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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Fr 20.01.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | sin z = [mm] \bruch{1}{2i}(e^{iz} [/mm] - [mm] e^{-iz}) z\in\IC
[/mm]
Schreiben Sie Real- und Imaginärteil der Funktion auf. |
Hallo zusammen,
habe eine Frage zur obigen Aufgabe. Also ich weiß ja, dass man z auch als z = x + iy schreiben kann und das [mm] e^{ix} [/mm] = cos x + i sin x ist. Was ist aber [mm] e^{-ix}? [/mm] Ist das vielleicht cos x - i sin x? Wir haben das in der Vorlesung noch nicht definiert und in Büchern kann ich es auch auf die Schnelle nicht finden. Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
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Hallo vicky,
> sin z = [mm]\bruch{1}{2i}(e^{iz}[/mm] - [mm]e^{-iz}) z\in\IC[/mm]
>
> Schreiben Sie Real- und Imaginärteil der Funktion auf.
> Hallo zusammen,
>
> habe eine Frage zur obigen Aufgabe. Also ich weiß ja, dass
> man z auch als z = x + iy schreiben kann und das [mm]e^{ix}[/mm] =
> cos x + i sin x ist. Was ist aber [mm]e^{-ix}?[/mm] Ist das
> vielleicht cos x - i sin x? Wir haben das in der Vorlesung
> noch nicht definiert und in Büchern kann ich es auch auf
> die Schnelle nicht finden. Könnt ihr mir bitte
> weiterhelfen?
Ja, sicher doch.
Auf die Formel
[mm]e^{ - ix} = \;\cos \;x\; - \;i\;\sin \;x[/mm]
kommst Du, wenn in der Formel
[mm]e^{ ix} = \;\cos \;x\; + \;i\;\sin \;x[/mm]
das Argument x durch das Argument -x ersetzt wird:
[mm]e^{i\left( { - x} \right)} = \;\cos \left( { - x} \right)\; + \;i\;\sin \left( { - x} \right)[/mm]
Und dann noch die Eigenschaften der Funktionen Sinus und Cosinus ausnutzt:
[mm]
\begin{gathered}
\cos \left( { - x} \right)\; = \;\cos \;x \hfill \\
\sin \left( { - x} \right)\; = \; - \sin \;x \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:29 Sa 21.01.2006 | | Autor: | vicky |
Also ich habe mich jetzt an das Umstellen versucht um den Real- und Imaginärteil zu bestimmen, doch ich komme leider nicht weiter. Kann bitte jemand mal schauen ob es bis dahin soweit korrekt ist?
sin z = [mm] \bruch{1}{2i}(e^{iz} [/mm] - [mm] e^{-iz}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i} (e^{i(x+iy)} [/mm] - [mm] e^{-i(x+iy)}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i} (e^{ix-y)} [/mm] - [mm] e^{-ix+y)}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i} (e^{-y} e^{ix} [/mm] - [mm] e^{y}e^{-ix}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i} (e^{-y} [/mm] (cos x + i sin x) - [mm] e^{y} [/mm] ( cos x - i sin x)) = [mm] \bruch{1}{2i} [/mm] ( cos x [mm] e^{-y} [/mm] + i sin x [mm] e^{-y} [/mm] - (cos x [mm] e^y [/mm] - i sin x [mm] e^y)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i} [/mm] ( cos [mm] e^{-y} [/mm] - cos x [mm] e^y [/mm] + i sin x [mm] e^{-y} [/mm] + i sin x [mm] e^y) [/mm] und an der Stelle würde ich jetzt mit i erweitern, damit ich meinen Nenner ohne i schreiben kann. Also erhalte ich [mm] \bruch{i (cos x e^{-y} - cos x e^y + i sin x e^{-y} + i sin x e^y)}{2i^2} [/mm] = [mm] \bruch{i cos x e^{-y} - i cos x e^y - sin x e^{-y} - sin x e^y}{-2} [/mm] und nun weiß ich nicht weiter... Vielleicht könnte ich jetzt mit (-1) erweitern und den Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyberbolicus anwenden aber dann stimmt irgendwas mit den Vorzeichen nicht.
Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben?
Vielen Dank
Gruß Vicky
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Sa 21.01.2006 | | Autor: | vicky |
Aber wie kann ich jetzt den Realteil und den Imaginärteil bestimmen?
Nach umformen erhalte ich: sin z = [mm] -\bruch{1}{2} (-sinx(e^{-y} [/mm] + [mm] e^{y}) [/mm] + i cosx [mm] (e^{-y}-e^{y})).
[/mm]
Ich dachte ich könnte das jetzt soweit umformen, dass ich Sinus- und Kosinus Hyperbolicus anwenden kann.
Doch sinh(x) = [mm] \bruch{1}{2}(e^x-e^{-x}) [/mm] und cosh(x) = [mm] \bruch{1}{2} (e^x [/mm] + [mm] e^{-x} [/mm] und das kommt ja irgendwie nicht ganz hin. Bin ich da auf dem falschen Weg?
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß Vicky
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Hallo vicky,
> Aber wie kann ich jetzt den Realteil und den Imaginärteil
> bestimmen?
>
> Nach umformen erhalte ich: sin z = [mm]-\bruch{1}{2} (-sinx(e^{-y}[/mm]
> + [mm]e^{y})[/mm] + i cosx [mm](e^{-y}-e^{y})).[/mm]
>
> Ich dachte ich könnte das jetzt soweit umformen, dass ich
> Sinus- und Kosinus Hyperbolicus anwenden kann.
> Doch sinh(x) = [mm]\bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})[/mm] und cosh(x) =
> [mm]\bruch{1}{2} (e^x[/mm] + [mm]e^{-x}[/mm] und das kommt ja irgendwie nicht
> ganz hin. Bin ich da auf dem falschen Weg?
Ersetze einfach das x in der Formel für sinh(x) bzw. cosh(x) durch y. Dann paßt das schon.
>
> Vielen Dank für die Hilfe.
>
> Gruß Vicky
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 So 22.01.2006 | | Autor: | vicky |
> > Nach umformen erhalte ich:
sin z = [mm]-\bruch{1}{2} (-sinx(e^{-y}[/mm] + [mm]e^{y})[/mm] + i cosx [mm](e^{-y}-e^{y})).[/mm]
> > Doch
sinh(x) = [mm]\bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})[/mm] und
cosh(x) = [mm]\bruch{1}{2} (e^x[/mm] + [mm]e^{-x})[/mm].
> Ersetze einfach das x in der Formel für sinh(x) bzw.
> cosh(x) durch y. Dann paßt das schon.
Aber wenn ich das x durch das y ersetze habe ich doch immer noch andere Vorzeichen bei meiner Aufgabe oder nicht?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß Monic
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Hallo vicky,
> > > Nach umformen erhalte ich:
> sin z = [mm]-\bruch{1}{2} (-sinx(e^{-y}[/mm] + [mm]e^{y})[/mm] + i cosx
> [mm](e^{-y}-e^{y})).[/mm]
>
> > > Doch
> sinh(x) = [mm] \bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})[/mm] [/mm] und
>
> cosh(x) = [mm]\bruch{1}{2} (e^x[/mm] + [mm]e^{-x})[/mm].
>
> > Ersetze einfach das x in der Formel für sinh(x) bzw.
> > cosh(x) durch y. Dann paßt das schon.
>
> Aber wenn ich das x durch das y ersetze habe ich doch immer
> noch andere Vorzeichen bei meiner Aufgabe oder nicht?
[mm]\sinh(y) = \bruch{1}{2}(e^y-e^{-y})[/mm]
[mm]\cosh(y) = \bruch{1}{2} (e^y + e^{-y})[/mm]
Eingesetzt in obige Formel:
[mm]\sin\;z = -\bruch{1}{2} (-\sin\;x\;(e^{-y}\; +\; e^{y})\; + \;i\; \cos\;x\; (e^{-y}-e^{y})).[/mm]
[mm]\gdw\;\sin\;z = - (-\sin\;x\;\cosh\;y\; - i \cos\;x\; \sinh\;y)[/mm]
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Gruß Monic
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