Inverse Matrix mit Gauß Jordan < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Smuji |
Hallo,
ich habe mal eine Frage zur Vorgehensweise beim Anwenden des Gauß Jordan Verfahren.
Um von einer gegebenen Matrix die Inverse zu erzeugen, kann man ja mit dem GJ-Verfahren einfach die Matrix links , Strich, rechts Einheitsmatrix hinschreiben und dann muss man durch addieren,subtrahieren,multipl. etc. die Urspüngliche Matrix auf die Einheitsmatrix umformen und hat dann rechts die Inverse stehen.
Nun ist meine Frage, wenn ich Zeilen multipliziere, dann gilt das ja natürlich auch bei der Einheitsmatrix, sonst würde diese sich ja nicht verändern.
Nur was ist wenn ich Spalten multipliziere ? Was Mache ich mit der
Einheitsmatrix ?
(ich schreibe es jetzt mal als determintante, denn da habe ich den trennstrich zwischen matrix und einheitsmatrix)
[mm] \vmat{ 1 & 2 \\ 0,5 & 3 }\vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
wenn ich nun die 2 eliminieren will, indem ich bsp. - 2 mal 1. zeile rechne.....
was muss ich dann rechts mti der einheitsmatrix machen ? wenn ich zeilen statt spalten nutze, ist es ja klar, dann wirkt es sich auf die ZEILE aus , aber bei der spalte ?
oder darf man bei diesem verfahren nur mit zeilen arbeiten ?
wäre nett wenn mir jemand auf die sprünge hilft
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Die Idee hinter dem Gauß-Jordan-Algorithmus ist einfach die, dass du immer von links Elementarmatrizen an deine Ausgangsmatrix $A$ und die Einheitsmatrix $E$ multiplizierst, bis du die Einheitsmatrix aus $A$ erhälst.
Du machst also nichts weiteres als Elementarmatrizen [mm] $F_i$ [/mm] an $A$ zu multiplizieren und erhälst.
[mm] $F_n\cdot F_{n-1}\cdots F_2 \cdot F_1 [/mm] A = E$
Was ist [mm] $\prod_{i=0}^{n-1} F_{n-i}$? [/mm] (*)
Würdest du jetzt Spaltenumformungen durchführen, so müsstest du Matrizen von rechts an die Matrix $A$ multiplizieren. Wenn du die Frage (*) dir beantwortest, so siehst du vllt. ein, dass dir Spaltenoperationen nichts bringen (es sei denn du transponierst mehrfach)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Smuji |
ich verstehe nur bahnhof.
also geht das mit den spalten nicht, sondern nur mit den zeilen ?
ich habe mal was gerechnet und es per foto angehängt..
wo ist da mein fehler ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo, dein Foto ist sehr unscharf, es geht wohl um
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
neue 1. Zeile: Zeile 1 geteilt durch 3
[mm] \pmat{ 1 & \bruch{1}{3} & \bruch{4}{3} & \bruch{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
neue 3. Zeile: Zeile 1 minus Zeile 3
[mm] \pmat{ 1 & \bruch{1}{3} & \bruch{4}{3} & \bruch{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\bruch{5}{3} & \bruch{4}{3} & \bruch{1}{3} & 0 & -1}
[/mm]
neue 3. Zeile: [mm] \bruch{5}{3} [/mm] mal Zeile 2 plus Zeile 3
[mm] \pmat{ 1 & \bruch{1}{3} & \bruch{4}{3} & \bruch{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & \bruch{1}{3} & \bruch{5}{3} & -1}
[/mm]
neue 1. Zeile: [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] mal Zeile 2 plus Zeile 1
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & \bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & \bruch{1}{3} & \bruch{5}{3} & -1}
[/mm]
neue 1. Zeile: Zeile 1 plus Zeile 3
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{2}{3} & \bruch{4}{3} & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & \bruch{1}{3} & \bruch{5}{3} & -1}
[/mm]
neue 2. Zeile: Zeile 2 minus Zeile 3
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{2}{3} & \bruch{4}{3} & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -\bruch{1}{3} & -\bruch{2}{3} & 1 \\ 0 & 0 & -2 & \bruch{1}{3} & \bruch{5}{3} & -1}
[/mm]
neue 3. Zeile: Zeile 3 geteilt durch -2
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{2}{3} & \bruch{4}{3} & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -\bruch{1}{3} & -\bruch{2}{3} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\bruch{1}{6} & -\bruch{5}{6} & \bruch{1}{2}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Do 28.11.2013 | | Autor: | Smuji |
danke,
habe es jetzt nochmal selbst probiert....komme aber wieder irgendwie auf falsche werte und habe jetzt abgebrochen.... habe es nochmal hochgeladen, was ich eben gerechnet habe...
vllt. kann mir ja jemand sagen was genau ich immer falsch mache...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
ich kann das nicht so gut lesen, aber Du scheinst gleich im ersten Schritt "1.Zeile -2*3.Zeile " zu machen.
