Injektiv Surjektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Di 23.10.2007 | | Autor: | Matthi1 |
| Aufgabe | Sei M eine nichtleere Menge und f: M [mm] \to [/mm] M eine Abbildung. Zeigen oder widerlegen sie:
a) f ist injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f ist surjektiv
b) f ist surjektiv [mm]\Rightarrow [/mm] f ist injektiv
UNterscheiden sie jeweils die Fälle M ist endlich bzw M ist unendlich. |
Hallo zusammen,
zu a) hab ich mir überlegt, dass die Bildmenge wegen der Injektivität ja die gleiche Mächtigkeit besitzt wie M (gilt dies auch für unendliche Mengen???) und eigentlich daraus auch schon die Surjektivität folgt. Mach ich mir das zu einfach??
zu b) hab ich so gar keine Idee, wie ich da ansetzen könnte.
Für den ein oder anderen Tipp wär ich wirklich dankbar.
Grüße und vielen Dank
Matthi
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Matthi1!
> Sei M eine nichtleere Menge und f: M [mm]\to[/mm] M eine Abbildung.
> Zeigen oder widerlegen sie:
> a) f ist injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] f ist surjektiv
> b) f ist surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] f ist injektiv
>
> UNterscheiden sie jeweils die Fälle M ist endlich bzw M ist
> unendlich.
> Hallo zusammen,
>
> zu a) hab ich mir überlegt, dass die Bildmenge wegen der
> Injektivität ja die gleiche Mächtigkeit besitzt wie M (gilt
Wieso sollte das gelten?
> dies auch für unendliche Mengen???) und eigentlich daraus
> auch schon die Surjektivität folgt. Mach ich mir das zu
> einfach??
Naja, eher machst du dir das zu schwer.  Hilft es dir, wenn ich dir sage, dass beide Aussagen nicht gelten? Versuch doch mal ein Gegenbeispiel zu finden. Du kannst hier sogar (aus der Schule) recht bekannte einfache Funktionen nehmen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Grüße!
Also für endliche Mengen hast Du durchaus recht. Natürlich wäre ein etwas formaleres Argument nicht schlecht. Wenn Du mit Kardinalitäten argumentierst, dann hilft Dir vielleicht der folgende Sachverhalt:
Ist $M$ eine endliche Menge und $N [mm] \subseteq [/mm] M$ eine Teilmenge gleicher Kardinalität, so gilt $N = M$.
Dieser Satz ist für unendliche Mengen leider falsch, die Menge $G$ der geraden Zahlen zum Beispiel ist eine echte Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] mit der gleichen Kardinalität, denn $f: [mm] \IN \to [/mm] G$ mit $f(n) = 2 [mm] \cdot [/mm] n$ ist eine Bijektion.
Vielleicht hilft Dir dieses auch, Gegenbeispiele zu a) und b) zu basteln für den Fall, dass $M$ unendlich ist.
Alles klar? 
Lars
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