Isomorphismus von Ringen mit 1 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 Di 03.01.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Eine Abbildung [mm] \psi [/mm] zwischen zwei Ringen mit 1 heißt Isomorphismus von Ringen mit 1, falls [mm] \psi [/mm] bijektiv ist und für alle [mm] a,b\in \IR [/mm] die Eigenschaft [mm] \psi (a+b)=\psi(a)+\psi(b), \psi(a*b)=\psi(a)*\psi(b) [/mm] und [mm] \psi(1)=1 [/mm] erfüllt sind.
Es sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Wir wählen eine feste Basis B von V.
Zeige: Die Abbildung [mm] \psi:End_K(V)\to M_{nxn}(K),
[/mm]
[mm] F\mapsto M_B^B(F) [/mm] ist ein isomorphismus von Ringen mit 1 |
Das Belesen zu dieser Aufgabe ist wohl gescheitert, meine Algebra Büche rhaben mich hier im Stich gelassen.
Könnt ihr mir erklären was ich machen muss? Wie kann ich das was zu zeigen ist zeigen?
heinzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Di 03.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Eine Abbildung [mm]\psi[/mm] zwischen zwei Ringen mit 1 heißt
> Isomorphismus von Ringen mit 1, falls [mm]\psi[/mm] bijektiv ist und
> für alle [mm]a,b\in \IR[/mm] die Eigenschaft [mm]\psi (a+b)=\psi(a)+\psi(b), \psi(a*b)=\psi(a)*\psi(b)[/mm]
> und [mm]\psi(1)=1[/mm] erfüllt sind.
> Es sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler
> K-Vektorraum. Wir wählen eine feste Basis B von V.
>
> Zeige: Die Abbildung [mm]\psi:End_K(V)\to M_{nxn}(K),[/mm]
> [mm]F\mapsto M_B^B(F)[/mm]
> ist ein isomorphismus von Ringen mit 1
> Das Belesen zu dieser Aufgabe ist wohl gescheitert, meine
> Algebra Büche rhaben mich hier im Stich gelassen.
>
> Könnt ihr mir erklären was ich machen muss? Wie kann ich
> das was zu zeigen ist zeigen?
>
>
> heinzel
1. [mm] End_K(V) [/mm] ist ein Ring mit Einselement.
2. [mm] M_{nxn}(K) [/mm] ist ein Ring mit Einselement.
3. Zu jedem F [mm] \in End_K(V) [/mm] gibt es genau eine Matrix A [mm] \in M_{nxn}(K) [/mm] mit
[mm] A=M_B^B(F) [/mm] .
Damit haben wir eine Abb. Abbildung $ [mm] \psi:End_K(V)\to M_{nxn}(K), [/mm] $ def. durch
[mm] \psi(F):= M_B^B(F) [/mm] .
Zeigen sollst Du: [mm] \psi [/mm] ist ein Ringisomorphismus.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Di 03.01.2012 | | Autor: | heinze |
Danke für die schnelle Antwort!
Ringisomorphismus haben wir in der Vorlesung nur sehr spärlich durchgenommen, wenn überhaupt vollständig. Das Wissen dazu fehlt mir an der Stelle.
Kannst du mir das Vorgehen erklären? Wäre nett zum Verständnis.!
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Di 03.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Ringisomorphismus haben wir in der Vorlesung nur sehr
> spärlich durchgenommen, wenn überhaupt vollständig. Das
> Wissen dazu fehlt mir an der Stelle.
>
> Kannst du mir das Vorgehen erklären? Wäre nett zum
> Verständnis.!
Na, alles wichtige hattest du doch schon geschrieben.
Du nimmst dir zwei Endomorphismen $F, G [mm] \in End_K(V)$, [/mm] und sollst zeigen:
(a) [mm] $\psi(F \circ [/mm] G) = [mm] \psi(F) \cdot \psi(G)$;
[/mm]
(b) [mm] $\psi(F [/mm] + G) = [mm] \psi(F) [/mm] + [mm] \psi(G)$.