Da ist gleich ein Rechenfehler. Die neue 1. Zeile stimmt nicht.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Do 28.11.2013 | | Autor: | Smuji |
ja, das habe ich gemacht, aber warum darf man das nicht ?
ich versuche erst ganz links die matrix auf
1
0
0 zu bekommen, danach will ich die 2. spalte umformen
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Hallo du kannst freilich für eine neue 1. Zeile rechnen:
Zeile 1 minus 2 mal Zeile 3, aber bitte korrekt
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 4 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1& -2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
deine nächster Schritt für eine neue 3. Zeile zu rechnen:
Zeile 1 minus Zeile 3
ist gut, ABER Chaos bei den Vorzeichen, so ist z.B. -3-2=-5
Steffi
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Hallo, du hast gerechnet: Zeile 1 minus 2 mal Zeile 3, bei dir steht in der neuen 1. Zeile:
1 -3 0 1 0 -2
die 0 (nach der 3) ist falsch: 4-2*0=4, die korrekte 1. Zeile
1 -3 4 1 0 -2
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Smuji |
also,
habe nochmal neu angefangen und irgendwie mache ich immer und immer wieder irgendwelche fehler.
3 1 4 l 1 0 0 - (2 x Z3)
0 1 -2 l 0 1 0
1 2 0 l 0 0 1
1 -3 4 l 1 0 -2 + (3 x Z 2)
0 1 -2 l 0 1 0
1 2 0 l 0 0 1 - Z 1
1 0 -2 l 1 3 -2
0 1 -2 l 0 1 0
0 5 -4 l -1 0 3 - (5 x Z 2)
1 0 -2 l 1 3 -2
0 1 -2 l 0 1 0
0 0 6 l -1 -5 3 : (-3 x Z 2)
1 0 -2 l 1 3 -2 + (2 x Z 3)
0 1 -2 l 0 1 0 + (2 x Z 3)
0 0 1 l -1 5/3 3
1 0 0 l -1 6 1/3 4
0 1 0 l -2 4 1/3 6
0 0 1 l -1 5/3 3
Die Lösung lautet aber:
1/6 [mm] \pmat{ 4 & 8 & -6 \\ -2 & -4 & 6 \\ -1 & -5 & 3 }
[/mm]
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> also,
>
> habe nochmal neu angefangen und irgendwie mache ich immer
> und immer wieder irgendwelche fehler.
>
>
> 3 1 4 l 1 0 0 - (2 x Z3)
> 0 1 -2 l 0 1 0
> 1 2 0 l 0 0 1
>
>
> 1 -3 4 l 1 0 -2 + (3 x Z 2)
> 0 1 -2 l 0 1 0
> 1 2 0 l 0 0 1 - Z 1
>
>
> 1 0 -2 l 1 3 -2
> 0 1 -2 l 0 1 0
> 0 5 -4 l -1 0 3 - (5 x Z 2)
>
>
> 1 0 -2 l 1 3 -2
> 0 1 -2 l 0 1 0
> 0 0 6 l -1 -5 3 : [mm] \red{(-3 x Z 2)}
[/mm]
Hallo,
das Markierte ist keine erlaubte Zeilenumformung.
Du darfst Zeilen mit Zahlen multiplizieren,
Du darfst Vielfache von Zeilen zu anderen Zeilen addieren,
aber das Durcheinanderdividieren von Zeilen "gibt's nicht".
Dividiere die letzte Zeile durch 6, dann hast Du Deine 1 da, wo Du sie willst.
LG Angela
>
>
> 1 0 -2 l 1 3 -2 + (2 x Z 3)
> 0 1 -2 l 0 1 0 + (2 x Z 3)
> 0 0 1 l -1 5/3 3
>
>
> 1 0 0 l -1 6 1/3 4
> 0 1 0 l -2 4 1/3 6
> 0 0 1 l -1 5/3 3
>
>
> Die Lösung lautet aber:
>
> 1/6 [mm]\pmat{ 4 & 8 & -6 \\ -2 & -4 & 6 \\ -1 & -5 & 3 }[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Smuji |
danke,
dann mache ich mal weiter, nachdem ich die 3. zeile durch 6 geteilt habe
1 0 -2 l 1 3 -2 + 2 x Z3
0 1 -2 l 0 1 0 + 2 x Z3
0 0 1 l -1/6 -5/6 3/6
1 0 0 l 4/6 8/6 -1
0 1 0 l -2/6 -4/6 1
0 0 1 l -1/6 -5/6 3/6
wie du siehst, stimmt meine lösung leider immernoch nciht mit der lösung im buch überein ?!?!? =(
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Hallo,
du hast mit der inversen Matrix
[mm] \pmat{ \bruch{4}{6} & \bruch{8}{6} & -1 \\ -\bruch{2}{6} & -\bruch{4}{6 & 1} \\ -\bruch{1}{6} & -\bruch{5}{6} & \bruch{3}{6} }
[/mm]
alles korrekt berechnet, ziehe jetzt den Faktor [mm] \bruch{1}{6} [/mm] raus
[mm] \bruch{1}{6}\pmat{ 4 & 8 & -6 \\ -2 & -4 & 6 \\ -1 & -5 & 3 }
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Smuji |
ah, vielen dank... aber MÜSSTE man den faktor 1/6 rausziehen ? oder könnte man ihn auch drinnen lassen ?
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Hallo, das ist nicht zwingend notwendig, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Smuji |
ok,
vielen dank
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