Integral vereinfachen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Di 20.11.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{2\pi}{ (sin^{4}t * 5cos^{4}t) + (cos^{6}t*3sin^{2}t) dt} [/mm] |
Hallo zusammen,
wenn ich hier ausklammere, komme ich auf:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{ sin^{2}t * cos^{4}t * (5sin^{2}t + 3cos^{2}t) dt}
[/mm]
Aber das hilft mir nicht wirklich weiter. Oder habe ich einfach falsch ausgeklammert?
Wie komme ich hier zum Ziel, was kann ich vereinfachen?
Für eure Hilfe bereits im Voraus vielen Dank.
Viele Grüße, Andreas
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ (sin^{4}t * 5cos^{4}t) + (cos^{6}t*3sin^{2}t) dt}[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> wenn ich hier ausklammere, komme ich auf:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ sin^{2}t * cos^{4}t * (5sin^{2}t + 3cos^{2}t) dt}[/mm]
>
> Aber das hilft mir nicht wirklich weiter. Oder habe ich
> einfach falsch ausgeklammert?
>
> Wie komme ich hier zum Ziel, was kann ich vereinfachen?
Hallo,
ich hab' das nicht gerechnet, aber ich würde hier jetzt erstmal sin^2x+cos^2x=1 verwenden:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{ sin^{2}t * (1-sin^2t)^2 * (2sin^{2}t +3sin^2t+ 3cos^{2}t) dt}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:09 Di 20.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Liebe Angela, viele Dank für Deine schnelle Antwort! Jetzt bin ich leider noch verwirrter ;-(
Du schreibst:
>
> ich hab' das nicht gerechnet, aber ich würde hier jetzt
> erstmal sin^2x+cos^2x=1 verwenden:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ sin^{2}t * (1-sin^2t)^2 * (2sin^{2}t +3sin^2t+ 3cos^{2}t) dt}[/mm]
>
Die Formel sin^2x+cos^2x=1 ist mir noch bekannt. Aber wie bist du dann auf:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{ sin^{2}t * (1-sin^2t)^2 * (2sin^{2}t +3sin^2t+ 3cos^{2}t) dt}
[/mm]
gekommen, hast Du da einige Zwischenschritte ausgelassen? Denn wenn ich [mm] sin^{2}t [/mm] * [mm] (1-sin^2t)^2 [/mm] ausmultiplizere, komme ich auf:
[mm] sin^{2}t [/mm] - [mm] 3sin^{2}t [/mm] + [mm] sin^{6}t
[/mm]
Das macht mir irgendwie den ganzen Ausdruck noch komplizerter. Jetzt stehe ich etwas auf dem Schlauch.....
Liebe Grüße, Andreas
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> Liebe Angela, viele Dank für Deine schnelle Antwort! Jetzt
> bin ich leider noch verwirrter ;-(
Hallo,
ich hab' Dir ja nicht versprochen, daß Du so zum Ziel kommst...
Aber verwirren wollte ich Dich nicht, daher rette ich, was zu retten ist:
> Die Formel sin^2x+cos^2x=1 ist mir noch bekannt. Aber wie
> bist du dann auf:
>
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ sin^{2}t * (1-sin^2t)^2 * (2sin^{2}t +3sin^2t+ 3cos^{2}t) dt}[/mm]
>
> gekommen, hast Du da einige Zwischenschritte ausgelassen?
> Denn wenn ich [mm]sin^{2}t[/mm] * [mm](1-sin^2t)^2[/mm] ausmultiplizere,
> komme ich auf:
Es ist [mm] cos^4t=(cos^2t)^2=(1-sin^2)^2
[/mm]
> Das macht mir irgendwie den ganzen Ausdruck noch
> komplizerter. Jetzt stehe ich etwas auf dem Schlauch.....
Mein Gedanke war, daß man dann irgendwie mit sin(t)=x substituiert, aber so richtig einfach scheint das dadurch auch nicht zu werden...
Ich glaube, daß es eine längere Sache gibt, egal wie man's macht.
Ist das die Ursprungsaufgabe oder ein Zwischenergebnis?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Di 20.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Liebe Angela,
das ursprünglich angegebene Integral
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{ (sin^{4}t \cdot{} 5cos^{4}t) + (cos^{6}t\cdot{}3sin^{2}t) dt}
[/mm]
ist die Ursprungsaufgabe. ich habe mir jetzt mit Deiner Hilfe noch folgendes überlegt:
Wenn ich [mm] sin^{4}t [/mm] ersetze durch [mm] 1-2cos^{2}t+cos^{4}t [/mm] und weiterhin [mm] sin^{2}t [/mm] ersetze durch [mm] 1-cos^{2}t [/mm] müsste ich doch alle Terme des Integrals in Cosinus umrechnen bzw. dann auch zusammenfassen können.
