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| Aufgabe | | Berechne die Körpergrade [mm] [\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3}):\IQ] [/mm] und [mm] [\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}):\IQ]. [/mm] |
Hallo,
Bei der Aufgabe ist mir nicht ganz klar, was [mm] \IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3}) [/mm] bzw. [mm] \IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}) [/mm] bedeuten soll. Ich vermute mal, dass es ähnlich wie bei den Polynomringen über mehrere Variablen ist, nur dass es sich hier um Quotientenringe von [mm] \IQ [/mm] handelt, also:
[mm] \IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3})=\IQ(\wurzel{2})(\wurzel[3]{3}), [/mm] wobei für die "Variablen" hier [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] eingesetzt wird, und die Koeffizienten in [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] liegen. Was bedeutet aber [mm] \IQ(\wurzel{2})? [/mm] Aber ich kann mir darunter eigentlich nicht viel vorstellen. Lieg ich mit meiner Vermutung einigermaßen richtig, oder ist es total falsch?  Bislang kenn ich nur die Form von Polynomringen der Gestalt R[X,Y]=R[X][Y], aber eben nur mit eckigen Klammern.
[mm] [\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3}):\IQ] [/mm] wird nach Vorl. als der Grad von [mm] \IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3}) [/mm] über [mm] \IQ [/mm] bezeichnet, und es gilt: [mm] [\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3}):\IQ]= dim_{\IQ}(\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3})).
[/mm]
Muss ich hier, um die Körpergrade bestimmen zu können, eine Basis finden? Wie geht man da genau vor?
Ich würd mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Vielen Dank.
Milka
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Hallo,
inzwischen habe ich mich über die Schreibweise schlau gemacht, und weiß auch nun, wie ich diese Aufgabe zu lösen habe. Kann bitte jemand drüber schauen, und mir sagen, ob die Lösun so richtig ist? Vielen Dank.
Um die Aufgabe lösen zu können, wende ich den Gradsatz an, der besagt: Falls K [mm] \subseteq [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] M Körper, und [M:K] < [mm] \infty, [/mm] dann folgt: [M:K]=[M:L]*[L:K]
a) Man soll den Köpergrad von [mm] [\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3}):\IQ] [/mm] bestimmen:
Es gilt: [mm] \IQ \subseteq \IQ(\wurzel{2}) \subseteq \IQ(\wurzel{2})(\wurzel[3]{3})=\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3})
[/mm]
Dabei enstpricht K:= [mm] \IQ, L=\IQ(\wurzel{2}) [/mm] und [mm] M=\IQ(\wurzel{2})(\wurzel[3]{3})
[/mm]
Nun wende ich den Gradsatz an,und erhalte:
[mm] [L:K]=[\IQ(\wurzel{2}):\IQ]= [/mm] 2, weil es ein irred. Polynom f [mm] \in \IQ[X] [/mm] gibt, mit [mm] f(\wurzel{2})=0, [/mm] nämlich: f(X):= [mm] X^{2}-2 [/mm] (Minimalpolynom)(Irreduzibilität einfach nachprüfbar mit Eisenstein)
[mm] [M:L]=[\IQ(\wurzel{2})(\wurzel[3]{3}):\IQ(\wurzel{2})] \le [/mm] 3, weil:
oben hätte ich auch umgekehrt schreiben können:
[mm] \IQ \subseteq \IQ(\wurzel[3]{3}) \subseteq \IQ(\wurzel[3]{3})(\wurzel{2})=\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3}) [/mm] mit L'= [mm] \IQ(\wurzel[3]{3})
[/mm]
also ist [mm] [L':K]=[\IQ(\wurzel[3]{3}):\IQ]=3, [/mm] weil es ein irred. Polynom [mm] \in \IQ[X] [/mm] gibt, wo [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] die Nullstelle ist: [mm] g(X)=X^{3}-3.
[/mm]
Mit dem Oberen ist doch nun [mm] [M:K]\le [/mm] 6, aber mit [L':K]=3, folgt: [M:K]=6, also der Köpergrad von
[mm] [\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3}):\IQ] [/mm] =6. Stimmt das so?
