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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 So 26.02.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Es sei $f: [mm] A\to [/mm] B$ eine Abbildung und [mm] $E\subseteq [/mm] A$.
Zeigen Sie:
[mm] $E=f^{-1}(f(E))\Leftrightarrow f~\text{injektiv}$ [/mm] |
Hallo und erstmal einen schönen Sonntag!
Hier ist mein Beweis; ich wüsste sehr gerne, ob er in Ordnung ist oder an welchen Stellen er krankt.
Beweis:
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Sei $f$ injektiv.
Zeige beide Inklusionen.
[mm] "$\subseteq$":
[/mm]
Sei [mm] $x\in [/mm] E$. Da [mm] $f^{-1}(f(E))=\left\{a\in A~|~f(a)\in f(E)\right\}$ [/mm] gilt trivialerweise, daß $x$ Element dieser Menge ist.
[mm] "$\supseteq$":
[/mm]
Sei [mm] $x\in f^{-1}(f(E))=\left\{a\in A~|~f(a)\in f(E)\right\}$, [/mm] das heißt es gilt [mm] $f(x)\in [/mm] f(E)$. Das wiederum bedeutet, daß ein [mm] $\tilde x\in [/mm] E$ existiert, sodaß [mm] $f(x)=f(\tilde [/mm] x)$. Da $f$ nach Voraussetzung injektiv ist, gilt [mm] $x=\tilde x\in [/mm] E$.
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
(Hier tue ich mich schon schwerer.)
Es gelte also [mm] $E=\left\{a\in A~|~f(a)\in f(E)\right\}$. [/mm] Zu zeigen ist, daß $f$ injektiv ist. Seien dazu [mm] $x,x'\in [/mm] A$ und es gelte $f(x)=f(x')$.
Da [mm] $A\subseteq [/mm] A$ und [mm] $x,x'\in [/mm] A$, gilt [mm] $f(x)\in [/mm] f(A)$ und ebenso [mm] $f(x')\in [/mm] f(A)$. Das bedeutet, es gibt ein [mm] $y\in [/mm] A: f(x)=f(y)$ und es gibt ein [mm] $y'\in [/mm] A: f(x')=f(y')$. Da $f(x)=f(x')$ gilt $f(y)=f(y')$.
Wenn $f$ nicht injektiv wäre, so wäre [mm] $y\neq [/mm] y'$.
Aber man kann doch durchaus $y=y'$ wählen.
Ich würde mich über eine Reaktion sehr freuen, insbesondere was den Beweis der Hin-Richtung angeht, bei dem ich mir doch recht unsicher bin.
Liebe Grüße
mikexx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 So 26.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]f: A\to B[/mm] eine Abbildung und [mm]E\subseteq A[/mm].
>
> Zeigen Sie:
>
> [mm]E=f^{-1}(f(E))\Leftrightarrow f~\text{injektiv}[/mm]
ich denke es sollte so lauten:
[mm]E=f^{-1}(f(E)) [/mm] für jede Teilmenge E von A [mm] \Leftrightarrow[/mm] [mm]f~\text{injektiv}[/mm]
>
> Hallo und erstmal einen schönen Sonntag!
> Hier ist mein Beweis; ich wüsste sehr gerne, ob er in
> Ordnung ist oder an welchen Stellen er krankt.
>
> Beweis:
> "[mm]\Leftarrow[/mm]":
>
> Sei [mm]f[/mm] injektiv.
> Zeige beide Inklusionen.
>
> "[mm]\subseteq[/mm]":
>
> Sei [mm]x\in E[/mm]. Da [mm]f^{-1}(f(E))=\left\{a\in A~|~f(a)\in f(E)\right\}[/mm]
> gilt trivialerweise, daß [mm]x[/mm] Element dieser Menge ist.
>
> "[mm]\supseteq[/mm]":
>
> Sei [mm]x\in f^{-1}(f(E))=\left\{a\in A~|~f(a)\in f(E)\right\}[/mm],
> das heißt es gilt [mm]f(x)\in f(E)[/mm]. Das wiederum bedeutet,
> daß ein [mm]\tilde x\in E[/mm] existiert, sodaß [mm]f(x)=f(\tilde x)[/mm].
> Da [mm]f[/mm] nach Voraussetzung injektiv ist, gilt [mm]x=\tilde x\in E[/mm].
O.K.
>
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]":
>
> (Hier tue ich mich schon schwerer.)
>
> Es gelte also [mm]E=\left\{a\in A~|~f(a)\in f(E)\right\}[/mm].
...und zwar für jedes Teilmenge E von A.
> Zu
> zeigen ist, daß [mm]f[/mm] injektiv ist. Seien dazu [mm]x,x'\in A[/mm] und
> es gelte [mm]f(x)=f(x')[/mm].
Wähle [mm] E:=\{x'\} [/mm] und vergiss, was Du da unten getrieben hast.
