Identitätsatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 21.05.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Gibt es eine holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to\IC[/mm] mit [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]? |
Lösung:
Die Menge [mm]\{z\in \IC|f(z)=\frac{1}{2-z}\} [/mm] hat wegen [mm] \{\frac{1}{n}\in \IC| n\in \IN\} \subset \{z\in \IC| f(z)=\frac{1}{2-z}\} [/mm] einen Häufungspunkt in [mm] \IC, [/mm] nämlich 0. Nach dem Identitätsatz ist dann [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm] für alle [mm]n\in \IN [/mm].
Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, da ja [mm] z \mapsto \frac{1}{2-z}[/mm] nur in [mm] \IC\backslash\{2\} [/mm] definiert ist.
Vielen Dank!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Mo 21.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Nach dem
> Identitätsatz ist dann [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm]
> für alle [mm]n\in \IN [/mm].
Soso. Vielleicht ist es blos die Vorraussetzung ...
> Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, da ja [mm]z \mapsto \frac{1}{2-z}[/mm]
> nur in [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm] definiert ist.
Und was sagt die der Identitätssatz denn genau?
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:04 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gibt es eine holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to\IC[/mm] mit
> [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]?
>
> Lösung:
>
> Die Menge [mm]\{z\in \IC|f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm] hat wegen
> [mm]\{\frac{1}{n}\in \IC| n\in \IN\} \subset \{z\in \IC| f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm]
> einen Häufungspunkt in [mm]\IC,[/mm] nämlich 0.
> Nach dem
> Identitätsatz ist dann [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm]
> für alle [mm]n\in \IN [/mm].
Hä ? Das ist doch eine Eigenschaft, die f nach Vor. hat !
>
> Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, da ja [mm]z \mapsto \frac{1}{2-z}[/mm]
> nur in [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm] definiert ist.
Deine Idee ist gut. Setze [mm] g(z):=f(z)-\frac{1}{2-z} [/mm] für z [mm] \in \IC\backslash\{2\}
[/mm]
Wenn f holomorph auf [mm] \IC [/mm] ist, so ist g holomorph auf [mm] \IC\backslash\{2\}
[/mm]
Weiter ist g(1/n)=0 für alle n. Folglich ist g=0 auf [mm] \IC\backslash\{2\}
[/mm]
(warum ? )
Also ist [mm] f(z)=\frac{1}{2-z} [/mm] für z [mm] \in \IC\backslash\{2\}
[/mm]
Das ist ein Widerspruch (zu was ?)
FRED
>
> Vielen Dank!
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Di 22.05.2012 | | Autor: | teo |
> > Gibt es eine holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to\IC[/mm] mit
> > [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]?
> >
> > Lösung:
> >
> > Die Menge [mm]\{z\in \IC|f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm] hat wegen >> [mm]\{\frac{1}{n}\in \IC| n\in \IN\} \subset \{z\in \IC| f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm]
> > einen Häufungspunkt in [mm]\IC,[/mm] nämlich 0.
>
>
> > Nach dem
> > Identitätsatz ist dann [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm]
> > für alle [mm]n\in \IN [/mm].
>
> Hä ? Das ist doch eine Eigenschaft, die f nach Vor. hat !
Ja war ich wohl gestern zu müde...
> >
> > Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, da ja [mm]z \mapsto \frac{1}{2-z}[/mm]
> > nur in [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm] definiert ist.
>
> Deine Idee ist gut. Setze [mm]g(z):=f(z)-\frac{1}{2-z}[/mm] für z
> [mm]\in \IC\backslash\{2\}[/mm]
>
> Wenn f holomorph auf [mm]\IC[/mm] ist, so ist g holomorph auf
> [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm]
>
> Weiter ist g(1/n)=0 für alle n. Folglich ist g=0 auf
> [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm]
> (warum ? )
>
> Also ist [mm]f(z)=\frac{1}{2-z}[/mm] für z [mm]\in \IC\backslash\{2\}[/mm]
>
> Das ist ein Widerspruch (zu was ?)
>
> FRED
>
>
> >
> > Vielen Dank!
