Integritätsringe und Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Sa 28.10.2006 | | Autor: | sclossa |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jeder Integritätsring mit endlich vielen Elementen ein Körper ist. |
Jeder Integritätsring ist ein kommutativer Ring mit 1 ohne Nullteiler. Somit gilt die Kürzungsregel a * b = a * c , a [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] b = c.
Im Integritätsring gelten ja die Axiome (R1), ... , (R 5). Ich muss also nur zeigen, dass gilt:
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] R, a [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \exists a^{-1} \in [/mm] R mit [mm] a^{-1} [/mm] * a = 1.
Kann ich dies mit Hilfe der Kürzungsregel folgern? Und wie hilft mir dabei die Vor., dass der Integritätsring nur endlich viele ELemente enthält?
Lg Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Sa 28.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Zeigen Sie, dass jeder Integritätsring mit endlich vielen
> Elementen ein Körper ist.
> Jeder Integritätsring ist ein kommutativer Ring mit 1 ohne
> Nullteiler. Somit gilt die Kürzungsregel a * b = a * c , a
> [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] b = c.
> Im Integritätsring gelten ja die Axiome (R1), ... , (R 5).
> Ich muss also nur zeigen, dass gilt:
> [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] R, a [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\exists a^{-1} \in[/mm] R mit [mm]a^{-1}[/mm]
> * a = 1.
Sei $a [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{ 0 \}$. [/mm] Betrachte die Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] R$, $x [mm] \mapsto [/mm] a x$. Wenn diese Abbildung surjektiv ist, dann ist $a$ invertierbar in $R$ (siehst du warum?).
Mit der Kuerzungsregel kannst du nun zeigen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] injektiv ist (weisst du wie das geht?).
So. Und jetzt kommt die spannende Frage: Wenn $R$ eine endliche Menge ist und [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] R$ eine injektive Abbildung, kann es dann sein, dass [mm] $\varphi$ [/mm] nicht surjektiv ist?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Sa 28.10.2006 | | Autor: | sclossa |
> Hallo Stefan!
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> > Zeigen Sie, dass jeder Integritätsring mit endlich vielen
> > Elementen ein Körper ist.
> > Jeder Integritätsring ist ein kommutativer Ring mit 1
> ohne
> > Nullteiler. Somit gilt die Kürzungsregel a * b = a * c , a
> > [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] b = c.
> > Im Integritätsring gelten ja die Axiome (R1), ... , (R
> 5).
> > Ich muss also nur zeigen, dass gilt:
> > [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] R, a [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\exists a^{-1} \in[/mm] R mit
> [mm]a^{-1}[/mm]
> > * a = 1.
>
> Sei [mm]a \in R \setminus \{ 0 \}[/mm]. Betrachte die Abbildung
> [mm]\varphi : R \to R[/mm], [mm]x \mapsto a x[/mm]. Wenn diese Abbildung
> surjektiv ist, dann ist [mm]a[/mm] invertierbar in [mm]R[/mm] (siehst du
> warum?).
Hmmm, wenn jedem ax [mm] \in [/mm] R ein x [mm] \in [/mm] R zugeordnet werden kann, dann muss ein [mm] a^{-1} [/mm] existieren, so dass [mm] \varphi^{-1}(ax) [/mm] = [mm] a^{-1} [/mm] * a * x = x oder wie?
> Mit der Kuerzungsregel kannst du nun zeigen, dass [mm]\varphi[/mm]
> injektiv ist (weisst du wie das geht?).
Ehrlich gesagt: Nein.
> So. Und jetzt kommt die spannende Frage: Wenn [mm]R[/mm] eine
> endliche Menge ist und [mm]\varphi : R \to R[/mm] eine injektive
> Abbildung, kann es dann sein, dass [mm]\varphi[/mm] nicht surjektiv
> ist?
Nein, die Abbildung muss dann auch surjektiv sein. Das kann ich noch nachvollziehen.
