Integral mittels Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:37 Mi 29.03.2006 | | Autor: | heine789 |
| Aufgabe | [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{x}{(1 + 2x)^3} dx}
[/mm]
Hinweis: Drücken Sie zur Substitution des Zählers x durch u aus. |
Hallo zusammen!
Komme bei obiger Aufgabe auch nach sehr langem überlegen nicht weiter!
Ich finde keinen Ansatz zur Bestimmung dieses Integrals. Konnte auch keine passende Substitutionsregel finden. Der Hinweis bringt mich auch nicht weiter. Was bringt es x durch u zu ersetzen?
Wäre sehr dankbar für einen Ansatz zur Lösung des Problems.
MfG heine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo zusammen!
Hallo heine789.
Ich versuche mich mal an einer Lösung, im Endeffekt bist du aber dafür verantwortlich, um zu entscheiden, ob es richtig ist, ich bin mir jetzt nicht so ganz sicher und habe da auch keine Zeit, zu überprüfen, ob das tatsächlich funktioniert. Aber einen (für mich) sinnvollen Ansatz habe ich.
> [mm]\integral_{1}^{2}{ \bruch{x}{(1 + 2x)^3} dx}[/mm]
> Hinweis:
> Drücken Sie zur Substitution des Zählers x durch u aus.
Zunächst einmal, es gibt sicherlich so Sachen wie Partialbruchzerlegung, ob es hilft, dafür kann ich nicht bürgen, falls du mal zu viel Zeit hast, kannst du dir das Verfahren ja auch mal erarbeiten.
[mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{x}{(1 + 2x)^3} dx}
[/mm]
Folgenden Trick überlege ich mir, ich möchte die Substitution so wählen, dass bei der Ableitung der Substitution das x herausfällt, wenn wir das dx in das du umwandeln. Das u sollt meiner Meinung nach nur heißen, dass du irgendeinen Term als u definierst. Aber evtl. wird es in der Rechnung deutlicher, wovon ich ausgehe.
Erfahrungsgemäß nehme ich als Substitution das, was im Nenner steht
u=1+2x
u' = 2
u' = [mm] \bruch{du}{dx} \gdw [/mm] dx = [mm] \bruch{du}{u'} =\bruch{du}{2}
[/mm]
das ergibt für unser Integral, wenn wir das [mm] \bruch{du}{u'} [/mm] für dx einsetzen
[mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{x}{(1 + 2x)^3} \bruch{du}{2}}
[/mm]
Da dieses [mm] \bruch{du}{2} [/mm] das selbe ist wie [mm] \bruch{du}{1}*\bruch{1}{2}, [/mm] zwangsweise die 0.5 ein Faktor, können wir das vor das Integral ziehen
0.5 [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{x}{(1 + 2x)^3} du}
[/mm]
Ich schreibe für unsere Substitution mal u
0.5 [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{x}{(u)^3} du}
[/mm]
Unser Problem nun, wir haben noch Zähler das x, sollen aber nach u integrieren. Also ergänzen wir das Integral etwas. Wir brauchen im Zähler den Term 2x+1
[mm] 0.5*\red{0.5} \integral_{1}^{2}{ \bruch{\red{2}x}{(u)^3} du}
[/mm]
Ich habe das Integral erst einmal mit 0.5 und 2 erweitert, rot dargestellt, das kürzt sich auch weg! Daher kann man das machen.
Nun denn, und es gibt so etwas, das wird laienhaft auch als "schlaue Null" bezeichnet, ein ähnliches Spiel wie bei der quadratischen Ergänzung: wir ergänzen den Zähler nun einfach mit 0, d. h. mit +1 -1
0.5*0.5 [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{2x \blue{+1 -1}}{(u)^3} du}
[/mm]
Blau dargestellt ist nun wieder das erweiterte, einen Teil davon können wir nun als u subtituieren
0.5*0.5 [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{u -1}{(u)^3} du}
[/mm]
Kommst du damit klar?
Folgender Tipp noch:
0.5*0.5 [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{u -1}{(u)^3} du}
[/mm]
ist das selbe wie
0.5*0.5 [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{u}{(u)^3}-\bruch{1}{u^3} du}
[/mm]
Bei Rückfragen, jeder Zeit gerne! Aber das war ja jetzt eher ein Versuch von mir, ich dürfte eigentlich nichts falsch gemacht haben, aber heute ist irgendwie nicht so mein Tag...
> Komme bei obiger Aufgabe auch nach sehr langem überlegen
> nicht weiter!
> Ich finde keinen Ansatz zur Bestimmung dieses Integrals.
> Konnte auch keine passende Substitutionsregel finden. Der
> Hinweis bringt mich auch nicht weiter. Was bringt es x
> durch u zu ersetzen?
Wie gesagt, gemeint ist damit, u= "ein ganzer Term" und nicht einfach nur u=x...
[mm] u=x^2 [/mm] würde aber beispielsweise wieder Sinn machen, wenn man die Nullstellen von
g(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - 18 berechnen möchte.
Achja, fast hätte ich es vergessen! Bei der Substitution musst du natürlich noch die Integralsgrenzen ändern, das habe ich jetzt nicht gemacht...
> Wäre sehr dankbar für einen Ansatz zur Lösung des
> Problems.
>
> MfG heine
In diesem Sinne,
viele Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mi 29.03.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo,
ich glaube du hast vergessen die Grenzen mit zu betrachten.
Bei einem bestimmten Integral ändern die sich doch je nach der Substituion.
Hab leider gerade keine Zeit mir die Aufgabe näher anzugucken.
Viele Grüße,
Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Kampfsocke.
Der Kommentar ist natürlich berechtigt, aber ich habe unten in meiner Antwort darauf hingewiesen.
"Achja, fast hätte ich es vergessen! Bei der Substitution musst du natürlich noch die Integralsgrenzen ändern, das habe ich jetzt nicht gemacht... "
> ich glaube du hast vergessen die Grenzen mit zu
> betrachten.
> Bei einem bestimmten Integral ändern die sich doch je nach
> der Substituion.
> Hab leider gerade keine Zeit mir die Aufgabe näher
> anzugucken.
Hättest du mal besser alles gelesen...
> Viele Grüße,
> Sara
Das selbige
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Mi 29.03.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hätte ich wohl besser mal getan.
//Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:20 Do 30.03.2006 | | Autor: | heine789 |
Vielen Dank für den ausführlichen Rechenweg. Werde versuchen das mal nachzurechnen. Wäre nie auf die Lösung gekommen.
Also nochmals vielen Dank!
MfG heine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:54 Do 30.03.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo,
so eine Aufgabe löst man mit Partialbruchzerlegung.
Ich geb dir mal den Ansatz vor:
[mm]\frac{x}{(1+2x)^3}=\frac{A}{1+2x}+\frac{B}{(1+2x)^2}+\frac{C}{(1+2x)^3}[/mm]
Nun die Konstanten A, B, C bestimmen und als Hilfe noch:
[mm]\int \ \frac{1}{x}\, \mathrm{d}x=\ln x[/mm]
[mm]\int \ \frac{1}{1+x^2}\, \mathrm{d}x=\arctan{x}[/mm]
für [mm]\int \ \frac{1}{1+x^3}\, \mathrm{d}x[/mm] weiß ichs nicht auswendig.
Ich überleg mir mal trotzdem einen Ansatz für Substitution, obwohl ich glaube, das du mit partielle Integration auch noch besser zurecht kommst.
MfG
metzga
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