Kardinalität < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Di 21.10.2008 | | Autor: | Pawelos |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe, E und F Untergruppen von G.
EF = {e*f | e [mm] \in [/mm] E, f [mm] \in [/mm] F}
Zeige: |EF| * |E [mm] \cap [/mm] F| = |E| * |F| |
HI hab einiges versucht aber ich komme nicht dahinter!!!
zuletzt hab ich versucht eine Äquivalenzrelation auf E [mm] \times [/mm] F zu definieren:
[mm] (e_{i},f_{i}) [/mm] ~ [mm] (e_{j},f_{j}) \gdw e_{i}*f_{i} [/mm] = [mm] e_{j}*f_{j}
[/mm]
wenn ich noch zeigen könnte das jede Äquivalenzklasse genau |E [mm] \cap [/mm] F| = n Elemente enthält währe ich ja so gut wie fertig!!
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Hallo,
Dein Ansatz ist genau der Richtige. Du betrachtest ja im Grunde die surjektive Abbildung
$E [mm] \times [/mm] F [mm] \to [/mm] EF$ gegeben durch die Multiplikation und willst nun zeigen, dass jedes Element in $EF$ genau $|E [mm] \cap [/mm] F|$ Urbilder hat.
Das ist äquivalent zu Deiner Formulierung mit der Äquivalenzrelation. Sei also $(e,f) [mm] \in [/mm] E [mm] \times [/mm] F$ beliebig. Zunächst mal gilt für jedes Element $h [mm] \in [/mm] E [mm] \cap [/mm] F$, dass $(eh, [mm] h^{-1}f) \sim [/mm] (e,f)$ (offensichtlich), also gibt es in jeder Klasse mindestens $|E [mm] \cap [/mm] F|$ Elemente.
Nun ist noch zu zeigen, dass sich solch ein $h$ immer finden lässt. Aber falls $(e,f) [mm] \sim [/mm] (e',f')$, dann folgt $ef = e'f'$, also $e'^{-1}e = [mm] f'f^{-1} [/mm] = : h$ und dieses $h$ liegt in $E [mm] \cap [/mm] F$ und ist genau von obigem Typ.
Und dies zeigt die Behauptung. Alles klar? 
Liebe Grüße,
Lars
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