Liebe Grüße, Andreas
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> Liebe Angela,
>
> das ursprünglich angegebene Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ (sin^{4}t \cdot{} 5cos^{4}t) + (cos^{6}t\cdot{}3sin^{2}t) dt}[/mm]
>
> ist die Ursprungsaufgabe. ich habe mir jetzt mit Deiner
> Hilfe noch folgendes überlegt:
>
> Wenn ich [mm]sin^{4}t[/mm] ersetze durch [mm]1-2cos^{2}t+cos^{4}t[/mm] und
> weiterhin [mm]sin^{2}t[/mm] ersetze durch [mm]1-cos^{2}t[/mm] müsste ich doch
> alle Terme des Integrals in Cosinus umrechnen bzw. dann
> auch zusammenfassen können.
Hallo,
vielleicht mußt Du auch nur oft genug partiell integrieren, das könnte ich mir auch vorstellen.
Es ist ja [mm] sin^{4}t \cdot{} 5cos^{4}t =-sin^3*(cos^{5}t)'
[/mm]
und [mm] cos^{6}t\cdot{}3sin^{2}t=cos^5t(sin^3t)'.
[/mm]
Vielleicht kann man das gebrauchen. Und vielleicht helfen auch irgendwelche Symmetrieüberlegungen, daß man sieht, daß aus Symmetriegründen Integrale =0 werden.
Wenn ich meinen elektronischen Assistenten nicht falsch bedient habe, ist das Endergebnis [mm] \bruch{15}{32}\pi [/mm] - ohne Gewähr.
Gruß v. Angela
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> Es ist ja [mm]sin^{4}t \cdot{} 5cos^{4}t =-sin^3*(cos^{5}t)'[/mm]
>
> und [mm]cos^{6}t\cdot{}3sin^{2}t=cos^5t(sin^3t)'.[/mm]
>
> Vielleicht kann man das gebrauchen.
Genau gesagt sieht es phantastisch aus! Aber nur fast: das Minuszeichen stört noch.
Gruß v. Angela
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 11:15 Di 20.11.2007 | | Autor: | kornfeld |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die Funktionen
\[\{\cos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Di 20.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Analog zu Deiner anderen Aufgabe gilt auch hier [mm] $\sin(0) [/mm] \ = \ [mm] \sin(2\pi) [/mm] \ = \ 0$ sowie folgende Rekursionsformel, die man mittels partieller Integration erhält:
[mm] $$\integral{\sin^m(x)*\cos^n(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin^{m+1}(x)*\cos^{n-1}(x)}{m+n}+\bruch{n-1}{m+n}*\integral{\sin^m*\cos^{n-2}(x) \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Di 20.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Loddar, danke für Deinen post! Dieses war die eigentlich ursprüngliche Aufgabe. Ich hatte es dann geschafft, das Integral zu reduzieren auf:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{2cos^{8}t - 7cos^{6}t + 5cos^{4}t dt}
[/mm]
Das kann ich in drei Integrale aufteilen. Und dann hatte ich die Schwierigkeit, von z.B.
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{2cos^{8}t dt}
[/mm]
die Stammfunktion zu finden.
Viele Grüße, Andreas
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> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ (sin^{4}t * 5cos^{4}t) + (cos^{6}t*3sin^{2}t) dt}[/mm]
Hallo,
wenn Du nutzt, daß
> $ [mm] sin^{4}t \cdot{} 5cos^{4}t =-sin^3\cdot{}(cos^{5}t)' [/mm] $
>
> und $ [mm] cos^{6}t\cdot{}3sin^{2}t=cos^5t(sin^3t)'. [/mm] $ ,
erhältst Du
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{ (sin^{4}t * 5cos^{4}t) + (cos^{6}t*3sin^{2}t) dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}{ (-sin^3\cdot{}(cos^{5}t)' +cos^5t(sin^3t)') dt}
[/mm]
[mm] =-2\integral_{0}^{2\pi}(sin^3\cdot{}(cos^{5}t)' dt+\integral_{0}^{2\pi}{ (sin^3\cdot{}(cos^{5}t)' +cos^5t(sin^3t)') dt}
[/mm]
[mm] =-2\integral_{0}^{2\pi}(sin^3\cdot{}(cos^{5}t)'dt +[sin^3tcos^5t]_0^{2\pi}
[/mm]
[mm] =10\integral_{0}^{2\pi}(sin^4\cdot{}cos^4dt [/mm] + 0,
und bist damit dem Ziel ein ganzes Stück näher gekommen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Di 20.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Liebe Angela,
das hilft mir wirklich ein ganzes Stück weiter! Vielen lieben Dank noch einmal für eure tatkräftige Unterstützung!
