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| Aufgabe | Berechnen sie jeweils für d=0,d=1,d=2 den Flächeninhalt zwischen den Graphen von [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2:
[/mm]
[mm] f_1(x)=\bruch{1}{2}x^3 f_2(x)=\bruch{3}{2}x^2-d [/mm] |
Hallo:)
Als erstes würde ich ganz gerne mal wissen ob ich beim gleichsetzen von
[mm] \bruch{3}{2}x^2-d=\bruch{1}{2}x^3 [/mm] für den Fall d=0
die Schnitstellen auch dadurch erhalte, indem ich
[mm] \bruch{1}{2}x^3-\bruch{3}{2}x^2=0 [/mm] setz und die Nullstellen für die Differenzfunktion berechne.
Hatte indem Fall dann 0 und -3 erhalten wobei ich beim Gleichsetzen für den Schnittpunkt 3 erhalte^^.
Was ist nun richtig?
Wie gehe ich ansonsten genau vor ist es egal wie ich die Differenzfunktion bilde ???
Mache ich [mm] f_1-f_2 [/mm] oder [mm] f_2 -f_1?? [/mm] und woran erkenne ich das??
Über welches Intervall muss ich das INtegral berechnen??
--Ist es wenn ich für die Schnittstellen 0 und 3 erhalte einfach von 0-3??
Freue mich über die natworten
mfg mathefreak
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Hallo mathefreak,
> Berechnen sie jeweils für d=0,d=1,d=2 den Flächeninhalt
> zwischen den Graphen von [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2:[/mm]
>
> [mm]f_1(x)=\bruch{1}{2}x^3 f_2(x)=\bruch{3}{2}x^2-d[/mm]
>
> Hallo:)
>
> Als erstes würde ich ganz gerne mal wissen ob ich beim
> gleichsetzen von
>
> [mm]\bruch{3}{2}x^2-d=\bruch{1}{2}x^3[/mm] für den Fall d=0
>
> die Schnitstellen auch dadurch erhalte, indem ich
>
>
>
> [mm]\bruch{1}{2}x^3-\bruch{3}{2}x^2=0[/mm] setz und die Nullstellen
> für die Differenzfunktion berechne.
>
> Hatte indem Fall dann 0 und -3 erhalten ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") wobei ich beim
> Gleichsetzen für den Schnittpunkt 3 erhalte^^.
Den erhältst du auch rechnerisch, klammere oben [mm]\frac{1}{2}x^2[/mm] aus und du hast:
[mm]\frac{1}{2}x^2\cdot{}(x-3)=0[/mm]
Also [mm]x^2=0[/mm] oder [mm]x-3=0[/mm]
Dh. [mm]x=0[/mm] oder [mm]x=+3[/mm]
>
> Was ist nun richtig?
>
> Wie gehe ich ansonsten genau vor ist es egal wie ich die
> Differenzfunktion bilde ???
Im Prinzip ja
>
> Mache ich [mm]f_1-f_2[/mm] oder [mm]f_2 -f_1??[/mm] und woran erkenne ich
> das??
Überlege dir, welcher der Graphen oberhalb vom anderen verläuft ...
Aber, ob du nun [mm]\int_a^b{(f_1(x)-f_2(x)) \ dx}[/mm] oder [mm]\int_a^b{(f_2(x)-f_1(x)) \ dx}[/mm] ausrechnest, ist egal.
Die beiden Integrale unterscheiden sich nur im Vorzeichen.
Frage an dich: wieso ist das so?
Kannst du mir das kurz beweisen oder begründen?
Du kannst dir also die Überlegung, welcher Graph nun oberhalb des anderen verläuft von vorneherein sparen, wenn du [mm]\left|\int_a^b{(f_1(x)-f_2(x)) \ dx}\right|[/mm] berechnest.
>
> Über welches Intervall muss ich das INtegral berechnen??
> --Ist es wenn ich für die Schnittstellen 0 und 3 erhalte
> einfach von 0-3??
Jo! Immer zwischen den Schnittstellen ...
>
> Freue mich über die natworten
>
> mfg mathefreak
Gruß
schachuzipus
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Naja begründen ,dass sich die beiden integrale nur im Vorzeichen unterscheiden würde ich folgendermaßen:
Wenn ich den Graphen der oberhalb verläuft von dem unteren abziehe erhalte ich ja zwangsläufig für das INtegral einen negativen wert da die Fläche zwischen dem oberhalb verlaufenden Graphen und der x-Achse größer ist als die andere..der umgekehrte fall würde dann eben ein positiven Wert ergeben.
Wenn ich eine Fläche mit dem Wert z.b 5 habe und die andere 4 erhalte ich ja auch je nachdem wie ich subtrahiere einmal +1 und -1.
Wenn ich jetz also das Integral berechne:
[mm] \integral_{0}^{3} \bruch{3}{2}x^2-\bruch{1}{2}x^3\, [/mm] dx
erhalte ich ja:
[mm] [2x^3-\bruch{1}{8}x^4] [/mm] im Intervall [0;3]
Also:
[mm] 2(3^3)-\bruch{1}{8}(3^4)=\bruch{351}{8}
[/mm]
Das ia aber leider nicht das Ergebnis was gewünscht ist ^^
Wo liegt dann der Fehler?
