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| Aufgabe | Berechne das folgende Integral:
[mm] \integral_{1/2}^{3/4}{\bruch{1}{x*\wurzel[]{1-x^2}} dx} [/mm] |
hallo!
ich habe hier leider keine ahnung. ich hatte erst an irgendwas mit arcsin gedacht, hat aber nicht funktioniert. dann habe ich x=sinx , hat aber auchnet geklappt. hat hier vielleicht jemand einen tipp bzw. lösung? vielen dank im vorraus....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 So 13.05.2007 | | Autor: | EasyLee |
Salve!
Da ich mir nicht sicher bin, hier nur eine Mitteilung zur Aufgabe.
Ich denke, man löst diese durch Substitution. Aber ob es so
formal richtig ist weiß ich nicht. Ich ersetze einfach die variable x
durch [mm] \bruch{1}{x\wurzel{1+u^2}}. [/mm] Also so in etwa:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{dx}{x\wurzel{1+x^2}}}=-\integral_{a}^{b}{\bruch{u}{(u^2+1)\wurzel{1-\bruch{1}{u^2\wurzel{1+u^2}}}}} [/mm] du = [mm] -\integral_{a}^{b}{\bruch{u}{\wurzel{\bruch{u^2}{u^2+1}}(u^2+1)}} [/mm] du = [mm] -\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel{u^2+1}}} [/mm] du
= -arcsinh(u) = [mm] -arcsinh(\bruch{1}{x\wurzel{1+x^2}})
[/mm]
So in etwa könnte es aussehen, leider habe ich aber das Gefühl
das es nicht so ganz richtig ist. Na, evtl. hilft es Dir weiter, wenn
es nicht totaler quatsch ist.
Mfg
EasyLee
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Hi, improvize,
mit Substitution x = sin(u) kriegst Du:
[mm] \integral{\bruch{1}{x*\wurzel{1-x^{2}}} dx}
[/mm]
= [mm] \integral{\bruch{cos(u)}{sin(u)*cos(u)} du}
[/mm]
= [mm] \integral{\bruch{1}{sin(u)} du}
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
mfG!
Zwerglein
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nein, das ist grade mein problem.....genau diese idee hatte ich auchschon, hab sie dann aber verworfen, weil ich da nicht weiterkomme
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Hi, improvise,
also dann weiter:
mit sin(x) = 2*sin(x/2)*cos(x/2)
kriegst Du:
... = [mm] \integral{\bruch{1}{2*sin(x/2)*cos(x/2)}dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{sin(x/2)*cos(x/2)}dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{\bruch{1}{cos^{2}(x/2)}}{tan(x/2)}dx}
[/mm]
Aber nun ist's klar, oder?
mfG!
Zwerglein
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es WÄRE klar, allerdings ist der letzte schritt bei dir doch nicht richtig oder habe ich da was falsch verstanden?
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Hi, improvise,
> es WÄRE klar, allerdings ist der letzte schritt bei dir
> doch nicht richtig
was soll denn da falsch sein?!
> oder habe ich da was falsch verstanden?
Vermutlich!
Also: Ich lass' mal die Argumente weg:
sin*cos = [mm] \bruch{sin}{cos}*cos^{2} [/mm] = [mm] tan*cos^{2}
[/mm]
Jetzt klar?
mfG!
Zwerglein
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du hattest oben aber was anderes geschrieben.....ist ja jetzt auch egal, hab die aufgabe jetzt eh gelöst, vielen dank für den tipp mit den additionstheoremen, das fehlte mir......
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Hi, improvise,
> du hattest oben aber was anderes geschrieben.....ist ja
> jetzt auch egal, hab die aufgabe jetzt eh gelöst, vielen
> dank für den tipp mit den additionstheoremen, das fehlte
> mir......
Guck mal genau hin: Das, was ich Dir eben vorgerechnet habe, steht im Nenner, kann daher wie von mir vorgeschlagen zum Zähler und Nenner eines Bruches mit [mm] \bruch{f'}{f} [/mm] umgeformt werden: Das ist der Trick!
mfG!
Zwerglein
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