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| Aufgabe | Mit Hilfe der Substitution x=tan(t/2) zeige man, dass
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{\arctan x}{x} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{x}{\sin x} dx} [/mm] |
Hallo Leute.
Wenn ich nun beginne zu substituieren, wie es in der Afg. steht, dann sieht das folgendermaßen aus  :
[mm] x=\tan(t/2) \Rightarrow [/mm] dx = [mm] \bruch{dt}{2\cos^2(\bruch{t}{2})}
[/mm]
Also
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{\arctan x}{x} dx} [/mm] =
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{t/2}{\tan(t/2)}\cdot \bruch{dt}{2\cos^2(\bruch{t}{2})}} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{4}\integral_{0}^{1}{t\cdot\cot(\bruch{t}{2})}
[/mm]
So, hier komm ich aber auch nicht weiter.
Ich denk mal, ich hab schon von vornherein irgendetwas falsch angefangen, oder? Wie kann man die Beh. denn bitte zeigen?
Danke
goldeagle
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Hallo Goldeagle!
1) Deine Substitution war fast korrekt. Die neuen Intagrationsgrenzen muessen wie in der Aufgabenstellung sein!
2) Dein neuer Integrand enthaelt im Nenner das Produkt von Sinus und Cosinus.
[mm] $\sin [/mm] (t/2) [mm] \cos [/mm] (t/2)$
Benutze an dieser Stelle die Additionstheoreme fuer den Sinus!
Das war's
Liebe Gruesse, Kornfeld
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> 2) Dein neuer Integrand enthaelt im Nenner das Produkt von Sinus und
> Cosinus.
> $ [mm] \sin [/mm] (t/2) [mm] \cos [/mm] (t/2) $
Wo bitte? Da kann ich jetzt nicht folgen?
Wie kann ich aus [mm] $t*\cot(t)$ [/mm] diesen Nenner bilden? Oder bin ich im falschen Term?
Gruß
goldeagle
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Hallo goldeagle!
Es gilt ja:
[mm] $\blue{\tan\left(\bruch{t}{2}\right)}*\cos^2\left(\bruch{t}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{\sin\left(\bruch{t}{2}\right)}{\cos\left(\bruch{t}{2}\right)}}*\cos^2\left(\bruch{t}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \sin\left(\bruch{t}{2}\right)*\cos\left(\bruch{t}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\sin\left(2*\bruch{t}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\sin(t)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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