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Hallo nochmal,
> Naja begründen ,dass sich die beiden integrale nur im
> Vorzeichen unterscheiden würde ich folgendermaßen:
>
> Wenn ich den Graphen der oberhalb verläuft von dem unteren
> abziehe erhalte ich ja zwangsläufig für das INtegral
> einen negativen wert da die Fläche zwischen dem oberhalb
> verlaufenden Graphen und der x-Achse größer ist als die
> andere..der umgekehrte fall würde dann eben ein positiven
> Wert ergeben.
Ich meinte es rechnerisch!
Klammere im hinteren Integral im Integranden [mm]-1[/mm] aus und ziehe es vor das Integral, dann steht da (ich schreibe es ohne Grenzen und Differential wegen der lästigen Tipperei):
[mm]\int{f_2-f_1}=\int{(-1)(f_1-f_2)}=-\int{f_1-f_2}[/mm]
> Wenn ich eine Fläche mit dem Wert z.b 5 habe und die
> andere 4 erhalte ich ja auch je nachdem wie ich subtrahiere
> einmal +1 und -1.
>
> Wenn ich jetz also das Integral berechne:
>
> [mm]\integral_{0}^{3} \bruch{3}{2}x^2-\bruch{1}{2}x^3\,[/mm] dx
>
> erhalte ich ja:
>
> [mm][2x^3-\bruch{1}{8}x^4][/mm] im Intervall [0;3]
[mm]\int{3/2x^2 \ dx}=1/2x^3[/mm] !!
>
> Also:
>
> [mm]2(3^3)-\bruch{1}{8}(3^4)=\bruch{351}{8}[/mm]
>
> Das ia aber leider nicht das Ergebnis was gewünscht ist
> ^^
>
> Wo liegt dann der Fehler?
Du hast dich bei der ersten Stammfkt. vertan!G
Gruß
schachuzipus
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Oh stimmt irgendwie is [mm] \bruch{3}{6} [/mm] nicht 2 xD
Naja ok aber wie ist das im Fall d=1 war das jetz richtig dass ich die Schnittstellen von beiden Funktionen auch dadurch erhalte dass ich die Nullstellen der Differenzfunktion erhalte?
War nicht so ersichtlich in der ersten Antwort,weil ich die Daumen nach unten nich genau zuordnen konnte :-P
mfg
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Hallo nochmal,
> Oh stimmt irgendwie is [mm]\bruch{3}{6}[/mm] nicht 2 xD
>
> Naja ok aber wie ist das im Fall d=1 war das jetz richtig
> dass ich die Schnittstellen von beiden Funktionen auch
> dadurch erhalte dass ich die Nullstellen der
> Differenzfunktion erhalte?
Jo!
Das kannst du dir doch selber sehr sehr leicht überlegen.
Du suchst die Schnittstellen der Funktionen [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm]
Also setzt du an:
[mm]f(x)=g(x)[/mm]
[mm]\gdw f(x)-g(x)=0[/mm]
Also suchst du äquivalent die Nullstellen der Diffenrenzfkt.
>
> War nicht so ersichtlich in der ersten Antwort,weil ich die
> Daumen nach unten nich genau zuordnen konnte :-P
Das bezog sich nur auf die Nullstellen der Differenzfkt. (bzw. auf die faslche NST [mm]x=-3[/mm], die ja keine ist)
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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jo so hatte ich mir das auch hergeleitet^^.
Eine Frage hätte ich dann noch :-P
Hab jetz im Fall d=1 für die Nullstellen der Differenzfunktion folgendes berechnet
[mm] x_1=1
[/mm]
[mm] x_2=1+\wurzel{3}
[/mm]
[mm] x_3=1-\wurzel{3}
[/mm]
Also habe ich ja 2 Integrale mit den Intervallen [mm] [1-\wurzel{3};1] [/mm] und [mm] [1;1+\wurzel{3}]
[/mm]
Jetz verläuft der Graph ja im Intervall [mm] [1;1+\wurzel{3}] [/mm] unter der x-Achse.
Wähle ich den Wert des Integrales dann negativ so das ich [Integral(1)-Integral(2)] erhalte??
Sonst würd ich das ganze ja Summieren:)#
Achja und reicht es aus um zu überprüfen ob der Graph oberhalb oder Unterhalb verläuft, wenn ich einfach einen Wert aus dem Intervall einsetze und gucke welches Vorzeichen rauskommt??
mfg
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Hallo mathefreak89,
> jo so hatte ich mir das auch hergeleitet^^.
>
> Eine Frage hätte ich dann noch :-P
>
> Hab jetz im Fall d=1 für die Nullstellen der
> Differenzfunktion folgendes berechnet
>
> [mm]x_1=1[/mm]
> [mm]x_2=1+\wurzel{3}[/mm]
> [mm]x_3=1-\wurzel{3}[/mm]
>
> Also habe ich ja 2 Integrale mit den Intervallen
> [mm][1-\wurzel{3};1][/mm] und [mm][1;1+\wurzel{3}][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetz verläuft der Graph ja im Intervall [mm][1;1+\wurzel{3}][/mm]
> unter der x-Achse.
> Wähle ich den Wert des Integrales dann negativ so das ich
> [Integral(1)-Integral(2)] erhalte??
Ja.
> Sonst würd ich das ganze ja Summieren:)#
>
> Achja und reicht es aus um zu überprüfen ob der Graph
> oberhalb oder Unterhalb verläuft, wenn ich einfach einen
> Wert aus dem Intervall einsetze und gucke welches
> Vorzeichen rauskommt??
Ja.
>
> mfg
Gruss
MathePower
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