Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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> Seien [mm]m,n \in\IN\sub[/mm] mit [mm]0 < m \le n[/mm] . Man zeige:
> [mm]\summe_{k=m}^{n} \bruch{1}{k(k + 1)} = \bruch{1}{m} - \bruch{1}{n + 1}[/mm]
>
> Hallo ihr Lieben
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> Weiß nicht, warum Induktionen nicht bei mir klappen und was
> ich genau falsch mache...wär schön, wenn mir jemand
> weiterhelfen könnte und mich mal auf meine Fehler
> aufmerksam macht, auch was formale Schreibweisen betrifft.
> Würd das wirklich gern verstehen
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> IA: [mm]n = m[/mm]
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> [mm]\summe_{k=m}^{m} \bruch{1}{m(m + 1)} = \bruch{1}{m} - \bruch{1}{m + 1}[/mm]
>
> ist erfüllt, da
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> [mm]\bruch{1 (m + 1) - (1m)}{m(m + 1)} = \bruch{1}{m(m + 1)}[/mm]
>
> IV (?):[mm]
\summe_{k=m}^{n} \bruch{1}{k(k + 1)} = \bruch{1}{m} - \bruch{1}{n + 1}[/mm]
Hallo,
bis hierher ist es richtig.
Du willst ja eine Induktion über n machen und die Behauptung für alle n>m zeigen.
Im Induktionsanfang, hast Du die Aussage gezeigt hat für n=m
Im Induktionsschluß mußt Du nun zeigen, daß die Aussage auch gilt, wenn Du nicht bis n summierst, sondern bis n+1.
Überall in de Behauptung ersetzt Du n durch n+1.
Dann hast Du dastehen, was Du zeigen mußt.
Starte dann mit
[mm] \summe_{k=m}^{n + 1} \bruch{1}{k(k + 1)},
[/mm]
und forme es richtig und unter Verwendung der I.V. so um, daß am Ende [mm] \bruch{1}{m} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+1) + 1} [/mm] dasteht.
Gruß v. Angela
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Hallo dorix!
Diese Behauptung kann man auch ohne vollständige Induktion beweisen, indem man für [mm] $\bruch{1}{k*(k+1)}$ [/mm] eine Partialbruchzerlegung durchführt und dadurch eine sogenannte "Teleskopsumme" erhält.
Es gilt: [mm] $\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Sa 10.11.2007 | | Autor: | dorix |
Vielen Dank für eure Hilfe..
lg dorix
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