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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Di 22.01.2008 | | Autor: | hundert |
| Aufgabe | Sei A eine Matrix im K-vektorraum V:= M(n,K)
(a) Zeigen sie, dass die durch [mm] \psi [/mm] : V -> V , X-> X*A-A*X definierte abbildung linear ist.
b) sei nun [mm] K=\IC [/mm] , n=2 und A:= [mm] \pmat{ i+1 & 2 \\ 2 & 1 } [/mm]
Geben sie eine Basis für ker [mm] (\psi) [/mm] an |
So also zu a) muss ich ja zeigen dass die abbildung linear ist, also f(x+y) = f(x)+f(y) und a* f(x)= f(ax) aber wie soll ich das jetzt auf meine abbildung psi anwenden= und für was steht eigentlich das X?
zu b) da ist ja nicht nach dem kern von der matrix A, sondrn nach dem Kern von psi gefragt oder? aber worin leigt der unterscheid. muss ich hier auch G.El anwenden, aber auf die 2 kreuz 2 matrix und darsu die einheisvektoren machen?
vielen dank schonmal für eure hilfe.
diees frage habe ich in keinem anderen forum gestellt.
lg
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Grüße!
> So also zu a) muss ich ja zeigen dass die abbildung linear
> ist, also f(x+y) = f(x)+f(y) und a* f(x)= f(ax)
> aber wie soll ich das jetzt auf meine abbildung psi
> anwenden= und für was steht eigentlich das X?
Die Abbildung [mm] $\psi$ [/mm] bildet den Raum der $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen in sich ab. Und eine Matrix $X$ wird auf das genannte Produkt geschickt, es gilt also:
[mm] $\psi(X) [/mm] = X [mm] \cdot [/mm] A - A [mm] \cdot [/mm] X$.
Gezeigt werden soll also für Matrizen $X$ und $Y$ aus $V$ und Skalare [mm] $\lambda \in [/mm] K$ dass gilt [mm] $\psi(X [/mm] + Y) = [mm] \psi(X) [/mm] + [mm] \psi(Y)$ [/mm] und [mm] $\psi(\lambda [/mm] X) = [mm] \lambda \psi(X)$.
[/mm]
> zu b) da ist ja nicht nach dem kern von der matrix A,
> sondrn nach dem Kern von psi gefragt oder? aber worin leigt
> der unterscheid. muss ich hier auch G.El anwenden, aber auf
> die 2 kreuz 2 matrix und darsu die einheisvektoren
> machen?
Der Kern ist in diesem Fall die Menge aller $2 [mm] \times [/mm] 2$ Matrizen $X$ mit Einträgen in [mm] $\IC$ [/mm] für die gilt [mm] $\psi(X) [/mm] = X [mm] \cdot [/mm] A - A [mm] \cdot [/mm] X = 0$. Stell am besten eine Gleichung einer Matrix mit unbekannten Einträgen (z.B. $X = [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$) [/mm] auf und ermittle Bedingungen an diese Einträge, die dafür sorgen, dass oben genanntes Produkt gleich 0 ist.
Alles klar? Viel Erfolg!
Lars
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