Und analog die andere Aufgabe, da erhalte ich für den Körpergrad von [mm] [\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}):\IQ]=4.
[/mm]
Vielen Dank für die Korrektur.
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Di 09.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Anna
das sieht alles richtig aus, Volker.
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| Aufgabe | | Bestimme den kleinsten Unterkörper K von [mm] \IR [/mm], der die Elemente [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] \wurzel{3} [/mm] enthält und berechne seine Dimension als [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum. |
Hallo!
Ich hänge mich mal an diesen Thread an, da es ganz gut passt.
Wie kann man die Aufgabe lösen und wie kann man sich den kleinsten Unterkörper vorstellen? Ist diese kleineste Unterkörper einfach die rationalen Zahlen mit den beiden Wurzeln?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 So 11.01.2009 | | Autor: | new_franky |
Niemand eine Idee? :-(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Di 13.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Di 09.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Anna,
vielleicht ist es einfacher, Du stellst Dir dieselbe Aufgabe mit dem Körper [mm] K=\IQ(\sqrt{2}), [/mm] d.h. Du berechnest die Dimension von [mm] \IQ(\sqrt{2}) [/mm] als [mm] $\IQ$-Vektorraum. [/mm] Elemente von $K$ sind nach Definition (wegen der runden Klammern) Brüche der Form
$$
[mm] \frac{a_n\sqrt{2}^n+a_{n-1}\sqrt{2}^{n-1}+\ldots+a_0}{b_n\sqrt{2}^m+b_{m-1}\sqrt{2}^{m-1}+\ldots+b_0}.
[/mm]
$$
mit [mm] $a_i,b_i\in\IQ$ [/mm] und die [mm] ${b_n\sqrt{2}^m+b_{m-1}\sqrt{2}^{m-1}+\ldots+b_0\neq 0}$.
[/mm]
Das kannst Du dir als Unterkörper von [mm] $\IR$ [/mm] vorstellen. Da [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] dieGleichung [mm] $X^2=2$ [/mm] erfüllt, kann man in jeden dieser Brüche auf die Form
$$
[mm] \frac{a_1\sqrt{2}+a_0}{b_1\sqrt{2}+b_0}.
[/mm]
$$
bringen. Indem Du das noch mit [mm] {-b_1\sqrt{2}+b_0} [/mm] erweiterst, siehst Du, dass jedes Element von $K$ eine Darstellung der Form
$$
[mm] x+y\sqrt{2}
[/mm]
$$
mit [mm] $x,y\in\IQ$ [/mm] hat. Also gilt schonmal [mm] $[K:\IQ]\leq [/mm] 2$, denn 1 und [mm] \sqrt{2} [/mm] sind Erzeuger. Es gilt sogar [mm] $[K:\IQ]=2$, [/mm] denn wären 1 und sqrt{2} linear abhängig über [mm] $\IQ$, [/mm] so gäbe es eine Relation [mm] $x+y\sqrt{2}=0$ [/mm] mit [mm] $x,y\in\IQ$ [/mm] und [mm] \sqrt{2} [/mm] läge in [mm] $\IQ$. [/mm] Widerspruch. Also sind 1 und [mm] \sqrt{2} [/mm] eine Basis von $K$ als [mm] $\IQ$-Vektorraum.
[/mm]
Der Unterschied zwischen eckigen und runden Klammern ist etwas subtil und verschwindet in Deiner Situation gänzlich, denn [mm] \sqrt{2},\sqrt{3} [/mm] und [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] genügen alle einer algebraischen Gleichung. So eine Gleichung [mm] (X^2-2=0) [/mm] hatte ich ja oben in dem Beispiel benutzt, um Potenzen von [mm] \sqrt{2} [/mm] zu ersetzen. Nur, wenn die adjungierten Elemente keiner algebraischen Relation genügen ergibt sich ein Unterschied. So ist zum Beispiel [mm] $\IQ[\pi]$ [/mm] isomorph zum, Polynomring in einer Variablen und [mm] $\IQ(\pi)$ [/mm] zu seinem Quotientenkörper, d.h. insbesondere [mm] $\IQ[\pi]\neq \IQ(\pi)$.
[/mm]
Gruß, Volker
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