Injektivität/ Surjektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
die Aufgabe ist , die Funktion f(x)= [mm] 3*x^2 [/mm] - 2*x +5 für x, y Element der natürlichen Zahlen
auf Injektivität und Surjektivität zu überprüfen. Darf man, um Injektivität zu überprüfung, dies anhand des Graphen erklären? (In diesem Falle müsste die Funktion aufgrund des Definitionsbereiches (natürliche Zahlen)injektiv sein). Surjektivität trifft - wie man anhand des Graphens sehen kann- nicht zu, da kein Schnittpunkt mit der x-Achse vorliegt (und somit die y-Werte von 0-5 kein x-Wert zugeordnet werden kann.)
Habe mir auch überlegt, Injektivität mit Extrempunkten begründen zu können, weiß aber nicht genau wie. Liegen nämlich bspw. mehr als ein Extrempunkt vor, so gibt es für unterschiedliche x- Werte (x1, x2, wobei x1 ungleich x2) denselben y-Wert (also keine Injektivität).
Vielen Dank
Nescio
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Hallo Nescio,
Die Funktion ist auf den natürlichen Zahlen tatsächlich injektiv. Denn:
Seien $x,y [mm] \in \IN$, [/mm] $x [mm] \not= [/mm] y$ Es soll:
f(x)=f(y) <=>
f(x)-f(y)=0 <=>
[mm] $3(x^2-y^2)-2(x-y)=0$ [/mm] <=>
3(x+y)(x-y)-2(x-y)=0 <=>
3(x+y)=2
Es müsste das dreifache einer natürlichen Zahl gleich 2 sein. Das kann nicht sein. Daher ist die Funktion injektiv.
Zur Surjektivität: Es ist anschaulich klar, dass die Funktion nicht surjektiv ist. Um das nicht nur durch eine Zeichung, sondern auch formal zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass etwa die Gleichung
f(x)=0
keine Lösung in den natürlichen Zahlen hat.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Holy Diver,
danke für den schnellen Tipp. Die Surjektivität habe ich auch so bewiesen. Mir ist bei der Injektivität aber noch nicht klar, warum x ungleich y sein muss. f(X)= x ist doch auch injektiv, weil jedem x genau ein y- Wert zugeordnet wird. Gleichzeitig ist aber auch x=y.
Eine Frage zur Surjektivität habe ich doch noch: Wie weist man generell Surjektivität nach? Man hat ja nicht immer von jeder Abbildung eine Zeichnung.
Liebe Grüße und vielen lieben Dank schon einmal;)
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> Hallo Holy Diver,
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> danke für den schnellen Tipp. Die Surjektivität habe ich
> auch so bewiesen. Mir ist bei der Injektivität aber noch
> nicht klar, warum x ungleich y sein muss. f(X)= x ist doch
> auch injektiv, weil jedem x genau ein y- Wert zugeordnet
> wird. Gleichzeitig ist aber auch x=y.
Hallo,
injektiv sagt doch, daß zu zwei verschiedenen Werten auch zwei verschiedene Funktionswerte gehören.
Oder anders ausgedrückt: wenn die Funktionswerte zweier Werte gleich sind, sind die Werte zwangsläufig gleich, wenn man eine Injektion hat.
Dieser Sachverhalt verbirgt sich hinter f(x)=f(y) ==> x=y
Schauen wir uns nun g(x)=x an, die Funktion, die Dich verwirrt.
Ist g(a)=g(b) so folgt a=b. Funktionswerte gleich ==> Werte gleich, alles in Butter, injektiv. Ist klar, oder?
>
> Eine Frage zur Surjektivität habe ich doch noch: Wie weist
> man generell Surjektivität nach? Man hat ja nicht immer von
> jeder Abbildung eine Zeichnung.
Wenn man irgendeine Möglichkeit hat, sich die Funktion vorzustellen, sollte man davon Gebrauch machen, also eine kleine Skizze. Denn wenn man schon sieht, daß sie nicht surjektiv ist, braucht man ja nur ein Gegenbeispiel anzugeben, und das findet man mit Bild vor Augen meist schneller.
Aber manches kann man schlecht skizzieren oder was auch immer.
Hier muß man scharf draufgucken, und überlegen, wie man zu y aus dem Wertebereich ein passendes x (in Abhängigkeit von y) basteln kann so daß das Bild von x y ergibt. (Stift und Schmierpapier schaden meist nicht, es läuft ja auf "umkehren" hinaus.)
Oder eben scharf draufgucken und feststellen, daß man einen Wert findet, den man mit der Funktion nicht erwischt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Angela,
danke für deine Antwort:). Es sicherlich einfacher zu beweisen, dass eine Abbildung nicht surjektiv ist. Mit der Skizze findet man "leicht" die "Schwachstelle". Wie beweise ich aber, dass die Abbildung surjektiv IST? z.B. für f(x)= [mm] x+(-1)^x?. \IN [/mm] bildet auf [mm] \IN [/mm] ab. Zeichnerisch ist eindeutig, dass die Abbildung surjektiv ist. Wie kann ich es rechnerisch zeigen? Das war mein Problem. Ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen,
vielen lieben Dank schon einmal;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nescio!
Hier ist [mm] $\IN$ [/mm] offenbar inklusive der $0$.
Ist $y$ gerade, so gilt mit $x:=y+1$:
$f(x) = f(y+1) = y+1 + [mm] (-1)^{y+1} [/mm] = y+1-1=y$.
Ist $y$ ungerade, so gilt mit $x:=y-1$:
$f(x) = f(y-1) = [mm] y-1+(-1)^{y-1} [/mm] = y-1+1=y$.
Daher ist $f$ surjektiv.
Liebe Grüße
Stefan
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