[/mm]
Weiterhin sollst du zeigen [mm] $\psi(id_V) [/mm] = [mm] E_n$ [/mm] (Einheitsmatrix).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Di 03.01.2012 | | Autor: | heinze |
Wie zeige ich das mit den Endomorphismen? Kannst du mir das mal zeigen?
Außerdem verstehe ich nicht was es mit der Abbildung auf sich hat, der darstellungsmatrix als Abbildung.
Wäre toll wenn ihr mir das erklären könnt! ;)
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Mi 04.01.2012 | | Autor: | heinze |
Gibt es hier niemanden der mir das erklären kann?
LG heinze
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> Wie zeige ich das mit den Endomorphismen? Kannst du mir das
> mal zeigen?
>
> Außerdem verstehe ich nicht was es mit der Abbildung auf
> sich hat, der darstellungsmatrix als Abbildung.
>
> Wäre toll wenn ihr mir das erklären könnt! ;)
Hallo,
Du sollst zeigen, daß die Abbildung
$ [mm] \psi:End_K(V)\to M_{nxn}(K) [/mm] $ mit [mm] \psi(F):=M_B^B(F) [/mm] f.a. [mm] F\in End_K(V)
[/mm]
ein Isomorphismus von Ringen mit 1 ist.
Was dazu anzumerken und zu tun ist, wurde Dir doch von Fred und Felix bereits gesagt.
Nochmal zur Abbildung [mm] \psi: [/mm] sie ordnet jedem Endomorphismus ihre Darstellungsmatrix zu.
Ich gehe davon aus, daß Du mit den Darstellungsmatrizen von linearen Abbildungen vertraut bist.
Zur Wiederholung:
wenn Du Endomorphismen F und G hast und die zugehörigen Darstellungsmatrizen bzgl einer Basis B, wie bekommst Du dann die Darstellungsmatrix von F+G?
Wenn Du Endomorphismen F und G hast und die zugehörigen Darstellungsmatrizen bzgl einer Basis B, wie bekommst Du dann die Darstellungsmatrix von [mm] F\circ [/mm] G?
Jetzt knöpfe Dir a) vor.
Zu zeigen:
$ [mm] \psi(F \circ [/mm] G) = [mm] \psi(F) \cdot \psi(G) [/mm] $.
Wende die Definitionsgleichung auf $ [mm] \psi(F \circ [/mm] G) $ an, wende sie auf $ [mm] \psi(F) \cdot \psi(G) [/mm] $, und dann solltest Du die in der linearen Algebra erworbenen Kenntnisse über Darstellungsmatrizen in die Waagschale werfen.
Gruß v. Angela
>
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 07.01.2012 | | Autor: | heinze |
Endomorphismus, Isomorphismus- das ist ein Thema was mir wohl immer fremd bleiben wird!
Vorlesungen arbeite ich so wie ich es zeitlich schaffe generell immer nach, nacharbeiten im Sinne von Definitionen nachschlagen und versuchen zu verstehen sowie Übungsbeispiele durchrechnen die ich in Büchern habe.
Aber diese Aufgabe verstehe ich nicht, auch nicht mit den Tipps von euch.
ich kann eine Darstellungsmatrix berechnen wenn ich 2 Basen gegeben habe und eine Abbildungsvorschrift. Aber das mit Endomorphismus und Isomorphismus ist mir trotz nachschlagen fremd.
Vielleicht könnt ihr mir bei der a) helfen und das mal ausführlich erklären?
LG heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Kann evtl mal jemand den Anfang vorrechnen? Ich kann mit der Aufgabe leider so gar nichts anfangen : (
LG
Fin
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> Endomorphismus, Isomorphismus- das ist ein Thema was mir
> wohl immer fremd bleiben wird!
Hallo,
wenn Du Mathematik studieren möchtest, darfst Du das nicht als tatsache hinnehmen, sonst kannst Du einpacken.
Du mußt aktiv werden und selbst zubeißen, kauen und schlucken. Die Zeiten, in denen Du wie ein Baby gefüttert wirst (=Schulzeiten) sind vorbei.
Ich weiß aus eigenem Erleben, daß es ein Weilchen dauert, bis man das geschnallt hat und dann vor allem adäquat handelt.
