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| Aufgabe | | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: für alle n € |N gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\le2-\bruch{1}{n} [/mm] |
Hey,
es würde mich interessieren ob meine Induktion richtig ist.
Also ich hab es so gemacht:
Induktionsanfang mit n = 1:
[mm] \summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{1^2}=1\le2-\bruch{1}{1}=1. [/mm] Richtig.
Sei also [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\le2-\bruch{1}{n} [/mm] für ein festes natürliches n.
Induktionsschluss von n auf n + 1:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k^2}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}+\bruch{1}{(n+1)^2}\le2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^2}
[/mm]
[mm] =2-\bruch{(n+1)^2}{n(n+1)^2}+\bruch{n}{n(n+1)^2}=
[/mm]
[mm] 2-\bruch{(n^2+n+1)}{n(n+1)^2}=2-\bruch{n(n+1)}{n(n+1)^2}-\bruch{1}{n(n+1)^2}=2-\bruch{1}{(n+1)}-\bruch{1}{n(n+1)^2}\le2-\bruch{1}{(n+1)}
[/mm]
Die Induktionsvoraussetzung habe ich dabei gleich beim ersten [mm] "\le" [/mm] verwendet.
Viele Grüße,
Christof
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Hallo Peter_Pan2,
> Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: für alle n €
> |N gilt: [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\le2-\bruch{1}{n}[/mm]
> Hey,
>
> es würde mich interessieren ob meine Induktion richtig
> ist.
> Also ich hab es so gemacht:
>
> Induktionsanfang mit n = 1:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{1^2}=1\le2-\bruch{1}{1}=1.[/mm]
> Richtig.
>
> Sei also [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}\le2-\bruch{1}{n}[/mm]
> für ein festes natürliches n.
>
> Induktionsschluss von n auf n + 1:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k^2}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}+\bruch{1}{(n+1)^2}\le2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^2}[/mm]
> [mm]=2-\bruch{(n+1)^2}{n(n+1)^2}+\bruch{n}{n(n+1)^2}=[/mm]
>
> [mm]2-\bruch{(n^2+n+1)}{n(n+1)^2}=2-\bruch{n(n+1)}{n(n+1)^2}-\bruch{1}{n(n+1)^2}=2-\bruch{1}{(n+1)}-\bruch{1}{n(n+1)^2}\le2-\bruch{1}{(n+1)}[/mm]
>
> Die Induktionsvoraussetzung habe ich dabei gleich beim
> ersten [mm]"\le"[/mm] verwendet.
>
Alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Viele Grüße,
>
> Christof
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Do 01.12.2011 | | Autor: | Peter_Pan2 |
Vielen Dank für die schnelle Korrektur!
hab es noch am selben abend gelesen (auch wenn ich erst jetzt schreibe^^)
grüße,
christof
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