Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten Abend,
ich möchte gerne das folgende Integral berechen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{3-2*x-x^{2}}} dx}
[/mm]
Die Lösung von http://www.integralrechner.de verstehe ich nicht. Vielleicht kann mir das einer von euch erklären?
Mein Ansatz:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{3-2*x-x^{2}}} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4-(x+1)^{2}}} dx}
[/mm]
Jetzt würde ich x+1 substituieren aber wie oder liege ich da falsch?
LG Rocky1994
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:31 Fr 11.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend,
>
> ich möchte gerne das folgende Integral berechen:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{3-2*x-x^{2}}} dx}[/mm]
>
> Die Lösung von http://www.integralrechner.de verstehe ich
> nicht. Vielleicht kann mir das einer von euch erklären?
>
> Mein Ansatz:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{3-2*x-x^{2}}} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4-(x+1)^{2}}} dx}[/mm]
>
> Jetzt würde ich x+1 substituieren
gute Idee
> aber wie
Wie Wie ? Mach doch
> oder liege ich
> da falsch?
>
Nein
> LG Rocky1994
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Guten Abend,
>
> ich möchte gerne das folgende Integral berechen:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{3-2*x-x^{2}}} dx}[/mm]
>
> Die Lösung von http://www.integralrechner.de verstehe ich
> nicht. Vielleicht kann mir das einer von euch erklären?
>
> Mein Ansatz:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{3-2*x-x^{2}}} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4-(x+1)^{2}}} dx}[/mm]
>
> Jetzt würde ich x+1 substituieren aber wie oder liege ich
> da falsch?
Wie FRED schon sagte liegst du richtig. Eigentlich hätte dir selbst auffallen müssen, dass das auf eine elementare Stammfunktion hinausläuft. Wenn du alternativ
[mm] u=\frac{x+1}{2}
[/mm]
subtituierst, siehst du das vielleicht noch leichter ein.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> Wie FRED schon sagte liegst du richtig. Eigentlich hätte
> dir selbst auffallen müssen, dass das auf eine elementare
> Stammfunktion hinausläuft. Wenn du alternativ
>
> [mm]u=\frac{x+1}{2}[/mm]
>
> subtituierst, siehst du das vielleicht noch leichter ein.
>
Ich verstehe nicht ganz wie man auf [mm]u=\frac{x+1}{2}[/mm] kommt und dann weiter macht. Wäre echt klasse, wenn ihr mir das nochmal erklären könntet!
LG Rocky1994
|
|
|
| |
|
Hallo,
machen wir zunächst u:=x+1
[mm] \bruch{du}{dx}=1
[/mm]
dx=du
jetzt bekommst Du
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4-u^2}} du}
[/mm]
erkennst Du jetzt auch die alternative Variante?!
Steffi
|
|
|
| |
|
Die Alternative Möglichkeit sehe ich immer noch nicht. Kann man nicht Nichteinhaltung substituieren:
[mm] v=4-u^{2}
[/mm]
v'=-2u
dv/-2u=du
und dann zu Behaupten [mm] u=\wurzel[n]{4-v}?
[/mm]
EDIT: Bringt mich auch nicht weiter => verwerfen
LG Rocky1994
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Fr 11.08.2017 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4-u^2}} du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2 \wurzel{1-(\frac{u}{2})^2}} du} [/mm] $
Jetzt substituiere [mm] $v=\frac{u}{2}$ [/mm] und beachte, dass die Funktion
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{1-v^2}} [/mm] die Stammfunktion [mm] $\arcsin [/mm] v$ hat.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich verstehe nicht ganz wie man auf [mm]u=\frac{x+1}{2}[/mm] kommt
> und dann weiter macht.
Lies die gegebenen Antworten gründlicher durch. Ich habe nicht umsonst den Begriff Elementare Stammfunktion verwendet. Diese heißen so, weil sie die Stammfunktionen der sog. elementaren Funktionen sind (bzw. hier die elementare Grundfunktion zu einer gegebenen Ableitungsfunktion). Und in einer einigermaßen gut sortierten Formelsammlung sind sie zu finden, ebenso bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Mir ist schon bewusst, dass ich auf das Integral
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2}dx}
[/mm]
Kommen muss.