> Aber diese Aufgabe verstehe ich nicht, auch nicht mit den
> Tipps von euch.
> ich kann eine Darstellungsmatrix berechnen wenn ich 2
> Basen gegeben habe und eine Abbildungsvorschrift. Aber das
> mit Endomorphismus und Isomorphismus ist mir trotz
> nachschlagen fremd.
>
> Vielleicht könnt ihr mir bei der a) helfen und das mal
> ausführlich erklären?
Du bist echt drollig: es haben hier in Thread jetzt drei Leute erklärt, was zu tun ist.
Und das einzige, was Dir dazu einfällt, ist das Rumheulen.
Ich habe viel verständnis dafür, wenn man nicht alles sofort begreift, aber es regt mich ziemlich auf, daß hier mit keiner Silbe auf das, was bereits geschrieben wurde, eingegangen wird.
Ich würde erwarten, daß sich bei weiteren Fragen konkret auf das Geschriebene bezogen wird, meinetwegen auch ganz konkrete Fragen zur Aufgabenstllung gestellt werden. Ein weinerliches "Is tan niss" ist nicht sehr nützlich.
Wenig nützlich wäre es auch, die Lösung einfach vorzumachen.
Ihr sollt doch lernen, Euch durch die Aufgabenstellung zu arbeiten und mit dem Material umzugehen.
Daß eine Aufgabenstellung nicht sofort verständlich ist, ist nicht ungewöhnlich und kein Drama. Man muß dann halt nach und nach alle Begriffe und Zusammenhänge klären.
So, weil der Tag noch jung ist und mich noch keiner geärgert hat, jetzt doch nochmal zur Aufgabe, obgleich alles, was ich sagen werde, bereits gesagt wurde.
Zunächst die Aufgabenstellung:
| Aufgabe | Eine Abbildung $ [mm] \psi [/mm] $ zwischen zwei Ringen mit 1 heißt Isomorphismus von Ringen mit 1, falls $ [mm] \psi [/mm] $ bijektiv ist und für alle $ [mm] a,b\in \IR [/mm] $ die Eigenschaft $ [mm] \psi (a+b)=\psi(a)+\psi(b), \psi(a\cdot{}b)=\psi(a)\cdot{}\psi(b) [/mm] $ und $ [mm] \psi(1)=1 [/mm] $ erfüllt sind.
Es sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Wir wählen eine feste Basis B von V.
Zeige: Die Abbildung $ [mm] \psi:End_K(V)\to M_{nxn}(K), [/mm] $
$ [mm] F\mapsto M_B^B(F) [/mm] $ ist ein isomorphismus von Ringen mit 1 |
Im ersten Absatz wird erklärt, was ein Ringisomorphismus zwischen Ringen mit 1 überhaupt ist:
man braucht dafür zwei Ringe mit 1, und eine bijektive Abbildung zwischen diesen Ringen, welche die genannten drei Eigenschaften hat.
Es folgt nun die Aufgabe: von der angegebenen Abbildung soll man zeigen, daß es sich um einen Ringisomorphismus von Ringen mit 1 handelt.
Da wir wissen, daß Ringisomorphismus von Ringen mit 1 Abbildungen aus einem Ring mit 1 in einen Ring mit 1 sind, sollte zunächst einmal dies geprüft werden und auch bei der Lösung der Aufgabe erwähnt werden.
Aus welcher Menge in welche Menge wird hier abgebildet?
Handelt es sich hierbei um Ringe mit 1? (Dies ist der Vorlesung zu entnehmen.)
[mm] End_K(V) [/mm] enthält alle K-linearen Abbildungen aus V in V.
Welches sind die Verknüpfungen, mit denen [mm] End_V(K) [/mm] zum Ring wird?
Was ist das Einselement in End_KV?
[mm] M_{nxn}(K) [/mm] ist die Menge der [mm] n\times [/mm] n-Matrizen mit Einträgen aus K.
Mit welchen Verknüpfungen wird diese Menge ein Ring? Welches ist das Einselement?