Aber warum muss man überhaupt eine Abbildung [mm] \varphi [/mm] betrachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 So 29.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> > > Zeigen Sie, dass jeder Integritätsring mit endlich vielen
> > > Elementen ein Körper ist.
> > > Jeder Integritätsring ist ein kommutativer Ring mit
> 1
> > ohne
> > > Nullteiler. Somit gilt die Kürzungsregel a * b = a * c , a
> > > [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] b = c.
> > > Im Integritätsring gelten ja die Axiome (R1), ... ,
> (R
> > 5).
> > > Ich muss also nur zeigen, dass gilt:
> > > [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] R, a [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\exists a^{-1} \in[/mm] R mit
> > [mm]a^{-1}[/mm]
> > > * a = 1.
> >
> > Sei [mm]a \in R \setminus \{ 0 \}[/mm]. Betrachte die Abbildung
> > [mm]\varphi : R \to R[/mm], [mm]x \mapsto a x[/mm]. Wenn diese Abbildung
> > surjektiv ist, dann ist [mm]a[/mm] invertierbar in [mm]R[/mm] (siehst du
> > warum?).
> Hmmm, wenn jedem ax [mm]\in[/mm] R ein x [mm]\in[/mm] R zugeordnet werden
> kann,
Das geht immer, auch wenn die Abbildung nicht surjektiv ist.
> dann muss ein [mm]a^{-1}[/mm] existieren, so dass
> [mm]\varphi^{-1}(ax)[/mm] = [mm]a^{-1}[/mm] * a * x = x oder wie?
Wenn es zu jedem $y [mm] \in [/mm] R$ ein $x [mm] \in [/mm] R$ mit $a x = y$ gibt (was gerade bedeutet, dass [mm] $\varphi$ [/mm] surjektiv ist), dann gibt es insbesondere auch ein $x [mm] \in [/mm] R$ mit $a x = 1$. Und genau dieses $x$ suchst du ja.
> > Mit der Kuerzungsregel kannst du nun zeigen, dass [mm]\varphi[/mm]
> > injektiv ist (weisst du wie das geht?).
> Ehrlich gesagt: Nein.
Also: Um zu zeigen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] injektiv ist, musst du aus [mm] $\varphi(x) [/mm] = [mm] \varphi(x')$ [/mm] folgern $x = x'$. Wenn [mm] $\varphi(x) [/mm] = [mm] \varphi(x')$ [/mm] ist, dann ist $a x = a x'$. Jetzt ist $a [mm] \neq [/mm] 0$. Was folgt daraus?
> > So. Und jetzt kommt die spannende Frage: Wenn [mm]R[/mm] eine
> > endliche Menge ist und [mm]\varphi : R \to R[/mm] eine injektive
> > Abbildung, kann es dann sein, dass [mm]\varphi[/mm] nicht surjektiv
> > ist?
> Nein, die Abbildung muss dann auch surjektiv sein.
Genau.
> Das kann ich noch nachvollziehen.
>
> Aber warum muss man überhaupt eine Abbildung [mm]\varphi[/mm]
> betrachten?
Weil man es so am schoensten Begruenden kann: Fuer Abbildungen einer endlichen Menge in sich selber hat man die schoene Beziehung injektiv [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] surjektiv; man kann das natuerlich hier neu beweisen, aber warum die Muehe, wenn man auch gleich diese Aussage fuer Abbildungen benutzen kann?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 So 29.10.2006 | | Autor: | sclossa |
Zeigen Sie, dass jeder Integritätsring mit endlich vielen
Elementen ein Körper ist.
Jeder Integritätsring ist ein kommutativer Ring mit 1 ohne Nullteiler. Somit gilt die Kürzungsregel a * b = a * c , a [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] b = c.
Im Integritätsring gelten ja die Axiome (R1), ... , (R 5).
