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| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{e^{4z}}{e^{2z}+1} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{e^{2}}{\bruch{(ln(w))^{2}}{w} dx} [/mm] |
Könnte mir jemand sagen wie ich bei diesen Aufgaben ansetze ??
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Hallo,
mal an Aufgabe b) eine schöne Substitution:
Wähle [mm] w=e^x
[/mm]
Das ist naheliegend, weil das gerade die Umkehrfunktion von Logarithmus ist. Du wirst sehen, dass sich das Integral quasi in wohlgefallen auflöst.
Für Aufgabe a)
Hast du denn schon einmal an eine geeignete Substitution nachgedacht? Irgendwelche Ideen, was passen würde?
Bei der Integration verrennt man sich oft einmal, aber nur dadurch lernt man. Irgendwann sieht man dann, was klappen könnte und was nicht.
P.S. Die Integrationsvariablen stimmen nicht. So sollte es sicherlich nicht heißen - andernfalls wäre die Aufgabe trivial...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:24 Do 10.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Bist du sicher, dass du in beiden Fällen über x integrieren sollst?
Dann wären die Integranden als Skalare zu betrachten!
Sollte es aber zB
$ [mm] \integral_{1}^{e^{2}}{\bruch{(ln(w))^{2}}{w} d\red{w}} [/mm] $
lauten, hängts davon ab, ob ihr ein paar Regeln für spezielle Substitutionen in eurem Werkzeugkoffer habt oder nicht.
Sehr nützlich sind etwa
[mm] $\integral{f(a*x+b)dx}=\frac{1}{a}*F(a*x+b)+C$
[/mm]
[mm] $\integral{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=ln(F(x))+C$
[/mm]
[mm] $\integral{f(g(x))*g'(x)dx}=F(g(x))+C$
[/mm]
[mm] ($\;F(x)$ [/mm] soll dabei die Stammfunktion von [mm] $\;f(x)$ [/mm] bezeichnen)
Die Kenntnis dieser Regeln erspart in vielen Fällen das explizite Anschreiben einer Standardsubstitution.
Die ersten beiden Regeln sind im Grunde Spezialfälle der dritten.
Die dritte Regel ist im Wesentlichen die Kettenregel des Differenzierens in reverse und für dein obiges Beispiel bestens anwendbar.
Du hast ein [mm] $\;ln(w)$ [/mm] in eine Potenzfunktion [mm] $\;(..)^2$ [/mm] und die Ableitung der inneren Funktion steht quasi "daneben" [mm] $\left(\frac{1}{w}\right)$.
[/mm]
Daher musst du dich beim Integrieren nur um die äußere Funktion kümmern, also nur [mm] $\;(..)^2$ [/mm] integrieren:
$ [mm] \integral{(ln(w))^{2}*\bruch{1}{w} dw}=\bruch{1}{3}*(ln(w))^{3}\green{+C} [/mm] $
Das Einsetzen der Grenzen sollte dann kein Problem mehr darstellen.
Wenn du die Regel nicht anwenden kannst/willst/darfst, so führt die Substitution $u=ln(w)$ zum gleichen Ergebnis. Hier würde ich dann die Grenzen mittransformieren und gleich die transformierten Grenzen in die Lösung in u einsetzen.
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