Integration < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{2cos(x)sin(x) dx} [/mm] |
Hallo:)
Hab das ganze mit partieller integration probiert:
[mm] 2*\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}
[/mm]
wenn ich u=sin(x) v'=cos(x) wähle erhalte ich ja u'=cos(x) und v=sin(x)
Also
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}=sin(x)^2-\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}
[/mm]
[mm] 2\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}=sin(x)^2
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}=\bruch{1}{2}sin(x)^2
[/mm]
[mm] 2*[\bruch{1}{2}sin(x)^2]=sin(x)^2
[/mm]
Wenn ich das ganze andersrum wähle
u=cos(x) v'=sin(x) wird u'=-sin(x) und v=-cos(x)
Also für
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}=-cos(x)^2-\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}
[/mm]
[mm] 2*\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}=-cos(x)^2
[/mm]
Im endeffekt also Wenn es wie bei !. weitergerechnet wird
[mm] \integral_{}^{}{2cos(x)sin(x) dx}=-cos(x)^2
[/mm]
1.Woher weiß ich welches von beiden überhaupt richtig ist?
2.Ist das ja das Integral für cos(x)sin(x)...aber wie komme ich bei 2cos(x)sin(x) auf [mm] -\bruch{1}{2}cos(2x)+C
[/mm]
3.Vorallem würde ich gerne wissen wie in den cos die 2x kommen??
Gruß mathefreak
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Do 07.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{}^{}{2cos(x)sin(x) dx}[/mm]
>
> Hallo:)
>
> Hab das ganze mit partieller integration probiert:
>
> [mm]2*\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}[/mm]
>
> wenn ich u=sin(x) v'=cos(x) wähle erhalte ich ja u'=cos(x)
> und v=sin(x)
>
> Also
>
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}=sin(x)^2-\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}[/mm]
>
> [mm]2\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}=sin(x)^2[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}=\bruch{1}{2}sin(x)^2[/mm]
>
> [mm]2*[\bruch{1}{2}sin(x)^2]=sin(x)^2[/mm]
>
> Wenn ich das ganze andersrum wähle
> u=cos(x) v'=sin(x) wird u'=-sin(x) und v=-cos(x)
>
> Also für
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}=-cos(x)^2-\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}[/mm]
>
> [mm]2*\integral_{}^{}{cos(x)sin(x) dx}=-cos(x)^2[/mm]
>
> Im endeffekt also Wenn es wie bei !. weitergerechnet wird
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{2cos(x)sin(x) dx}=-cos(x)^2[/mm]
>
> 1.Woher weiß ich welches von beiden überhaupt richtig
> ist?
Beide sind richtig !! Eine Stammfunktion ist nur bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.
Es ist [mm] $-cos^2(x)= sin^2(x)-1$
[/mm]
Warum ?
> 2.Ist das ja das Integral für cos(x)sin(x)...aber wie
> komme ich bei 2cos(x)sin(x) auf [mm]-\bruch{1}{2}cos(2x)+C[/mm]
> 3.Vorallem würde ich gerne wissen wie in den cos die 2x
> kommen??
Leite [mm]-\bruch{1}{2}cos(2x)+C[/mm] ab und ziehe für sin(2x)=sin(x+x) das Additionstheorem heran, dann siehst Du was passiert.
FRED
>
> Gruß mathefreak
>
>
>
|
|
|
|
