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Kontinuitätsgleichung und...: zeitabh. Schrödinger-Gl.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Do 25.09.2014
Autor: murmel

Aufgabe
Es sind folgende Gleichungen gegeben:

Gl.(1) [mm] \qquad[/mm]  [mm] \mathrm{i}\,\hbar \, \underbrace{\frac{\partial}{\partial t}\Psi \left(x,t\right)}_{A}=-\hbar \underbrace{\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi \left(x,t\right)}_{B} + V(x)\,\Psi \left(x,t\right) [/mm]


Gl.(2) [mm] \qquad[/mm]  [mm] \varrho_x \left(x,t\right)= \left| \Psi \left(x,t\right) \right|^2 = \Psi \left(x,t\right)\Psi^{\*} \left(x,t\right) [/mm]


Gl.(3) [mm] \qquad[/mm]  [mm] j_x \left(x,t\right)= \frac{\hbar}{2m \mathrm{i}}\left( \Psi^{\*} \left(x,t\right) \frac{\partial }{\partial x} \Psi \left(x,t\right) - \Psi \left(x,t\right) \frac{\partial }{\partial x} \Psi^{\*} \left(x,t\right)\right) [/mm]


Gl.(4) [mm] \qquad[/mm]  [mm] \frac{\partial}{\partial t} \varrho_x \left(x,t\right)+\frac{\partial}{\partial x} j_x \left(x,t\right) = 0 [/mm]

Wie kann ich zeigen, dass, ausgehend von der zeitabhängigen Schrödinger-Gl. (Gl.1) (wofür der Buchstabe A bzw. B unter der jeweiligen, geschweiften Klammer steht, erkläre ich in meinem "Lösungsansatz", weiter unten) , mit gegebener Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte (Gl.2) und gegebenem Aufenthaltswahrscheinlichkeitsstrom (Gl.3) die Kontinuitätsgleichung (Gl.4)folgt?



Mein Lösungsansatz:

Ich bilde [mm] $\partial j/\partial [/mm] x$:


[mm] \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial x} j_x &= \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\hbar}{2m \mathrm{i}}\left( \Psi^{\*} \left(x,t\right) \frac{\partial }{\partial x} \Psi \left(x,t\right) - \Psi \left(x,t\right) \frac{\partial }{\partial x} \Psi^{\*} \left(x,t\right)\right)\right]\\[1.25em] &\Rightarrow \frac{\hbar}{2m \mathrm{i}}\left(\Psi^{\*} \left(x,t\right)\,\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi \left(x,t\right) -\Psi \left(x,t\right)\,\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi^{\*} \left(x,t\right)\,\right) \end{array} [/mm]

Letztere Zeile erhalte ich bei der Anwendung der Produktregel auf die Wellenfunktion und ihrer Komplex-Konjugierten, mit anschließender Vereinfachung.
Anschließend bilde ich [mm] $\partial \varrho_x/\partial [/mm] t$:

[mm] \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial t} \varrho_x &= \frac{\partial}{\partial t}\left[\left| \Psi \left(x,t\right) \right| \cdot \left| \Psi \left(x,t\right) \right|\right]\\[1.25em] &= \left| \Psi \left(x,t\right) \right|\frac{\partial}{\partial t}\left| \Psi \left(x,t\right) \right| + \left| \Psi \left(x,t\right) \right|\frac{\partial}{\partial t}\left| \Psi \left(x,t\right) \right|\\[1.25em] &= 2\, \left| \Psi \left(x,t\right) \right|\frac{\partial}{\partial t}\left| \Psi \left(x,t\right) \right| \end{array} [/mm]

Man könnte aber auch schreiben:

[mm] \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial t} \varrho_x &= \frac{\partial}{\partial t}\left[ \Psi \left(x,t\right) \cdot \Psi^{\*} \left(x,t\right)\right]\\[1.25em] &= \Psi \left(x,t\right) \frac{\partial}{\partial t} \Psi^{\*} \left(x,t\right) + \Psi^{\*} \left(x,t\right) \frac{\partial}{\partial t} \Psi \left(x,t\right)\\ \end{array} [/mm]

Wenn ich die Ableitung der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte(funktion) entsprechend nach A umstelle, kann ich diese ja in (Gl.1) einsetzen, entsprechendes gilt für die Ableitung von [mm] $j_x(x,t)$, [/mm] die ich nach B umstelle und einsetze.

