Gleiche und überprüft hab ich es bereits auch schon.
Da war kein Fehler drin, drum war ich verwirrt, dass beim selben Ansatz von [mm] cosh(x)^2 [/mm] eine Abweichung aufgetreten ist.
Muss man da diese "Fehlerabweichung" einfach dazuaddieren und gut ist?
Grüße
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Hallo Alex,
> Das Cauchyprodukt von
>
> [mm](sinh(x))^2[/mm] =
> [mm]\summe_{m=0}^{\infty}x^{2m+2}*2^{2m+1}/(2m+2)![/mm]
>
> Der Ansatz war der Gleiche und überprüft hab ich es
> bereits auch schon.
>
> Da war kein Fehler drin, drum war ich verwirrt, dass beim
> selben Ansatz von [mm]cosh(x)^2[/mm] eine Abweichung aufgetreten
> ist.
>
> Muss man da diese "Fehlerabweichung" einfach dazuaddieren
> und gut ist?
Um Himmels willen 
Gerade in Mathematik macht man es doch nicht einfach "passend", indem man mogelt!
Ich kann mir gerade auch nicht erklären, warum der Fehler auftritt (du hast das geprüft?).
Grüße,
Stefan
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Hallo Alex,
ich nochmal.
In deinen Umformungen für die [mm] cosh^{2}(x)-Reihe [/mm] verwendest du die Beziehung
[mm] \sum_{k=0}^{m}\vektor{2m\\2k} [/mm] = [mm] 2^{2m-1},
[/mm]
wenn ich mich nicht irre. Diese Beziehung gilt aber erst ab m = 1, wie du leicht nachrechnen kannst. Für m = 0 muss nämlich [mm] \vektor{0\\0} [/mm] = 1 sein, aber deine Formel liefert [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 03.01.2010 | | Autor: | Alex162 |
Du hast Recht, stimmt ^^.
Da es keine andere Umformungsmöglichkeit gibt, außer die Form von 2^(2m-1),
kann man denn dann einfach den Index ab 1 starten lassen und den Summanden für k=0 rausziehen, damit die Formel wieder stimmt?
So dürfte es sogar mathematisch korrekt sein "einfach" die 0.5 wieder dazuzumogeln ^^.
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Hallo Alex,
> Du hast Recht, stimmt ^^.
>
> Da es keine andere Umformungsmöglichkeit gibt, außer die
> Form von 2^(2m-1),
> kann man denn dann einfach den Index ab 1 starten lassen
> und den Summanden für k=0 rausziehen, damit die Formel
> wieder stimmt?
>
> So dürfte es sogar mathematisch korrekt sein "einfach" die
> 0.5 wieder dazuzumogeln ^^.
Genau so musst du's machen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße,
Stefan
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