Injektiv, surjektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:02 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab versucht, die folgende Aufgabe zu lösen, aber ich komm nicht sehr weit. Ich bitte deshalb um Hilfe.
Aufgabe:
Sei K Ein Körper und sei V= [mm] K^{ \IN} [/mm] der übliche Vektorraum. Weiter sei
[mm] \gamma: \IN \to \IN [/mm] eine Abbildung.
Wir definieren h: V [mm] \to [/mm] V durch h(f) = f [mm] \circ \gamma [/mm] für f [mm] \in [/mm] V.
Man soll nun zeigen: [mm] \gamma [/mm] ist genau dann injektiv, wenn h surjektiv ist.
Ich hab erstmal die eine Richtung gezeigt:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei [mm] \gamma [/mm] injektiv. Z.Z.: h ist surjektiv
ich hab eine Annahme gemacht, dass h nicht surjektiv ist, also [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] V [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V : h(x) [mm] \not= [/mm] y. Also y [mm] \not\in [/mm] im h
Da [mm] \gamma [/mm] injektiv ist, gilt [mm] \gamma(x) [/mm] = [mm] \gamma(y)
[/mm]
f [mm] \circ \gamma(x) [/mm] = f [mm] \circ \gamma(y)
[/mm]
h(f)(x) = h(f)(y)
Jetzt komm ich nicht mehr weiter. Ich hoffe deshalb, dass mir jemand weiter hilft.
Danke Moe007
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Fr 01.04.2005 | | Autor: | choosy |
ich glaube du musst dir die definition von [mm] $\gamma$ [/mm] nochmal angucken,
so ist h nicht wohldefiniert...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
ich weiß dass [mm] \gamma [/mm] injektiv ist. d.h. doch dass wenn die Funktionswerte gleich sind, daraus die Gleichheit der Argumente folgt, also hier x=y.
aber ich komm dann bei dem beweis trotzdem nicht weiter. Ich soll ja zeigen, dass h surjektiv ist. Kann ich sagen, dass für ein z [mm] \in [/mm] im (h) h(f(x)) = z ist und daraus die Surjektivität folgt?
Danke Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Fr 01.04.2005 | | Autor: | mjp |
Hallo.
> ich weiß dass [mm]\gamma[/mm] injektiv ist. d.h. doch dass wenn die
> Funktionswerte gleich sind, daraus die Gleichheit der
> Argumente folgt, also hier x=y.
Ja, das heisst es.
Anders herum: Aus [mm]x \not= y[/mm] folgt [mm]f(x) \not= f(y)[/mm]
Aber schau Dir auch mal an, was das fuer eine Abbildung ist.
Welches Bild hat denn eine injektive Abbildung von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN[/mm]?
> aber ich komm dann bei dem beweis trotzdem nicht weiter.
> Ich soll ja zeigen, dass h surjektiv ist. Kann ich sagen,
> dass für ein z [mm]\in[/mm] im (h) h(f(x)) = z ist und daraus die
> Surjektivität folgt?
[mm]h: V \to V : h(f) = f \circ \gamma[/mm]
Das f ist ja eine Abbildung.
Damit [mm]f \circ \gamma[/mm] ueberhaupt definiert ist,
muss der Wertebereich von [mm]\gamma[/mm] gleich dem Definitionsbereich
von f sein.
Wenn Du Dir das ueberlegst, duerfte es eigentlich nicht
mehr schwierig sein.
Gruss,
Monika.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab das mal selbst versucht
" [mm] \Rightarrow" [/mm] : Sei [mm] \gamma [/mm] injektiv. Also [mm] \gamma(x) [/mm] = [mm] \gamma(y) \Rightarrow [/mm] x=y und sei z=f [mm] \circ \gamma(y) \in [/mm] V
dann ist: h(f)(x) = f [mm] \circ \gamma(x) [/mm] = [mm] f(\gamma(x)) [/mm] = [mm] f(\gamma(y)) [/mm] (weil x= y gilt) = f [mm] \circ \gamma(y) [/mm] = z Also ist h surjektiv
Stimmt das??? Ich hoffe, jemand kann mir auch bei der anderen Richtung helfen.
Danke für die Hilfe. Moe007
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
hab auch die andere Richtung versucht zu zeigen.
" [mm] \Leftarrow": [/mm] Sei h surjektiv, d.h. für jedes z [mm] \in [/mm] V existiert ein Urelement.
Dann kann ich doch h(f)(x) = y und h(f)(y)= x wählen für ein y, x [mm] \in [/mm] V oder??
Dann ist: Gelte [mm] \gamma(x) [/mm] = [mm] \gamma(y)
[/mm]
f [mm] \circ \gamma(x) [/mm] = f [mm] \circ \gamma(y)
[/mm]
h(f)(x) = h(f)(y)
und nach Wahl folgt nun x=y. Also ist [mm] \gamma [/mm] injektiv.
Stimmt mein Beweis? Wenn nicht, bitte ich um Korrektur.
