Komplexe Zahlen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen sie Sie für folgende Zahlen die trigonometrische Darstellung( geben sie den Winkel im Bogenmaß exakt an )
a) [mm] z=\wurzel{3}+i
[/mm]
b) [mm] z=\wurzel{3}-i
[/mm]
C) [mm] z=-\wurzel{3}+i [/mm] d) [mm] z=-\wurzel{3}-i [/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
Zu a) und b) habe ich Werte rausbekommen
a) [mm] z=\wurzel{3}+i
[/mm]
[mm] x=\wurzel{3} [/mm] und Y=1
[mm] r=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] = [mm] \wurzel{4}=2
[/mm]
[mm] \Phi=arccos(\wurzel{3} [/mm] )/2=30°=Pie(3,14)/6
b) [mm] z=\wurzel{3}-i
[/mm]
[mm] x=\wurzel{3} [/mm] und Y=-1
[mm] r=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] = [mm] \wurzel{4}=2
[/mm]
[mm] \Phi=arccos\wurzel{3} [/mm] /2=-30°=-Pie(3,14)/6 da Im(z)negative ist
C) [mm] z=-\wurzel{3}+i [/mm]
[mm] x=-\wurzel{3} [/mm] und Y=+1
[mm] r=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] = wurzel{-3+1} eine negative Wurzel gibt es nicht an der stelle komme ich nicht weiter
das gleiche gilt auch für d) Gibt es noch andere möglichkeiten die Aufgabe zu rechnen.
|
|
| |
|
Dein Wurzelausdruck ist ja auch falsch. Das Quadrat von [mm] $-\sqrt{3}$ [/mm] ist....?
KLeiner Tipp: Die Punkte sind die Ecken eines Quadrats mit Seitenlaengen [mm] $2\sqrt{3}$ [/mm] und $2$, zentriert in $0$ mit gleichem Abstand zum Ursprung ($r=2$). Der Winkel von [mm] $\sqrt{3}+i$ [/mm] betraegt $30^°$. Das bedeutet, dass sich alle anderen Winkel leicht durch Vergleichen ergeben: [mm] $arg(-\sqrt{3}+i)=\arg(-2)-arg(\sqrt{3}+i)$ [/mm] usw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
bei der Aufgabe d bekomme ich einen Winkel von [mm] 150°=5/6\pi
[/mm]
wenn ich diese Formel nehme: [mm] arccos(\bruch{-\wurzel[]{3}}{2})
[/mm]
wenn ich diese Formle nehme: [mm] arctan(\bruch{-1}{-\wurzel[]{3}}) [/mm] dann bekomme ich einen Winkel von [mm] 30°=\bruch{\pi}{6}
[/mm]
welcher Winkel ist denn nun richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Do 15.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> bei der Aufgabe d bekomme ich einen Winkel von [mm]150°=5/6\pi[/mm]
>
> wenn ich diese Formel nehme:
> [mm]arccos(\bruch{-\wurzel[]{3}}{2})[/mm]
>
> wenn ich diese Formle nehme:
> [mm]arctan(\bruch{-1}{-\wurzel[]{3}})[/mm] dann bekomme ich einen
> Winkel von [mm]30°=\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
> welcher Winkel ist denn nun richtig?
Keiner von beiden.
Male dir die Zahl in der komplexen Ebene auf: Real- und Imaginärteil sind negativ, also liegt die Zahl im dritten Quadranten, also liegt der Winkel zwischen [mm]180^\circ[/mm] und [mm]270^\circ[/mm].
Der Grund liegt darin, dass die naiven Formeln mit den Arcusfunktionen nur in einer Halbebene richtig funktionieren.
Beim Arcuscosinus teilst du den Realteil durch den Betrag: daher hängt das Ergebnis nicht vom Vorzeichen des Imaginärteils ab. Das Ergebnis ist richtig, wenn der Realteil positiv ist, wenn er negativ ist, muss du es von [mm]360^\circ[/mm] bzw. [mm]2\pi[/mm] abziehen. Dann kommt der richtige Wert ([mm]210^\circ[/mm] bzw. [mm]\bruch{7\pi}{6}[/mm]) heraus.
Beim Arcustangens ist es ähnlich: hier teilst du Imaginärteil durch Realteil. Wenn du bei beiden das Vorzeichen umdrehst, ändert sich der Arcustangens nicht. Daher musst du hier [mm]180^\circ[/mm] dazu addieren und bekommst wieder das richtige Ergebnis.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
noch mal zu d) wir haben uns mal aufgeschrieben das der Winkel [mm] \varphi \in\ [/mm] (Pie,-Pie) also [mm] \varphi \in\ [/mm] (3,14,-3,14) ist
Ich hoffe ihr versteht mich
nun habe ich bei aufgabe d) 7/6(Pie) als Lösung sollte ich nicht besser als lösung -5/6(pie) wählen es gibt ja beides den wikel von 210° an und -5/6(pie) ist [mm] \in\ [/mm] (Pie,-Pie) also [mm] \varphi \in\ [/mm] (3,14,-3,14)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Do 15.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> noch mal zu d) wir haben uns mal aufgeschrieben das
> der Winkel [mm]\varphi \in\[/mm] (Pie,-Pie) also [mm]\varphi \in\[/mm]
> (3,14,-3,14) ist
> Ich hoffe ihr versteht mich
> nun habe ich bei aufgabe d) 7/6(Pie) als Lösung sollte ich
> nicht besser als lösung -5/6(pie) wählen es gibt ja beides
> den wikel von 210° an und -5/6(pie) ist [mm]\in\[/mm] (Pie,-Pie)
> also [mm]\varphi \in\[/mm] (3,14,-3,14)
Richtig. Es gibt da unterschiedliche Konventionen (leider), eben zum Beispiel [mm](-\pi,+\pi][/mm] oder [mm][0,2\pi)[/mm].
Übrigens heisst es "pi", und nicht "pie".
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
hallo,
was ist denn der cos von [mm] 7/6\pi [/mm] bzw [mm] -5/6\pi?
[/mm]
ich finde das in meinem TW nicht.
vielen Dank!
Gruß, Toni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Di 20.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> was ist denn der cos von [mm]7/6\pi[/mm] bzw [mm]-5/6\pi?[/mm]
>
> ich finde das in meinem TW nicht.
Das liegt an der Periodizität und Symmetrie der Winkelfunktionen: man kann alle auf das Interval zwischen 0 und [mm]\pi/2[/mm] zurückführen, zum Beispiel, da [mm]\cos(x+\pi) = -\cos x = \cos (x-\pi)[/mm].
Also ist auch [mm]\cos(7/6\pi) = \cos(-5/6\pi) = -\cos(\pi/6) = -\bruch{\sqrt{3}}{2}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