Jetzt schauen wir die Abbildung [mm] \psi, [/mm] von welcher gezeigt werden soll, daß es ein Isomorphismus von Ringen mit 1 ist, genauer an.
Was tut sie?
Jeder linearen Abbildung [mm] f:V\to [/mm] V ordnet sie eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix zu, nämlich die Darstellungsmatrix von f bzgl der Basis B.
Man sollte an dieser Stelle kurz in sich gehen und sich fragen:
geht das überhaupt? Was ist, wenn es zu f zwei Darstellungsmatrizen bzgl B gibt?
Hier hilft die Vorlesung: es gibt genau eine solche Matrix.
Kurz: die Abbildung ist wohldefiniert - erwähnenswert bei der Lösung der Aufgabe.
Man hat uns also keinen Mist untergejubelt, und es ist sinnvoll, mit der eigentlichen Untersuchung der Abbildung zu beginnen.
Gezeigt werden muß hier nun:
A.
[mm] \psi [/mm] ist injektiv.
Was ist hierfür zu tun?
B.
[mm] \psi [/mm] ist bijektiv.
Was ist hierfür zu tun?
C.
Für alle [mm] f,g\in (End_V, [/mm] +, [mm] \circ)- [/mm] ich schreibe hier die Verknüpfungen der Deutlichkeit halber hinzu - gilt
[mm] \psi (f+g)=\psi(f)+\psi(g) [/mm] .
Ich hatte zuvor schon dazu aufgefordert, an dieser Stelle doch einfach mal die Definitionsgleichung von [mm] \psi [/mm] zu verwenden. Warum macht es keiner? Wo genau ist das Problem?
Wenn Ihr das mal verraten würdet, könnte man ja helfen!
Was ist [mm] \psi [/mm] (f+g)? Was ist [mm] \psi(f)+\psi(g)?
[/mm]
Wenn das dasteht, können wir überlegen, wie es weitergeht - ich meine eigentlich, daß alles, was man jetzt noch braucht, in der Vorlesung bereits gezeigt wurde.
D.
Für alle [mm] f,g\in (End_V, [/mm] +, [mm] \circ) [/mm] gilt
[mm] \psi (f\circ g)=\psi(f)*\psi(g) [/mm] .
s.o.
E.
$ [mm] \psi(1_{End_KV})=1_{M_{nxn}(K)} [/mm] $
Was ist die Eins in End_KV?
Was ist Ihr Bild?
Und? Ist das die Eins im Matrizenring?
So, und jetzt bitte ich um ein wenig Aktivität.
In Latein war ich ja nicht so die Leuchte, aber ich habe in dunkler Erinnerung, daß "studere" mit "sich ereifern, bemühen" zu übersetzen ist und nicht mit "jammern" oder "chillen".
LG Angela
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Gut, dass ich nicht die Einzige bin die mit dieser Aufgabe echte Probleme hat!!
Ich habe schon Probleme damit zu verstehen was das für eine Abbildung ist, also das Vorstellungsvermögen fehlt.
A:
[mm] \phi [/mm] ist injektiv
(Warum muss ich das zeigen?)
Reicht es nicht zu zeigen dass [mm] \phi [/mm] bijektiv ist und das [mm] \phi [/mm] ein Homomorphismus ist? Das beiden kennzeichnet doch einen Isomorphismus.
Ich weiß genau was bei der Aufgabe zu machen ist aber ich habe keine Vorstellung wie ich injektivität/Bijektivität mit der Abbildung zeigen kann, weil ich die Abbildung nicht anwenden kann. Und ich weiß nicht was F,G sein sollen, also wie die aussehen sollen.
Ich verstehe es nicht und ich habe mir tatsächlich viele Gedanken gemacht!!
MfG
Mathegirl
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> Gut, dass ich nicht die Einzige bin die mit dieser Aufgabe
> echte Probleme hat!!
Hallo,
natürlich bist Du nicht die Einzige! Sie wird vielen deiner Kommilitonen nicht auf Anhieb klar sein, und das ist völlig okay.
Man darf und soll sogar mit der Aufgabe Probleme haben - denn man soll lernen, Probleme zielstrebig zu lösen.