FRED
> Da [mm]A\subseteq A[/mm] und [mm]x,x'\in A[/mm], gilt [mm]f(x)\in f(A)[/mm] und ebenso
> [mm]f(x')\in f(A)[/mm]. Das bedeutet, es gibt ein [mm]y\in A: f(x)=f(y)[/mm]
> und es gibt ein [mm]y'\in A: f(x')=f(y')[/mm]. Da [mm]f(x)=f(x')[/mm] gilt
> [mm]f(y)=f(y')[/mm].
>
> Wenn [mm]f[/mm] nicht injektiv wäre, so wäre [mm]y\neq y'[/mm].
> Aber man
> kann doch durchaus [mm]y=y'[/mm] wählen.
>
>
>
> Ich würde mich über eine Reaktion sehr freuen,
> insbesondere was den Beweis der Hin-Richtung angeht, bei
> dem ich mir doch recht unsicher bin.
>
>
> Liebe Grüße
>
> mikexx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 So 26.02.2012 | | Autor: | mikexx |
Danke!
Kann man es auch als Widerspruchsberweis formulieren?
Angenommen, f sei nicht injektiv, dann gibt es [mm] $a,b\in [/mm] A: f(a)=f(b), [mm] a\neq [/mm] b$.
Da nach Voraussetzung für ALLE [mm] $E\subseteq [/mm] A$ gilt, daß [mm] $E=\left\{a\in A~|~f(a)\in f(E)\right\}$ [/mm] gilt dies auch für [mm] $E:=\left\{b\right\}$. [/mm] Dann gilt [mm] $f(b)\in [/mm] f(E)$, das heißt es ex. ein [mm] $a\in [/mm] E: f(a)=f(b)$. Da E aber nur ein Element umfasst, gilt a=b.
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 So 26.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke!
>
> Kann man es auch als Widerspruchsberweis formulieren?
nein, auf gar keinen Fall - das ist doch verboten!! Ne, Scherz beiseite: Natürlich geht das!
> Angenommen, f sei nicht injektiv, dann gibt es [mm]a,b\in A: f(a)=f(b), a\neq b[/mm].
>
> Da nach Voraussetzung für ALLE [mm]E\subseteq A[/mm] gilt, daß
> [mm]E=\left\{a\in A~|~f(a)\in f(E)\right\}[/mm]
Was?? Schau' mal, was Du da geschrieben hast!
> gilt dies auch für
> [mm]E:=\left\{b\right\}[/mm]. Dann gilt [mm]f(b)\in f(E)[/mm], das heißt es
> ex. ein [mm]a\in E: f(a)=f(b)[/mm]. Da E aber nur ein Element
> umfasst, gilt a=b.
Also mal korrigiert:
Angenommen, [mm] $f\,$ [/mm] sei nicht injektiv und es gelte [mm] $f^{-1}(f(E))=E$ [/mm] für alle $E [mm] \in \text{Pot}(A)\,.$ [/mm] Wegen der Nichtinjektivität finden wir $a [mm] \not=b$ [/mm] beide in [mm] $A\,$ [/mm] mit [mm] $f(a)=f(b)=:\gamma\,.$
[/mm]
Für
[mm] $$E_a:=\{a\}$$
[/mm]
gilt dann
[mm] $$f^{-1}(f(E_a))=\{a\}\,,$$
[/mm]
und für
[mm] $$E_b=\{b\}$$
[/mm]
gilt
[mm] $$f^{-1}(f(E_b))=\{b\}\,.$$
[/mm]
Nun ist aber [mm] $f(E_b)=f(E_a)=\{\gamma\}\,,$ [/mm] also folgt ... .
(Den Teil bekommst Du sicher noch zu Ende geschrieben, oder?)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 So 26.02.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich würde sagen, daß daraus folgt:
[mm] $f^{-1}(f(E_b))=\left\{a\right\}=\left\{b\right\}=f^{-1}(f(E_a))=f^{-1}(\left\{\gamma\right\})=\left\{x\in A: f(x)=\gamma\right\}=\left\{a,b\right\}$
[/mm]
Also [mm] $\left\{a\right\}=\left\{b\right\}=\left\{a,b\right\}$ [/mm] und das geht doch nur, wenn $a=b$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Mo 27.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich würde sagen, daß daraus folgt:
>
> [mm]f^{-1}(f(E_b))=\left\{a\right\}=\left\{b\right\}=f^{-1}(f(E_a))=f^{-1}(\left\{\gamma\right\})=\left\{x\in A: f(x)=\gamma\right\}=\left\{a,b\right\}[/mm]
>
> Also [mm]\left\{a\right\}=\left\{b\right\}=\left\{a,b\right\}[/mm]
> und das geht doch nur, wenn [mm]a=b[/mm].
