Kongruenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Do 22.09.2011 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Lösen Sie das System linearer Kongruenzen:
[mm] $-x\equiv [/mm] 2 mod 5$
[mm] $17x\equiv [/mm] -18 mod 7$ |
Hallo,
ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. In meinem Buch ist das Thema leider nicht sehr gut erklärt. Kann mir jemand ein Schema nennen wie ich erstmal von
[mm] $-x\equiv [/mm] 2 mod 5 [mm] \Leftrightarrow [/mm] ... [mm] \Leftrightarrow x\equiv [/mm] 3 mod 5$
bzw.
[mm] $17x\equiv [/mm] -18 mod 7 [mm] \Leftrightarrow [/mm] ... [mm] \Leftrightarrow x\equiv [/mm] 1 mod 7$
Jetzt kann man ja den chinesischen Restsatz anwenden, mit dem komme ich auch erstmal klar. Aber bei den obigen Umformungen habe ich noch Probleme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Do 22.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Lösen Sie das System linearer Kongruenzen:
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> [mm]-x\equiv 2 mod 5[/mm]
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> [mm]17x\equiv -18 mod 7[/mm]
> Hallo,
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> ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. In meinem Buch ist
> das Thema leider nicht sehr gut erklärt. Kann mir jemand
> ein Schema nennen wie ich erstmal von
>
> [mm]-x\equiv 2 mod 5 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow x\equiv 3 mod 5[/mm]
>
> bzw.
> [mm]17x\equiv -18 mod 7 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow x\equiv 1 mod 7[/mm]
>
> Jetzt kann man ja den chinesischen Restsatz anwenden, mit
> dem komme ich auch erstmal klar. Aber bei den obigen
> Umformungen habe ich noch Probleme.
>
Hallo,
für Kongruenzen gilt der Satz
Aus [mm] a\equiv [/mm] b mod m und [mm] c\equiv [/mm] d mod m folgt
a-c [mm] \equiv [/mm] b-d mod
Offensichtlich gilt
0 [mm] \equiv [/mm] 5 mod 5. Wenn man davon die gegebenen Kongruenz
[mm] -x\equiv [/mm] 2 mod 5 subtrahiert, erhält man
0-(-x) [mm] \equiv [/mm] 5-2 mod 5, also
[mm] x\equiv [/mm] 3 mod 5.
Für die zweite Gleichung gilt 17x [mm] \equiv [/mm] 3x mod 7 (die Differenz von 14 x ist durch 7 teilbar, und es gilt auch -18 [mm] \equiv [/mm] +3 mod 7 (die Differenz 21 ist durch 7 teilbar).
Somit kann man 17x und -18 durch die dazu kongruenten Werte 3x bzw. 3 ersetzen und erhält aus
[mm] 17x\equiv [/mm] -18 mod 7
kürzer [mm] 3x\equiv [/mm] 3 mod 7 .
Nun gibt es auch noch eine Regel zur Division beider Seiten (hier wäre Division durch 3 sinnvoll).
Gruß Abakus
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