>
> Ich habe schon Probleme damit zu verstehen was das für
> eine Abbildung ist, also das Vorstellungsvermögen fehlt.
Mathematik ist so gemacht, daß man sich nicht zu allem eine Vorstellung machen kann, muß und soll.
Wichtig ist, daß Du weißt, daß die Abbildung [mm] \psi [/mm] eine Abbildung ist, die lineare Abbildungen auf ihre darstellungsmatrix bzgl. B abbildet.
>
> A:
> [mm]\phi[/mm] ist injektiv
> (Warum muss ich das zeigen?)
>
> Reicht es nicht zu zeigen dass [mm]\phi[/mm] bijektiv ist
Scherzkeks! Was bedeutet den bijektiv? Injektiv und surjektiv...
> und das
> [mm]\phi[/mm] ein Homomorphismus ist?
Klar muß das gezeigt werden. Schrieb ich doch.
Sogar schrieb ich, wa sdafür zu tun ist.
> Das beiden kennzeichnet doch
> einen Isomorphismus.
Ja. Ein Homomorphismus zwischen Ringen mit 1, welcher bijektiv ist, ist ein Ringisomorphismus zwischen Ringen mit 1.
>
> Ich weiß genau was bei der Aufgabe zu machen ist
Gut.
> aber ich
> habe keine Vorstellung wie ich injektivität/Bijektivität
> mit der Abbildung zeigen kann, weil ich die Abbildung nicht
> anwenden kann.
Kannst Du vielleicht genauer sagen, wo das Problem ist.
Ich mein, die Definitionsgleichung steht ja, und wenn h ein Endomorphismus von V ist, dann ist [mm] \psi(h)=M_B^B(h).
[/mm]
Es ist zunächst einmal gar nicht nötig, daß Du diese Matrix explizit angibst.
> Und ich weiß nicht was F,G sein sollen,
> also wie die aussehen sollen.
[mm] \psi [/mm] ist definiert auf V, also sind F und G irgendwelche Endomorphismen von V. Genaueres über sie ist nicht bekannt.
> Ich verstehe es nicht und ich habe mir tatsächlich viele
> Gedanken gemacht!!
Auch für Dich gilt, was ich den Kommilitonen geschrieben habe: ich würde jetzt erwarten, daß man sich mit dem Post, in welchem ich mich der Aufgabe und den Hinweisen, die zu ihrer Lösung führen können, recht ausführlich gewidmet habe, beschäftigt, und in Rückfragen konkret darauf eingeht.
Sonst beginnen wir nämlich immer wieder von vorn.
LG Angela
>
>
> MfG
> Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 So 08.01.2012 | | Autor: | heinze |
So kommen wir hier alle nicht weiter! Ich denke jeder hier hat sich einen Kopf gemacht die Aufgabe zu verstehen, zu lösen und nicht umsonst gibt es hier solche Schwierigkeiten das zu zeigen.
Es wäre sicher sinnvoll mal den Anfang zu zeigen, damit überhaupt eine Vorstellung davon da ist, wie man hier vorgehen muss. Morgen früh ist Abgabe und es wäre sicher im Interesser aller, wenn man es zumindest durch Erklärung nachvollziehen kann.
Wenn die Aufgabe abgegeben ist erfolgt sowieso keine Erklärung mehr und in der Klausur wird es womöglich verlangt.
LG heinze
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> So kommen wir hier alle nicht weiter! Ich denke jeder hier
> hat sich einen Kopf gemacht die Aufgabe zu verstehen, zu
> lösen und nicht umsonst gibt es hier solche
> Schwierigkeiten das zu zeigen.
>
> Es wäre sicher sinnvoll mal den Anfang zu zeigen, damit
> überhaupt eine Vorstellung davon da ist, wie man hier
> vorgehen muss.
Hallo,
ich habe hier sehr ausführlich geschrieben, was zu tun ist, und ich würde wirklich erwarten, daß irgendetwas damit gemacht wird,insbesondere, daß an Stellen, die unklar sind, ganz konkret nachgefragt wird.