Danke Moe007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Hexe |
du musst immer im Hinterkopf behalten, dass [mm] \gamma [/mm] eine Abbildung zwischen Elementen ist, h aber eine Abbildung zwischen Abbildungen. Will sagen das z [mm] \in [/mm] V ist eine Abbildung und das Urelement ist ein f [mm] \in [/mm] V. Deshalb funktioniert deine Annamhe leider nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Hexe |
Hi also sorry aber bei mir heisst surjektivität in dem Fall: Für jedes g [mm] \in [/mm] V existiert ein f [mm] \in [/mm] V mit h(f)=g. also mit [mm] f\circ\gamma=g [/mm] also mit [mm] f(\gamma(x))=g(x) \forall [/mm] x. Und das hast du nicht gezeigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
erstmal danke, dass du mir geantwortet hast. Ich versteh aber deine Lösung nicht ganz. Du hast zwar die Definition von Surjektiv für den Beweis angewendet, aber irgendwo kam vor, dass [mm] \gamma [/mm] injektiv ist.
Es ist doch ein gdw-Beweis. Da muss ich doch davon ausgehen, dass [mm] \gamma [/mm] injektiv ist und dann daraus die Surjektivität von h zeigen. Und umgekehrt. Sind beide Richtungen von mir falsch gewesen???
Danke nochmals, Moe
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Grüße!
Ich versuche es auch einmal... tut mir leid, leider sind beide Richtung in der Tat falsch gewesen. Der Grund dafür ist, dass die Elemente total durcheinander gingen.
Also nochmal... [mm] $\gamma$ [/mm] ist eine Abbildung von [mm] $\IN$ [/mm] nach [mm] $\IN$. [/mm] Und die Elemente des Vektorraumes $V = [mm] K^\IN$ [/mm] sind Abbildungen von [mm] $\IN$ [/mm] nach $K$.
Das $h$ ist eine Abbildung von $V$ nach $V$ und so definiert: $h(f) = f [mm] \circ \gamma$. [/mm] Das ist in jedem Fall wohldefiniert.
Mach Dir klar, dass das [mm] $\gamma$ [/mm] als Argument nur natürliche Zahlen akzeptiert, wohingegen das $h$ auf Abbildungen wirkt! Das heißt, dass man [mm] $\gamma$ [/mm] keinesfalls auf die gleichen Elemente anwenden kann wie $h$!
Zur Aufgabe... nehmen wir also an, dass [mm] $\gamma$ [/mm] injektiv ist. Wie richtig bemerkt bedeutet dies, dass aus [mm] $\gamma(n) [/mm] = [mm] \gamma(m)$ [/mm] schon $m = n$ folgt. Hierbei sind $m$ und $n$ natürliche Zahlen!
Anders gesagt: wenn ich mir ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] vorgebe, dann muß es zwar kein Urbild unter [mm] $\gamma$ [/mm] geben, aber wenn es eines gibt, dann ist es eindeutig bestimmt.
Jetzt muß ich zeigen, dass $h$ surjektiv ist. Ich zeige das direkt: zu gegebenem $g [mm] \in [/mm] V$ konstuiere ich mir ein $f [mm] \in [/mm] V$ mit $h(f) = g$. $f$ und $g$ liegen hier in $V$, sind also Abbildungen von [mm] $\IN$ [/mm] nach $K$!!!
Also, das $g [mm] \in [/mm] V$ ist vorgegeben. Jetzt will ich mein $f$ konstruieren. Zu einer natürlichen Zahl $n [mm] \in \IN$ [/mm] definiere ich
$f(n) = [mm] \left\{ \begin{array}{ll} g(n') & \mbox{ falls} \gamma(n') = n \\ 0 & \mbox{ falls} \gamma(m) \not= n \; \forall \; m \in \IN \end{array}\right.$
[/mm]
Das ist jetzt nicht so leicht zu verstehen... zu gegebenem $n$ prüfe ich, ob das ein Urbild unter [mm] $\gamma$ [/mm] hat. Wenn ja, dann ordne ich $f$ das Bild dieses Urbildes unter $g$ zu. Andernfalls setze ich $f$ gleich 0.
Leistet mein $f$ das Gewünschte? Es muß gelten $h(f) = g$ oder anders: $f [mm] \circ \gamma [/mm] = g$.
Zu $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt aber: $f [mm] \circ \gamma(n) [/mm] = [mm] f(\gamma(n)) [/mm] = g(n)$.
Denn die Definition von $f$ ist so gemacht, dass sie auf Elementen im Bild von [mm] $\gamma$ [/mm] das Gewünschte leistet. Also ist $h$ surjektiv.
Bedenke: die Injektivität von [mm] $\gamma$ [/mm] braucht man für die Wohldefiniertheit von $f$! Wenn es mehrere Urbilder gäbe, wüßte man nicht, welches man zuordnen soll.
Es fehlt nun noch die Rückrichtung... aus der Surjektivität von $h$ soll die Injektivität on [mm] $\gamma$ [/mm] gefolgert werden. Versuch das mal selbst, das geht so ähnlich.
Nochmal etwas zur Anschauung: die Elemente des Vektorraumes sind Abbildungen von [mm] $\IN$ [/mm] nach $K$ und das [mm] $\gamma$ [/mm] ist eine Art "Verschiebung" im Definitionsbereich (man sagt manchmal auch eine Transformation). Und das $h$ wandelt Abbildungen von [mm] $\IN$ [/mm] nach $K$ (also Elemente unseres Vektorraumes) so ab, dass zunächst die Transformation des Definitionsbereiches ausgeführt wird, ehe die Abbildung greift.
Alles klar? Falls die Rückrichtung nciht klappt, poste hier nochmal Deinen Ansatz.
Lars
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