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| Aufgabe | | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion folgende Ungleichung für alle reelen Zahlen: [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})>=1+\summe_{i=1}^{n}a_{i} [/mm] für [mm] a_{i}>=-1 [/mm] und [mm] (a_{i}*a_{j}) [/mm] >0 und n=1,2,.... |
Das ist die Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme:
Der Induktionsanfang ist trivial:
n=1:
[mm] \produkt_{i=1}^{1}(1+a_{i}) [/mm] = [mm] (1+a_{1})
[/mm]
[mm] 1+\summe_{i=1}^{1}a_{i} [/mm] = [mm] (1+a_{1}).
[/mm]
Damit ist Induktionsvoraussetzung erfüllt.
Nun der Induktionsschritt:
n-->n+1:
Behauptung: [mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i})>=1+\summe_{i=1}^{n+1}a_{i}
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i})= \produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}) *(1+a_{i}).
[/mm]
Nach Induktionsvoraussetzung gilt:
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i})>=1+\summe_{i=1}^{n}a_{i}*(1+a_{i})
[/mm]
Nach Distributivgesetz gilt:
[mm] 1+a_{i}+\summe_{i=1}^{n}a_{i}+(a_{i}*\summe_{i=1}^{n}a_{i})
[/mm]
Und genau da hört es auf, weil ich nicht weiß, wie man die Summe nun weiter in Richtung Induktionsbehauptung zusammenfassen soll. Über HIlfe wäre ich dankbar. Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Achtunh, ich hatte einen Fehler, ist jetzt korigiert. Das letzte Glied vom Produkt ist natürlich [mm] (1+a_{n+1}) [/mm] nicht [mm] (1+a_{i+1}) [/mm] denn man hat ja für i=n+1 eingesetzt
Nein, es muss heißen: [mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i})= \produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}) *(1+a_{n+1})
[/mm]
Kannst du so weitermachen?
//Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 So 05.11.2006 | | Autor: | blascowitz |
Ich denke so komme ich weiter. Ich danke für die Hilfe. Noch ein schönes Wochenende.
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