Integrierbarkeit prüfen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Sa 15.01.2011 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Für t [mm] \in \IR [/mm] sei [mm] f_t [/mm] : [mm] [1,\infty[ \to \IR [/mm] def. durch [mm] f_t(x) [/mm] = [mm] e^{-x} x^t
[/mm]
Zeige, dass [mm] f_t [/mm] für alle t [mm] \in \IR [/mm] Lebesgue-intergrierbar ist. |
Hier ist offensichtlich die Eigenschaft der des schnellen Wachstums der e-Funktion zu nutzen.
Meine Ideen sind z.B so abzuschätzen:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{e^{-x} x^t dx} \le \summe_{i=1}^{n} \bruch{(i+1)^t}{e^i}
[/mm]
Allerdings scheint das zu grob gewesen zu sein, so dass ich hier nicht weiterkomme.
Hat jemand einen Tipp bzw Idee wie man hier weitermachen könnte,
oder einen andere nützliche Abschätzung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 So 16.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Es gilt:
[mm] \bruch{e^{-x}x^t}{1/x^2}= e^{-x}x^{t+2} \to [/mm] 0 für x [mm] \to \infty
[/mm]
Also ex. ein a >1 mit:
[mm] \bruch{e^{-x}x^t}{1/x^2} \le [/mm] 1 für x [mm] \ge [/mm] a
Damit:
0 [mm] \le e^{-x}x^t \le 1/x^2 [/mm] für x [mm] \ge [/mm] a
Hilft das weiter ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 So 16.01.2011 | | Autor: | etoxxl |
Man kann also mit deiner Idee hinschreiben:
dass, das Integral der Funktion [mm] f_t [/mm] auf dem Intervall [1,a] einen endlichen Wert annimmt und auf dem Intervall [mm] [a,\infty[ [/mm] kann man das Integral so abschätzen:
[mm] \integral_{a}^{\infty}{e^{-x}x^t dx} \le \integral_{a}^{\infty}{1/x^2dx} \le \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}<\infty
[/mm]
Daraus folgt [mm] f_t [/mm] ist ist integrierbar.
Habe ich das richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 So 16.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man kann also mit deiner Idee hinschreiben:
> dass, das Integral der Funktion [mm]f_t[/mm] auf dem Intervall
> [1,a] einen endlichen Wert annimmt und auf dem Intervall
> [mm][a,\infty[[/mm] kann man das Integral so abschätzen:
> [mm]\integral_{a}^{\infty}{e^{-x}x^t dx} \le \integral_{a}^{\infty}{1/x^2dx} \le \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}<\infty[/mm]
>
> Daraus folgt [mm]f_t[/mm] ist ist integrierbar.
>
> Habe ich das richtig verstanden?
Ja
FRED
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