Ich sehe keinerlei Ansätze, die zeigen, daß sich ernsthaft damit auseinandergesetzt wurde.
Den Anfang habe ich bereits gemacht, indem ich die Aufgabe genauestens erläutert habe.
> früh ist Abgabe
Ziel des Matheraumes ist es, ein wenig zum Verständnis der Mathematik beizutragen und Tips zu geben, die zur Lösung von Problemen führen können. Wenn dies zur Folge hat, daß Abgabetermine eingehalten werden können: gut!
Aber die Termine als solche sind für das Tun hier im MR unerheblich. Es geht um die Sache.
> und es wäre sicher
> im Interesser aller, wenn man es zumindest durch Erklärung
> nachvollziehen kann.
Sag mal, geht's noch?
Ich glaube, ausführlicher als ich es getan habe, kann man eine Aufgabe kaum erklären.
Was erwartest Du eigentlich noch?
Ich werde sie sicher nicht mundgerecht zum Abschreiben servieren - dies würde auch der Zielsetzung des Forums völlig zuwiderlaufen und nebenbei bemerkt auch den hier mitlesenden Lehrpersonen nicht gefallen.
Daß ich durchaus gern und ausdauernd helfe, kannst Du an vielen Beiträgen im Forum sehen - ich denke auch Du hast schon einiges von meiner Lebenszeit geschenkt bekommen.
In dem Post, welches ich hier verlinkt habe, falls es übersehen worden sein sollte, habe ich einige Fragen gestellt, welche dem Fortgang der Sache und dem Beginn eines Dialoges, welcher zur Lösung führt, dienen sollen.
Vielleicht solltest Du bzw. Ihr darauf mal eingehen, sofern Euch am Verständnis gelegen ist.
LG Angela
> Wenn die Aufgabe abgegeben ist erfolgt sowieso keine
> Erklärung mehr und in der Klausur wird es womöglich
> verlangt.
>
>
> LG heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 So 08.01.2012 | | Autor: | triad |
[mm] \psi (f\circ g)=\psi(f)\cdot{}\psi(g)
[/mm]
$ [mm] \psi(f\circ [/mm] g) = [mm] M_B^B(f\circ [/mm] g) $ nach Definition.
Nun haben wir in der Vorlesung schon definiert: $ [mm] M_B^B(f\circ [/mm] g) = [mm] M_B^B(f)\cdot M_B^B(g) [/mm] $ .
Und dann [mm] \psi [/mm] sozusagen rückwärts anweden $ [mm] M_B^B(f)\cdot M_B^B(g) [/mm] = [mm] \psi(f)\cdot\psi(g)$ [/mm] .
Aber: Wie genau kommt man von $ [mm] M_B^B(f\circ [/mm] g) $ nach $ [mm] M_B^B(f)\cdot M_B^B(g) [/mm] $ ? Warum ist das gleich?
$ [mm] \psi (f+g)=\psi(f)+\psi(g) [/mm] $ geht, denk ich mal, analog.
$ [mm] 1_{M_{nxn}(K)} [/mm] $ ist die Einheitsmatrix [mm] E_n. [/mm]
$ [mm] 1_{End_KV} [/mm] $ ist [mm] id_V.
[/mm]
Also ist zu zeigen [mm] \psi(id_V) [/mm] = [mm] E_n.
[/mm]
Soweit erstmal.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 So 08.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\psi (f\circ g)=\psi(f)\cdot{}\psi(g)[/mm]
>
> [mm]\psi(f\circ g) = M_B^B(f\circ g)[/mm] nach Definition.
> Nun haben wir in der Vorlesung schon definiert:
> [mm]M_B^B(f\circ g) = M_B^B(f)\cdot M_B^B(g)[/mm] .
Nein. Das habt Ihr nicht definiert, sondern gezeigt !
> Und dann [mm]\psi[/mm] sozusagen rückwärts anweden [mm]M_B^B(f)\cdot M_B^B(g) = \psi(f)\cdot\psi(g)[/mm]
> .
>
> Aber: Wie genau kommt man von [mm]M_B^B(f\circ g)[/mm] nach
> [mm]M_B^B(f)\cdot M_B^B(g)[/mm] ? Warum ist das gleich?