richtig - wobei mir schon gereicht hätte, wenn Du
[mm] $$$\{a\}=\{b\}$
[/mm]
gefolgert hättest 
Und in der Tat gilt [mm] $\{a\}=\{b\}$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $a=b\,.$ [/mm] (Dabei ist nur die Beweisrichtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nicht ganz trivial: Aber auch das geht schnell: Aus $x [mm] \in \{a\}$ [/mm] folgt [mm] $x=a\,$ [/mm] und wegen [mm] $\{a\} \subseteq \{b\}$ [/mm] dann auch $a=x [mm] \in \{b\}$ [/mm] und damit [mm] $x=b\,.$ [/mm] Aus [mm] $x=a\,$ [/mm] und [mm] $x=b\,$ [/mm] sodann [mm] $a=b\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mo 27.02.2012 | | Autor: | mikexx |
Vielen Dank für Deine Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Mo 27.02.2012 | | Autor: | huzein |
Ich denke das kannst du auch direkt zeigen indem du einfach folgendes tust:
Du nimmst dir, wie du bereits getan hast, x und x' aus A mit der Eigenschaft f(x)=f(x'). Da [mm] \forall E\subseteq [/mm] A gilt [mm] E=f^{-1}(f(E)) [/mm] gilt also auch [mm] A=f^{-1}(f(A)). [/mm] Damit gilt also [mm] x,x'\in f^{-1}(f(A)) [/mm] und daher gibt es [mm] y,y'\in [/mm] f(A) mit y=f(x) und y'=f(x'). Wenn du jetzt [mm] f^{-1} [/mm] auf y'=y anwendest erhälst du gerade x=x'.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:19 Mo 27.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich denke das kannst du auch direkt zeigen indem du einfach
> folgendes tust:
> Du nimmst dir, wie du bereits getan hast, x und x' aus A
> mit der Eigenschaft f(x)=f(x'). Da [mm]\forall E\subseteq[/mm] A
> gilt [mm]E=f^{-1}(f(E))[/mm] gilt also auch [mm]A=f^{-1}(f(A)).[/mm] Damit
> gilt also [mm]x,x'\in f^{-1}(f(A))[/mm] und daher gibt es [mm]y,y'\in[/mm]
> f(A) mit y=f(x) und y'=f(x').
das ist alless korrekt, aber irgendwie doch ziemlich langweilig. Was bringt diese Erkenntnis?
Es gilt für jede Funktion $f: X [mm] \to Y\,,$ [/mm] dass [mm] $X=f^{-1}(f(X))\,.$ [/mm] Denn:
[mm] $$f^{-1}(f(X))=\{x \in X: f(x) \in f(X)\} \subseteq [/mm] X$$
und $f(x) [mm] \in [/mm] f(X)$ gilt für alle $x [mm] \in X\,,$ [/mm] so dass
[mm] $$f^{-1}(f(X))=X$$
[/mm]
folgt!
> Wenn du jetzt [mm]f^{-1}[/mm] auf
> y'=y anwendest erhälst du gerade x=x'.
Siehste: Und da sind wir wieder bei jemanden, der nicht beachtet, dass [mm] $f^{-1}$ [/mm] nicht die Umkehrfunktion, sondern eben das Urbild ist. Und dass
[mm] $$f^{-1}(\{y\})=f^{-1}(\{y'\})$$
[/mm]
für $y=y'$ gilt, ist trivial. Dass $x=x'$ folgt, gilt nur, wenn [mm] $f\,$ [/mm] injektiv ist!
Damit Du siehst, dass Dein Gedankengang so nicht gehen kann! (Oder Du hast etwas unterschlagen - vor allem, welche Beweisrichtung Du führen willst? Schließlich steht da eine [mm] $\gdw$-Aussage!):
[/mm]
Führe Deine Überlegungen mal an
$$f(x)=|x|$$
als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] aus!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Mo 27.02.2012 | | Autor: | huzein |
jep hast recht, da war ich etwas zu voreilig (ist aber auch schon spät :p ).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:01 Mo 27.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> jep hast recht, da war ich etwas zu voreilig (ist aber auch
> schon spät :p ).
war kein Vorwurf, kann passieren ^^
Aber ein Frage, die Du Dir hättest stellen können:
Wofür braucht man [mm] $f^{-1}(f(E))=E$ [/mm] für alle $E [mm] \in \text{Pot}(A)\,,$ [/mm] wenn doch schon [mm] $f^{-1}(f(A))=A$ [/mm] reichen würde?
Also: Selten ist es so, dass man bei einer solchen Aufgabe mal "ganz schnell" die Voraussetzungen deutlich abschwächen kann, um dennoch "die gleiche Folgerung" zu beweisen! Wenn man zu wenig aus den gegebenen Voraussetzungen benutzt, ist das meist (nicht immer!) ein Hinweis darauf, dass man etwas vergessen/übersehen hat. Vielleicht hilft Dir diese Erkenntnis ja auch in Zukunft bei anderen Aufgaben - es ist jedenfalls gut, wenn man sie mal gemacht/gehört hat
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Mo 27.02.2012 | | Autor: | huzein |
Ja stimmt, hätte mir an der Stelle, an der ich die Voraussetzung abschwäche, auffallen müssen. Danke fürs deutlich machen der Schwachstelle.
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