> >
> > Grüße
>
Man könnte es dann doch auch so machen:
Angenommen es gibt eine holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to \IC[/mm] mit [mm]f(\frac{1}{n})=\frac{n}{2n-1}[/mm] dann gilt:
Die Menge [mm]\{z\in \IC|f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm] hat wegen [mm]\{\frac{1}{n}\in \IC| n\in \IN\} \subset \{z\in \IC| f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm] einen Häufungspunkt in [mm]\IC,[/mm] nämlich 0.
Nach dem
Identitätsatz ist dann [mm]f(z) = \frac{1}{2-z}[/mm]. Dann hat f in 2 aber eine isolierte Singulatiät, ist also nicht holomorph auf ganz [mm] \IC. [/mm] Widerspruch.
Somit gibt es keine Funktion f mit den geforderten Eigenschaften.
Danke!
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Gibt es eine holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to\IC[/mm] mit
> > > [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]?
> >
> >
> > > Lösung:
> > >
> > > Die Menge [mm]\{z\in \IC|f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm] hat wegen >>
> [mm]\{\frac{1}{n}\in \IC| n\in \IN\} \subset \{z\in \IC| f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm]
> > > einen Häufungspunkt in [mm]\IC,[/mm] nämlich 0.
> >
> >
> > > Nach dem
> > > Identitätsatz ist dann [mm]f(\frac{1}{n}) = \frac{n}{2n-1}[/mm]
> > > für alle [mm]n\in \IN [/mm].
> >
> > Hä ? Das ist doch eine Eigenschaft, die f nach Vor. hat !
>
> Ja war ich wohl gestern zu müde...
> > >
> > > Ich bin mir nicht sicher ob das stimmt, da ja [mm]z \mapsto \frac{1}{2-z}[/mm]
> > > nur in [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm] definiert ist.
> >
> > Deine Idee ist gut. Setze [mm]g(z):=f(z)-\frac{1}{2-z}[/mm] für z
> > [mm]\in \IC\backslash\{2\}[/mm]
> >
> > Wenn f holomorph auf [mm]\IC[/mm] ist, so ist g holomorph auf
> > [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm]
> >
> > Weiter ist g(1/n)=0 für alle n. Folglich ist g=0 auf
> > [mm]\IC\backslash\{2\}[/mm]
> > (warum ? )
> >
> > Also ist [mm]f(z)=\frac{1}{2-z}[/mm] für z [mm]\in \IC\backslash\{2\}[/mm]
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> >
> > Das ist ein Widerspruch (zu was ?)
> >
> > FRED
> >
> >
> > >
> > > Vielen Dank!
> > >
> > > Grüße
> >
>
> Man könnte es dann doch auch so machen:
>
> Angenommen es gibt eine holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to \IC[/mm]
> mit [mm]f(\frac{1}{n})=\frac{n}{2n-1}[/mm] dann gilt:
>
> Die Menge [mm]\{z\in \IC|f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm] hat wegen
> [mm]\{\frac{1}{n}\in \IC| n\in \IN\} \subset \{z\in \IC| f(z)=\frac{1}{2-z}\}[/mm]
> einen Häufungspunkt in [mm]\IC,[/mm] nämlich 0.
>
> Nach dem
> Identitätsatz ist dann [mm]f(z) = \frac{1}{2-z}[/mm]. Dann hat f in
> 2 aber eine isolierte Singulatiät, ist also nicht
> holomorph auf ganz [mm]\IC.[/mm] Widerspruch.
> Somit gibt es keine Funktion f mit den geforderten
> Eigenschaften.
Richtig. Noch 2 Bemerkungen:
1. Du solltest noch erwähnen, das 2 keine hebbare Singularität ist.
2. Du schreibst oben: " Man könnte es dann doch auch so machen".
Du hast es nicht anders gemacht als ich.
FRED
>
> Danke!
>
> Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Di 22.05.2012 | | Autor: | teo |
Vielen Dank!
Ich wollte nur dein "g" nicht benutzen  .
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank!
>
> Ich wollte nur dein "g" nicht benutzen .
Mir gehört das "g" nicht ! Du kannst es also ruhigen Gewissens benutzen.
FRED
>
> Viele Grüße
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