Das habt Ihr in der Vorlesung sicher bewiesen. Anwenden darfst Du es.
>
> [mm]\psi (f+g)=\psi(f)+\psi(g)[/mm] geht, denk ich mal, analog.
Ja
FRED
>
> [mm]1_{M_{nxn}(K)}[/mm] ist die Einheitsmatrix [mm]E_n.[/mm]
> [mm]1_{End_KV}[/mm] ist [mm]id_V.[/mm]
> Also ist [mm]\psi(id_V)[/mm] = [mm]E_n.[/mm]
>
> Soweit erstmal.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 So 08.01.2012 | | Autor: | triad |
zu den Einselementen, also $ [mm] \phi(1)=1 [/mm] $ bzw. [mm] \phi(id_V)=E_n:
[/mm]
$ [mm] \phi(id_V)=\phi(F\circ F^{-1})=M_B^B(F\circ F^{-1})=M_B^B(F)\cdot M_B^B(F^{-1})=^?M_B^B(F)\cdot M_B^B(F)^{-1}=E_n [/mm] $
Geht das? Wenn nein, wie könnte es gehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 So 08.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> zu den Einselementen, also [mm]\phi(1)=1[/mm] bzw. [mm]\phi(id_V)=E_n:[/mm]
>
> [mm]\phi(id_V)=\phi(F\circ F^{-1})=M_B^B(F\circ F^{-1})=M_B^B(F)\cdot M_B^B(F^{-1})=^?M_B^B(F)\cdot M_B^B(F)^{-1}=E_n[/mm]
>
> Geht das?
Nein. Um [mm] $M_B^B(F)^{-1} [/mm] = [mm] M_B^B(F^{-1})$ [/mm] zu zeigen, brauchst du [mm] $M_B^B(id_V) [/mm] = [mm] E_n$.
[/mm]
> Wenn nein, wie könnte es gehen?
Verwende die Definition von [mm] $M_B^B(id_V)$. [/mm] Wie ist die Matrix definiert?
LG Felix
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für [mm] \phi(f\circ g)=\phi(f)*\phi(g)
[/mm]
[mm] \phi(f\circ g)=M_B^B(f\circ [/mm] g)= [mm] M_B^B(f)*M_B^B(g))=\phi(f)*\phi(g)
[/mm]
für [mm] \phi(f+g)=\phi(f)+\phi(g)
[/mm]
[mm] \phi(f+g)=M_B^B(f+g)=M_B^B(f)+M_B^B(g)=\phi(f)+\phi(g)
[/mm]
Das reicht doch aber sicher nicht um das zu zeigen oder ist das so schon ausführlich genug? Wie kann ich das Vorgehen begründen?
[mm] \phi(id_V)=E_n
[/mm]
[mm] \phi(F\circ F^{-1})=M_B^B(F\circ F^{-1})=M_B^B(F)*M_B^B(F^{-1})=... [/mm] und hier weiß ich nicht genau weiter.
[mm] M_B^B(id)*M_B^B(id)=E [/mm] aber wie wende ich da shier an?
MfG
Mathegirl
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> für [mm]\phi(f\circ g)=\phi(f)*\phi(g)[/mm]
>
> [mm] \phi(f\circ g)=\green{M_B^B(f\circ g)= M_B^B(f)*M_B^B(g))}=\phi(f)*\phi(g)
[/mm]
>
>
>
> für [mm]\phi(f+g)=\phi(f)+\phi(g)[/mm]
> [mm] \phi(f+g)=\green{M_B^B(f+g)=M_B^B(f)+M_B^B(g)}=\phi(f)+\phi(g)
[/mm]
>
> Das reicht doch aber sicher nicht um das zu zeigen oder ist
> das so schon ausführlich genug? Wie kann ich das Vorgehen
> begründen?
Hallo,
das Grüne sollte aus der Vorlesung bekannt sein, begründen tust Du es mit der Nr. des entsprechenden Sätzchens.