Ist das sinnvoll?


Die (Gl.1) würde dann also nach dem Umstellen und Einsetzen von A so aussehen


[mm] 0 = V(x)\,\Psi \left(x,t\right) - \hbar \underbrace{\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi \left(x,t\right)}_{B} + \frac{\mathrm{i} \hbar}{2 \Psi \left(x,t\right)} \frac{\partial}{\partial t}\varrho_x \left(x,t\right) [/mm]


Nach Einsetzen von B sieht (Gl.1) so aus:



[mm] 0 = V(x)\,\Psi \left(x,t\right) - \hbar \left(\frac{1}{\Psi^{\*} \left(x,t\right) } \frac{\partial }{\partial x}j_x + \frac{\hbar}{2m \mathrm{i}}\frac{1}{\Psi^{\*} \left(x,t\right)} \Psi \left(x,t\right) \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \Psi^{\*} \left(x,t\right)\right) + \frac{\mathrm{i} \hbar}{2 \Psi \left(x,t\right) } \frac{\partial}{\partial t}\varrho_x \left(x,t\right) [/mm]


Ab hier komme ich nicht weiter.


Für Hilfe bin ich dankbar.

        
Bezug
Kontinuitätsgleichung und...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Do 25.09.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> Es sind folgende Gleichungen gegeben:
>  
> Gl.(1) [mm]\qquad[/mm]  [mm] \mathrm{i}\,\hbar \, {\frac{\partial}{\partial t}\Psi \left(x,t\right)}=-\hbar {\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi \left(x,t\right)} + V(x)\,\Psi \left(x,t\right) [/mm]
>  
>
> Gl.(2) [mm]\qquad[/mm]  [mm] \varrho_x \left(x,t\right)= \left| \Psi \left(x,t\right) \right|^2 = \Psi \left(x,t\right)\Psi^{\*} \left(x,t\right) [/mm]
>  
>
> Gl.(3) [mm]\qquad[/mm]  [mm] j_x \left(x,t\right)= \frac{\hbar}{2m \mathrm{i}}\left( \Psi^{\*} \left(x,t\right) \frac{\partial }{\partial x} \Psi \left(x,t\right) - \Psi \left(x,t\right) \frac{\partial }{\partial x} \Psi^{\*} \left(x,t\right)\right) [/mm]
>  
>
> Gl.(4) [mm]\qquad[/mm]  [mm] \frac{\partial}{\partial t} \varrho_x \left(x,t\right)+\frac{\partial}{\partial x} j_x \left(x,t\right) = 0 [/mm]
>  
> Wie kann ich zeigen, dass, ausgehend von der
> zeitabhängigen Schrödinger-Gl. (Gl.1) (wofür der
> Buchstabe A bzw. B unter der jeweiligen, geschweiften
> Klammer steht, erkläre ich in meinem "Lösungsansatz",
> weiter unten) , mit gegebener
> Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte (Gl.2) und gegebenem
> Aufenthaltswahrscheinlichkeitsstrom (Gl.3) die
> Kontinuitätsgleichung (Gl.4)folgt?

Die Kontinuitätsgleichung folgt doch sofort aus Gl. (1).

Betrachte dazu die Schrödingergleichung

  Gl. (1.1) [mm] i\hbar \partial_t\Psi=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\delta^2_x+V\right)\Psi [/mm]

Und betrachte auch

  Gl. (1.2) [mm] -i\hbar \partial_t\Psi^{\star}=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2}_x+V\right)\Psi^{\star} [/mm]


Multipliziere nun Gl. (1.1) von rechts mit [mm] \Psi^{\star} [/mm] und Gl. (1.2) von rechts mit [mm] \Psi. [/mm]

Bilde dann die Differenz der beiden und du erhältst

   [mm] i\hbar\partial_t(\Psi^{\star}\Psi)=-\frac{\hbar^2}{2m}(\Psi^{\star}{\partial^2}_x\Psi-\Psi{\partial^2}_x\Psi^{\star})=\nabla(-\frac{\hbar^2}{2m}(\Psi^{\star}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{\star})) [/mm]


Jetzt siehst du auch, wie du Gl. (2)  und Gl. (3) einbringen musst.