Viele liebe Grüße nach K'lautern!
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Fr 23.11.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{2\pi}{ (sin^{4}t \cdot{} 5cos^{4}t) + (cos^{6}t\cdot{}3sin^{2}t) dt} [/mm] |
Hallo, liebe Mathefreunde, ich bin's nochmal.
Obiges Integral kann man doch auch schreiben als:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{ (sin t * cos t)^{2} * cos^{2}t + (3cos^{2}t + 5sin^{2}t) dt}
[/mm]
Nach einer weiteren "kleinen" Umformung sollte es möglich sein, folgende drei Additionstheoreme anzuwenden:
cos 2t = [mm] cos^{2}t [/mm] - [mm] sin^{2}t
[/mm]
sin 2t = 2 * sin t * cos t
[mm] cos^{2}t [/mm] + [mm] sin^{2}t [/mm] = 1
Dann sollte sich das Ganze auf insgesamt 4 Integrale reduzieren, in denen nur noch Potenzen vom Grad höchstens 2 vorkommen.
Ich habe bereits hin- und Hergerechnet, habe z.B. in der Klammer den Cosinus durch den Sinus ersetzt usw., bin aber nie zu dem Punkt gekommen, an dem ich obige Additionstheoreme anwenden konnte.
In der Klammer steht ja [mm] (3cos^{2}t [/mm] + [mm] 5sin^{2}t). [/mm] Kann man da z.B. durch geschickte Umformung das dritte Theorem [mm] cos^{2}t [/mm] + [mm] sin^{2}t [/mm] = 1 benutzen?
Vielleicht habt ihr ja noch eine Idee?
Für eure Hilfe wäre ich super dankbar!
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Andreas!
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ (sin^{4}t \cdot{} 5cos^{4}t) + (cos^{6}t\cdot{}3sin^{2}t) dt}[/mm]
>
> Hallo, liebe Mathefreunde, ich bin's nochmal.
>
> Obiges Integral kann man doch auch schreiben als:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ (sin t * cos t)^{2} * cos^{2}t + (3cos^{2}t + 5sin^{2}t) dt}[/mm]
>
> Nach einer weiteren "kleinen" Umformung sollte es möglich
> sein, folgende drei Additionstheoreme anzuwenden:
>
> cos 2t = [mm]cos^{2}t[/mm] - [mm]sin^{2}t[/mm]
>
> sin 2t = 2 * sin t * cos t
>
> [mm]cos^{2}t[/mm] + [mm]sin^{2}t[/mm] = 1
>
> Dann sollte sich das Ganze auf insgesamt 4 Integrale
> reduzieren, in denen nur noch Potenzen vom Grad höchstens 2
> vorkommen.
>
> Ich habe bereits hin- und Hergerechnet, habe z.B. in der
> Klammer den Cosinus durch den Sinus ersetzt usw., bin aber
> nie zu dem Punkt gekommen, an dem ich obige
> Additionstheoreme anwenden konnte.
>
> In der Klammer steht ja [mm](3cos^{2}t[/mm] + [mm]5sin^{2}t).[/mm] Kann man
> da z.B. durch geschickte Umformung das dritte Theorem
> [mm]cos^{2}t[/mm] + [mm]sin^{2}t[/mm] = 1 benutzen?
Ja, schreibe [mm]5\sin^2 t= 5(1-\cos^2 t)[/mm], dann wird die Klammer zu [mm](5-2\cos^2 t)[/mm].
Ferner gilt: [mm]\cos(2t)=\cos^{2}t -\sin^{2}t = \cos^{2}t-(1-\cos^{2}t) = 2\cos^{2}t-1[/mm] oder [mm]\cos^{2}t=\bruch{1}{2}(1+\cos(2t))[/mm].