Falls es wider Erwarten nicht bekannt ist, muß diese Gleichheit natürlich gezeigt werden, aber da Ihr schon länger mit Darstellungsmatrizen am Rumwurschteln seid, wirst Du es in der Mitschrift/im Skript finden.
>
> [mm]\phi(id_V)=E_n[/mm]
>
> [mm]\phi(F\circ F^{-1})=M_B^B(F\circ F^{-1})=M_B^B(F)*M_B^B(F^{-1})=...[/mm]
> und hier weiß ich nicht genau weiter.
>
> [mm]M_B^B(id)*M_B^B(id)=E[/mm] aber wie wende ich da shier an?
>
Du willst doch einfach bloß zeigen, daß [mm] \phi(id_V)=M_B^B(id)=E_n.
[/mm]
Stell doch kurzerhand die Darstellungsmatrix von [mm] id_V [/mm] bzgl der Basis [mm] B:=(b_1,...,b_n) [/mm] auf!
Was steht in den Spalten der Darstellungsmatrix?
LG Angela
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> MfG
> Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 So 08.01.2012 | | Autor: | triad |
Wir hatten in der Vorlesung $ [mm] M^A_{A'}(id)=(M_A^{A'}(id))^{-1}=M_A^{A'}(id) [/mm] $.
Vielleicht hilft das ;)
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> Wir hatten in der Vorlesung
> [mm]M^A_{A'}(id)=(M_A^{A'}(id))^{-1}=M_A^{A'}(id) [/mm].
> Vielleicht
> hilft das ;)
Hallo,
wofür willst Du denn mit dem Inversen rummachen?
Man kann doch [mm] M_B^B(id) [/mm] direkt hinschreiben, wenn man weiß wie man Darstellungsmatrizen aufstellt. (wie geht das denn?)
Gruß v. Angela
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Kann mir vielleicht jemand zeigen wie man die Identität zeigt?
Ich komme immer auf ähnliche Argumentation wie bisher gepostet wurden. Eine andere Idee habe ich nicht mehr.
MfG
Mathegirl
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> Kann mir vielleicht jemand zeigen wie man die Identität
> zeigt?
>
> Ich komme immer auf ähnliche Argumentation wie bisher
> gepostet wurden. Eine andere Idee habe ich nicht mehr.
Hallo,
erstens mal denke ich, daß es aus der VL klar ist, daß [mm] M_B^B(id_V)=E_n.
[/mm]
Falls nicht:
sei [mm] B:=(b_1,...,b_n) [/mm] eine Basis von V.
Was ist [mm] id_V(b_i)?
[/mm]
Wie geht das mit den Darstellungsmatrizen? (Sprüchlein?)
LG Angela
>
>
> MfG
> Mathegirl
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In den Spalten der Darstellungmatrix [mm] M_B^B [/mm] bzgl. der Basen B im Start- und B im Zielraum stehen die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung in Koordinaten bzgl. B.
ich kann das hier irgendwie schlecht anwenden.
Das [mm] M_B^B(id_V)=E_n [/mm] ist ist eigentlich logisch aber ich kann es nicht anwenden, vielleicht weil es schon zu logisch ist!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Mo 09.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> In den Spalten der Darstellungmatrix [mm]M_B^B[/mm] bzgl. der Basen
> B im Start- und B im Zielraum stehen die Bilder der
> Basisvektoren von B unter der Abbildung in Koordinaten
> bzgl. B.
>
> ich kann das hier irgendwie schlecht anwenden.
Das ist nicht Dein Ernst ?! Willst Du uns verkackeiern ?
Zujm allerletzten Mal:
Ist [mm] \{b_1,...,b_n\} [/mm] eine Basis von V, so gilt doch
$ [mm] id_V(b_j)= 0*b_1+...+0*b_{j-1}+1*b_j+0*b_{j+1}+...+0*b_n [/mm] $
Wie sieht also die j-te Spalte der gesuchten Matrix aus ???
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> Das [mm]M_B^B(id_V)=E_n[/mm] ist ist eigentlich logisch aber ich
> kann es nicht anwenden, vielleicht weil es schon zu logisch
> ist!
Mit Verlaub, aber so was dummes habe ich noch nie gehört.
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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