Dann hast du alles sofort dastehen.

>  
>
>
> Mein Lösungsansatz:
>  
> Ich bilde [mm]\partial j/\partial x[/mm]:
>  
>
> [mm] \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial x} j_x &= \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\hbar}{2m \mathrm{i}}\left( \Psi^{\*} \left(x,t\right) \frac{\partial }{\partial x} \Psi \left(x,t\right) - \Psi \left(x,t\right) \frac{\partial }{\partial x} \Psi^{\*} \left(x,t\right)\right)\right]\\[1.25em] &\Rightarrow \frac{\hbar}{2m \mathrm{i}}\left(\Psi^{\*} \left(x,t\right)\,\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi \left(x,t\right) -\Psi \left(x,t\right)\,\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi^{\*} \left(x,t\right)\,\right) \end{array} [/mm]
>  
> Letztere Zeile erhalte ich bei der Anwendung der
> Produktregel auf die Wellenfunktion und ihrer
> Komplex-Konjugierten, mit anschließender Vereinfachung.
>  Anschließend bilde ich [mm]\partial \varrho_x/\partial t[/mm]:
>  
> [mm] \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial t} \varrho_x &= \frac{\partial}{\partial t}\left[\left| \Psi \left(x,t\right) \right| \cdot \left| \Psi \left(x,t\right) \right|\right]\\[1.25em] &= \left| \Psi \left(x,t\right) \right|\frac{\partial}{\partial t}\left| \Psi \left(x,t\right) \right| + \left| \Psi \left(x,t\right) \right|\frac{\partial}{\partial t}\left| \Psi \left(x,t\right) \right|\\[1.25em] &= 2\, \left| \Psi \left(x,t\right) \right|\frac{\partial}{\partial t}\left| \Psi \left(x,t\right) \right| \end{array} [/mm]
>  
> Man könnte aber auch schreiben:
>  
> [mm] \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial t} \varrho_x &= \frac{\partial}{\partial t}\left[ \Psi \left(x,t\right) \cdot \Psi^{\*} \left(x,t\right)\right]\\[1.25em] &= \Psi \left(x,t\right) \frac{\partial}{\partial t} \Psi^{\*} \left(x,t\right) + \Psi^{\*} \left(x,t\right) \frac{\partial}{\partial t} \Psi \left(x,t\right)\\ \end{array} [/mm]
>  
> Wenn ich die Ableitung der
> Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte(funktion) entsprechend
> nach A umstelle, kann ich diese ja in (Gl.1) einsetzen,
> entsprechendes gilt für die Ableitung von [mm]j_x(x,t)[/mm], die
> ich nach B umstelle und einsetze.
>  
> Ist das sinnvoll?
>  
>
> Die (Gl.1) würde dann also nach dem Umstellen und
> Einsetzen von A so aussehen
>  
>
> [mm] 0 = V(x)\,\Psi \left(x,t\right) - \hbar \underbrace{\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi \left(x,t\right)}_{B} + \frac{\mathrm{i} \hbar}{2 \Psi \left(x,t\right)} \frac{\partial}{\partial t}\varrho_x \left(x,t\right) [/mm]
>  
>
> Nach Einsetzen von B sieht (Gl.1) so aus:
>  
>
>
> [mm] 0 = V(x)\,\Psi \left(x,t\right) - \hbar \left(\frac{1}{\Psi^{\*} \left(x,t\right) } \frac{\partial }{\partial x}j_x + \frac{\hbar}{2m \mathrm{i}}\frac{1}{\Psi^{\*} \left(x,t\right)} \Psi \left(x,t\right) \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \Psi^{\*} \left(x,t\right)\right) + \frac{\mathrm{i} \hbar}{2 \Psi \left(x,t\right) } \frac{\partial}{\partial t}\varrho_x \left(x,t\right) [/mm]
>  
>
> Ab hier komme ich nicht weiter.
>  
>
> Für Hilfe bin ich dankbar.


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