Wir zeigen (K 6):
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] R, a [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \exists a^{-1} \in [/mm] R
mit [mm] a^{-1} [/mm] * a = 1.
Beweis:
Sei a [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{ 0 \}. [/mm] Wir betrachten die Abbildung
[mm] \varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] R, x [mm] \mapsto [/mm] a x.
Mit der Kuerzungsregel können wir nun zeigen, dass [mm]\varphi[/mm]
injektiv ist:
Seien x,x' [mm] \in [/mm] R und es gelte [mm] \varphi(x) [/mm] = [mm] \varphi(x'), [/mm] dann folgt mit der Kürzungsregel:
[mm] \varphi(x) [/mm] = [mm] \varphi(x') \gdw [/mm] a x = a x' [mm] \gdw [/mm] x = x', (da a [mm] \not= [/mm] 0)
d.h. [mm] \varphi [/mm] ist injektiv.
Da R eine endliche Menge ist gilt somit weiter:
injektiv [mm] \gdw [/mm] surjektiv.
Da [mm] \varphi [/mm] surjektiv ist gilt somit:
Zu jedem y [mm] \in [/mm] R gibt es ein x [mm] \in [/mm] R mit a x = y. Somit gibt es insbesondere auch ein x [mm] \in [/mm] R mit a x = 1. Somit exisitiert also für alle a [mm] \in R\backslash\{0\} [/mm] ein a' [mm] \in [/mm] R mit a * a' = 1.
Somit ist jeder Integritätsring mit endlich vielen Elementen ein Körper.
q.e.d.
So, ich glaub der Beweis stimmt aber dann jetzt so, oder?
Nochmal danke für deine Hilfe!
lg Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 So 29.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Zeigen Sie, dass jeder Integritätsring mit endlich vielen
> Elementen ein Körper ist.
>
> Jeder Integritätsring ist ein kommutativer Ring mit 1 ohne
> Nullteiler. Somit gilt die Kürzungsregel a * b = a * c , a
> [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] b = c.
> Im Integritätsring gelten ja die Axiome (R1), ... , (R 5).
>
> Wir zeigen (K 6):
> [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] R, a [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\exists a^{-1} \in[/mm] R
> mit [mm]a^{-1}[/mm] * a = 1.
>
> Beweis:
> Sei a [mm]\in[/mm] R [mm]\setminus \{ 0 \}.[/mm] Wir betrachten die
> Abbildung
> [mm]\varphi[/mm] : R [mm]\to[/mm] R, x [mm]\mapsto[/mm] a x.
>
> Mit der Kuerzungsregel können wir nun zeigen, dass [mm]\varphi[/mm]
> injektiv ist:
> Seien x,x' [mm]\in[/mm] R und es gelte [mm]\varphi(x)[/mm] = [mm]\varphi(x'),[/mm]
> dann folgt mit der Kürzungsregel:
> [mm]\varphi(x)[/mm] = [mm]\varphi(x') \gdw[/mm] a x = a x' [mm]\gdw[/mm] x = x', (da
> a [mm]\not=[/mm] 0)
> d.h. [mm]\varphi[/mm] ist injektiv.
Genau.
> Da R eine endliche Menge ist gilt somit weiter:
> injektiv [mm]\gdw[/mm] surjektiv.
>
> Da [mm]\varphi[/mm] surjektiv ist gilt somit:
> Zu jedem y [mm]\in[/mm] R gibt es ein x [mm]\in[/mm] R mit a x = y. Somit
> gibt es insbesondere auch ein x [mm]\in[/mm] R mit a x = 1. Somit
> exisitiert also für alle a [mm]\in R\backslash\{0\}[/mm] ein a' [mm]\in[/mm]
> R mit a * a' = 1.
> Somit ist jeder Integritätsring mit endlich vielen
> Elementen ein Körper.
> q.e.d.
>
> So, ich glaub der Beweis stimmt aber dann jetzt so, oder?
Jep, stimmt!
LG Felix
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