Invertierbare Matrix? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Sa 02.12.2006 | | Autor: | patb |
Hallo,
ich habe ziemliche Probleme was invertierbare Matrizen angeht. Basierend auf den beiden Aufgaben, dass ich 1. zeigen soll, dass die Matrix A invertierbar ist und 2. muss gezeigt werden, dass die Inverse von A vollbesetzt ist (d.h. alle Elemente [mm] \not= [/mm] 0 ).
Es handelt sich dabei um folgende Matrix:
A = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0}
[/mm]
Ich möchte es nicht (jedenfalls noch nicht ;) vorgerechnet bekommen, wäre aber sehr sehr dankbar für einen Hinweis, wie man anfängt, wenn man zeigen möchte, dass die Matrix A invertierbar ist.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo,
wenn du zeigen sollst, das die Matrix invertierbar ist und wie die Inverse aussieht, ist doch die einfachste Möglichkeit die Inverse einfach auszurechnen.
Dazu bauchst du dir ein System, wo die zu invertierende Matrix links steht, und die Einheitsmatrix entsprechender Größe rechts. Dann formst du dass mit dem elementaren Zeilenumformungen um, bis links die Einheitsmatrix steht, und das auf der rechten Seite ist dann deine Inverse.
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0} \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Viele Grüße,
Sara
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 03.12.2006 | | Autor: | patb |
Hallo,
danke für Deine Antwort. Leider bin ich noch ziemlich am Anfang, was lineare Gleichungssysteme angeht. Ich versuche ja, die linke Matrix zur Einheitsmatrix zu machen, nun habe ich per Gauß Verfahren die Matrix zunächst in eine Dreiecksmatrix gebracht:
A = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{3}{2} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{4}{3} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{5}{4} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\bruch{4}{5}}
[/mm]
Nun muss aber natürlich noch die Diagonale auf 1 gebracht werden, und die Diagonale dadrüber auf 0, damit die Einheitsmatrix entsteht. Aber das kriege ich irgendwie nicht hin, denn wenn ich anfange, die Zeilen umzuformen, verschwinden wieder die Nullen in der linken unteren Dreiecksmatrix.
Gibt es da auch ein algorithmisches Verfahren, wie ich nun weiter machen kann? Kann ich die Zeilen intelligent vertauschen? Oder wende ich Gauß nun irgendwie "von unten" an? Über Hilfe wäre ich sehr dankbar, vielleicht mit einem ersten Schritt, wie man in meiner Situation nun weiter macht? Oder ist der Weg, den ich eingeschlagen habe, falsch?
Vielen Dank!
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Hallo patb!
> Hallo,
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> danke für Deine Antwort. Leider bin ich noch ziemlich am
> Anfang, was lineare Gleichungssysteme angeht. Ich versuche
> ja, die linke Matrix zur Einheitsmatrix zu machen, nun habe
> ich per Gauß Verfahren die Matrix zunächst in eine
> Dreiecksmatrix gebracht:
>
> A = [mm]\pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{3}{2} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{4}{3} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{5}{4} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\bruch{4}{5}}[/mm]
>
> Nun muss aber natürlich noch die Diagonale auf 1 gebracht
> werden, und die Diagonale dadrüber auf 0, damit die
> Einheitsmatrix entsteht. Aber das kriege ich irgendwie
> nicht hin, denn wenn ich anfange, die Zeilen umzuformen,
> verschwinden wieder die Nullen in der linken unteren
> Dreiecksmatrix.
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> Gibt es da auch ein algorithmisches Verfahren, wie ich nun
> weiter machen kann? Kann ich die Zeilen intelligent
> vertauschen? Oder wende ich Gauß nun irgendwie "von unten"
> an? Über Hilfe wäre ich sehr dankbar, vielleicht mit einem
> ersten Schritt, wie man in meiner Situation nun weiter
> macht? Oder ist der Weg, den ich eingeschlagen habe,
> falsch?
Du kannst doch jetzt die letzte Zeile durch [mm] -\bruch{4}{5} [/mm] teilen, dann hast du in der letzten Zeile schon mal eine 1 stehen. Dann kannst du die vorletzte Zeile minus ein geeignetes Vielfaches der letzten rechnen, und bekommst dort in der letzten Spalte eine Null hin. Dann kannst du die vorletzte Zeile schätzungsweise auch durch [mm] \bruch{4}{5} [/mm] teilen und hast in dieser Zeile nur noch eine 1 stehen. Und dann kannst du wieder die Zeile davor minus ein geeignetes Vielfaches von dieser Zeile rechnen und so weiter und so weiter.
Wenn du allerdings nur zeigen möchtest, dass die Matrix invertierbar ist, kannst du auch einfach die Determinante berechnen. Das geht bei Matrizen mit vielen Nullen auch recht schnell, und wenn du die Matrix schon auf Dreiecksgestalt gebracht hast, dann ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente. Und da diese hier offensichtlich alle [mm] \not=0 [/mm] sind, ist auch das Produkt und somit die Determinante [mm] \not=0.
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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