Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 So 23.04.2006 | | Autor: | Icyangel |
| Aufgabe | | [mm] e^x [/mm] * (3- [mm] e^x) [/mm] |
Hi;)
Meine Frage ist, woran ich erkenne, ob ich nun Integration durch Substitution anwenden muss, oder die Produktintegration.
Mein Beispiel ist:
[mm] e^x [/mm] * (3- [mm] e^x)
[/mm]
Kann mir jmd mal einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 So 23.04.2006 | | Autor: | Disap |
> [mm]e^x[/mm] * (3- [mm]e^x)[/mm]
> Hi;)
Servus.
> Meine Frage ist, woran ich erkenne, ob ich nun Integration
> durch Substitution anwenden muss, oder die
> Produktintegration.
Bei gebrochenrationalen Funktionen handelt es sich meistens um Integration durch Substitution. Im Nenner (unter dem Bruchstrich) steht irgendein Ausdruck z. B. [mm] x^3, [/mm] dessen Polynomgrad (die 3) um 1 höher ist als im Zähler - dort steht z. B. [mm] x^2. [/mm] Beim Umwandeln von dx ins dz (oder wie man es auch nennen möchte) kürzt sich das [mm] x^2 [/mm] weg.
Produktintegration oder partielle Integration immer dann, wenn du ein Produkt hast
[mm] x*e^x
[/mm]
Der Trick bei der Produktintegration ist es, das u so zu wählen, dass x beim ableiten wegfällt. Hier würden wir u=x nehmen, denn u'=1
> Mein Beispiel ist:
>
> [mm]e^x[/mm] * (3- [mm]e^x)[/mm]
>
> Kann mir jmd mal einen Tipp geben?
Produktintegration geht hier schlecht, da [mm] e^x [/mm] abgelitten immer noch [mm] e^x [/mm] ist. Das bringt dich also nicht weiter.
Also Substitution.
Oder du multiplizierst die Klammer aus. Dann kannst du es wie gewohnt integrieren.
Substitution sieht so aus:
[mm] $\int e^x [/mm] * (3- [mm] e^x) [/mm] dx$
$z:= [mm] e^x$
[/mm]
$z'= [mm] e^x$
[/mm]
$dx = [mm] \br{dz}{z'} [/mm] = [mm] \br{dz}{e^x}$
[/mm]
Eingesetzt
[mm] $=\int \red{e^x} [/mm] * (3-z) [mm] \br{dz}{\red{e^x}}$ [/mm]
rot kürzt sich weg
[mm] $=\int [/mm] (3- z) dz$
Alles klar?
MfG!
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 23.04.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo,
bei deinem Beispiel geht es noch einfacher.
[mm] e^{x}*(3-e^{x})=3e^{x}-e^{2x}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{3e^{x}-e^{2x} dx}= 3e^{x}- \bruch{1}{2}e^{2x} =e^{x}*(3- \bruch{1}{2}e^{x})
[/mm]
Zur Kontrolle ableiten bestätigt das Ergebnis.
Viele Grüße,
Sara
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