Insgesamt:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{ (\underbrace{\sin t * \cos t}_{\sin(2t)/2})^{2} * cos^{2}t \red{\*}(3cos^{2}t + 5sin^{2}t) dt} = \bruch{1}{8} \integral_{0}^{2\pi} \sin^2(2t) (1+\cos(2t)) * \left(5-2 *\bruch{1}{2} (1+\cos(2t)\right) dt[/mm]
Nach dem Ausmultiplizieren kannst du wieder die Additionstheoreme benutzen, zum Beispiel [mm]\sin(4t)=2\sin(2t)\cos(2t)[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Fr 23.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo rainer, vielen Dank für Deine ausführliche Antwort!
Das hilft mir auf jeden Fall weiter 
Jetzt rechne ich das erst Mal in Ruhe nach....
SUPER VIELEN DANK noch einmal und viele Grüße!
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Andreas,
noch ein anderer Tipp, den du zur Kontrolle benutzen kannst: aus der Moivre-Formel folgen die Identitäten
[mm]\sin(t) = \bruch{1}{2i}\left(\mathrm{e}^{it}-\mathrm{e}^{-it}\right)[/mm], [mm] \quad[/mm] [mm]\cos(t) = \bruch{1}{2}\left(\mathrm{e}^{it}+\mathrm{e}^{-it}\right)[/mm]
Wenn du das benutzt und Alles ausmultiplizierst, bleibt ein konstanter Term und lauter Terme der Form [mm]\mathrm{e}^{ikt}[/mm], [mm]k\in\IZ[/mm] stehen.
EDIT: mir fiel gerade auf, dass es für k=0 natürlich gerade nicht gilt, also:
Wegen
[mm]\integral_{0}^{2\pi} \mathrm{e}^{ikt} dt = 0 \text{ für $k\in\IZ$, \red{$k\not=0$}}[/mm]
ist dein Integral gerade [mm]2\pi[/mm] mal dem konstanten Term.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Fr 23.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Rainer, alles klar, vielen Dank für den Tipp!
Ich werde auf jeden Fall mal beide Möglichkeiten durchrechnen.
Ich hoffe, dass ich klar komme, sonst melde ich mich nochmal!
Viele Grüße und vielen, vielen Dank noch Mal.
Ciao, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Fr 23.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo zusammen,
nach langem rechnen habe ich das Integral jetzt bis auf folgenden Ausdruck vereinfacht:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{(\bruch{sin^{2}2t}{2} + \bruch{3}{8}sin^{2}2t\cdot{}cos2t - \bruch{1}{8}sin^{2}2t\cdot{}cos^{2}2t) dt}
[/mm]
Das kann ich jetzt in drei Integrale aufteilen:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{sin^{2}2t}{2}} [/mm] dt + [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{3}{8}sin^{2}2t\cdot{}cos2t}dt [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{8}sin^{2}2t\cdot{}cos^{2}2t} [/mm] dt
bzw.
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi}{sin^{2}2t} [/mm] dt + [mm] \bruch{3}{8} \integral_{0}^{2\pi}{sin^{2}2t\cdot{}cos2t}dt [/mm] - [mm] \bruch{1}{8} \integral_{0}^{2\pi}{sin^{2}2t\cdot{}cos^{2}2t} [/mm] dt
Der dritte Term [mm] sin^{2}2t\cdot{}cos^{2}2t [/mm] sieht irgendwie so aus, als könne man ihn noch vereinfachen.
Der zweite Term [mm] sin^{2}2t\cdot{}cos2t [/mm] erscheint mir etwas komplexer, das Ergebnis ist aber Null, gibt es da vielleicht ein Trick zur Stammfunktion?
Der erste Term [mm] sin^{2}2t [/mm] ist wahrscheinlich auch mit partieller Integration lösbar, oder sieht jemand etwas anderes?
Dieser Ausdruck hat mich heute schon ziemlich viel Nerven gekostet...schwitz...
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Di 27.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Die Umformungen habe ich nicht kontrolliert. Aber folgende Hinweise zur Bestimmung der jeweiligen Stammfunktionen:
Integral 1: partielle Integration (wie von Dir vermutet)
Integral 2: Substitution: $z \ := \ [mm] \sin^2(2t)$
[/mm]
Integral 3: Umformung [mm] $\sin(z)*\cos(z) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\sin(2z)$ [/mm] , anschließend wie Integral 1
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Di 27.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Loddar, vielen Dank noch einmal für Deine Tipps!
Ich bin jetzt damit weiter gekommen!
Viele Grüße nach Berlin!
Andreas
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