Ich verstehe aber nicht wie ich zum einen auf [mm] \bruch{x+1}{2} [/mm] komme und zum anderen wie ich von dort aus auf das oben genannt. Soll jetzt nicht frechklingen aber genau das das mit der Integralrechner auch gesagt und ich hab's nicht verstanden. Kann mir das einer von euch kurz schritt für Schritt erklären?
LG Rocky1994
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Mir ist schon bewusst, dass ich auf das Integral
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2}dx}[/mm]
>
> Kommen muss.
Wie kommst du darauf? Das ist falsch, es geht um das elementare Integral
[mm] \int{ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx}=arcsin(x)+C[/mm]
>
> Ich verstehe aber nicht wie ich zum einen auf
> [mm]\bruch{x+1}{2}[/mm] komme und zum anderen wie ich von dort aus
> auf das oben genannt. Soll jetzt nicht frechklingen aber
> genau das das mit der Integralrechner auch gesagt und ich
> hab's nicht verstanden.
Na ja, wenn man sich von vornherein auf solche Hilfsmittel verlässt und nicht selbst anfängt nachzudenken, dann ist das kein Wunder (soll jetzt auch nicht frech klingen).
> Kann mir das einer von euch kurz
> schritt für Schritt erklären?
Ich werde es tun, obwohl ich über deine Arbeitsweise innerlich den Kopf schütteln muss.
Es sei
[mm]\begin{aligned}
u&= \frac{x+1}{2}\ \gdw\\
2u&=x+1
\end{aligned}[/mm]
mit
[mm]
\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\ \gdw\ dx=2*du
[/mm]
Wenn man damit in deine zweite Version des Intergals eingeht (wo du korrekt quadratisch ergänzt hast), dann bekommt man
[mm]\begin{aligned}
\int{ \frac{1}{\sqrt{4-(x+1)^2}} dx}&= \int{ \frac{1}{\sqrt{4-4u^2}} du*2}\\
&= 2* \int{ \frac{1}{2}* \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du}\\
&= \int{ \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du}\\
&= arcsin(u)+C\\
&= arcsin\left(\frac{x+1}{2}\right)+C
\end{aligned}[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> Mir ist schon bewusst, dass ich auf das Integral
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2}dx}[/mm]
>
> Kommen muss.
>
> Ich verstehe aber nicht wie ich zum einen auf
> [mm]\bruch{x+1}{2}[/mm] komme und zum anderen wie ich von dort aus
> auf das oben genannt. Soll jetzt nicht frechklingen aber
> genau das das mit der Integralrechner auch gesagt und ich
> hab's nicht verstanden. Kann mir das einer von euch kurz
> schritt für Schritt erklären?
>
> LG Rocky1994
Du bist doch selber schon auf die Idee gekommen, x+1 zu substituieren. Dann stößt du auf den Ausdruck [mm] \wurzel{4-u^2}. [/mm] Wenn du nun in Formelsammlungen nachschaust, stellst du fest, dass [mm] \wurzel{1-u^2} [/mm] dir helfen würde. Also musst du versuchen, die 4 in eine 1 zu verwandeln, beispielsweise so: [mm] \wurzel{4-u^2}=\wurzel{4(1-\bruch{u^2}{4})}=2\wurzel{1-(\bruch{u}{2})^2}.
[/mm]
Und damit ergibt sich eine weitere naheliegende Substitution.
Ganz oft muss man sich durch mehrere Substitutionen durchhangeln, um weiter zu kommen, weil eine "Gesamtsubstitution" schwer oder gar nicht zu erkennen ist oder sich eine Untegral dann noch weiter in mehrere Summanden aufspaltet. Integrieren ist viel schwerer als Differenzieren.
Merkregel: Differenzieren kann man alles, integrieren kann man nix.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Sa 12.08.2017 | | Autor: | fred97 |
Das alles hab ich schon gestern erzählt
|
|
|
|
